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 #1 - 20-08-2012 18:26:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 5

Bonjour à tous smile

Un problème de partage bien plus difficile qu'il en a l'air .

Mon pâtissier fabrique des petites galettes dont le poids est toujours au moins égal à 10 g  . Il peut les briser plusieurs fois à condition que chacun des morceaux pèse toujours au moins 10 g .

Il a réalisé dix galettes pesant en tout 400 g .

Peut-il à coup sûr les partager équitablement entre dix enfants ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : Le partage est équitable si chaque enfant a la même quantité de gâteau . Ils peuvent avoir un nombre différent de parts ou des parts de tailles différentes .



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 #2 - 21-08-2012 13:08:42

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

âteau 55

Pour la premiere galette de poids 10x + y (avec y > 10), on decoupe en x part de 10g et on garde la part y
Pour la deuxième galette, on commence par découper une part de (30 - y)g, puis on découpe le reste avec le même principe que la première galette.
etc jusqu'a la dernière.
Puis on fait le partage des parts, chaque enfant devrait avoir 7 parts de 10g plus deux parts qui font 30g à elles deux. (le dernier enfant aura 10 parts de 10g)

 #3 - 21-08-2012 19:52:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâetau 55

Je ne suis pas sûr d'avoir compris ta réponse Godisdead smile

Il y a 10 galettes pesant en tout 400 g , mais il est possible qu'il y en ait 9 de 10 g et la dernière de 310 g !!!

Vasimolo

 #4 - 21-08-2012 23:54:02

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
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Gâtaeu 55

En fait, tu reprends mon explication en commençant pas la plus petite.
Dans ton cas de figure la réponse est triviale smile
L'objectif est de créer des parts de 10g et des couples de part faisant 30g.

Imaginons que tu ai 9 galettes de 11g et 1 galette de 301g, tu découpes la grosse galette en 9 parts de 19g et le reste en part de 10g. Puis tu donnes à manger aux enfants.

P.S.: j'ai fais une erreur dans mon explication précédente sur la réponse, puisque je donne 100g à chaque mioche alors que l'enoncé indique 40g, mais le processus de découpe est le même smile

 #5 - 22-08-2012 00:19:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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GGâteau 55

Le plus simple serait que tu reprennes ton explication dans le cas général . Sur un exemple on fait ce qu'on veut et il est difficile d'exhiber un contre-exemple smile

Vasimolo

 #6 - 22-08-2012 11:54:32

dhrm77
L'exilé
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Gâeau 55

Je pense que la reponse est oui, simplement parce que je n'arrive pas a trouver de contre-exemple, mais je ne vois pas comment le prouver.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 22-08-2012 12:38:43

Vasimolo
Le pâtissier
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GGâteau 55

Tu es dans le vrai Dan , je n'ai rien de simple non plus smile

Vasimolo

 #8 - 22-08-2012 13:19:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 5

Une simple question, car en 1ère approche, on voit bien que c'est toujours possible, la preuve est elle courte ? J'en doute, mais..

 #9 - 22-08-2012 14:16:14

gwen27
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Gâtaeu 55

Je pense que si un des bouts fait entre 10 et 19 grammes, pour une question de moyenne, il y en a au moins un autre qui fait plus de 40g.

Je peux donc couper ce morceau de 40g ou plus en un morceau complémentaire (21 à 30g)  et un autre de 10g ou plus.

Ca me fait déjà une part de 40g.

On reprend : s'il me reste encore un morceau entre 10 et 19 g , je recommence.
sinon, je coupe un morceau de 20g ou plus en 2 .

On finira bien par avoir nos 10 morceaux de 40g vu que je ne vois pas d'échappatoire au raisonnement.

 #10 - 22-08-2012 18:52:07

shadock
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gâreau 55

J'ai pas vraiment le temps ce moment je vais le garder dans un coin de ma tête, si j'ai bien tout compris, il faut répartir les gâteaux avec un minimum de 10g par morceau.
Peut-être quelques congruences, où plus simple si je trouve.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 22-08-2012 19:21:54

Vasimolo
Le pâtissier
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gâteai 55

Bonsoir à tous smile

Beaucoup on remarqué que c'est assez simple de s'en sortir si les parts sont très déséquilibrées . On voit aussi que c'est assez simple quand toutes les galettes sont proches de 40 g .

J'aimerais bien une solution générale autre que je ne vois pas comment on pourrait y échapper , c'est toute la difficulté du problème .

Pour une série donnée de 10 nombres positifs supérieurs à 10 et de somme 400 trouver un processus qui donne une partition en 10 portions de 40 ?

J'ai une solution complète qui pèse beaucoup plus que 400 g alors j'attends une idée plus légère smile

Bon courage !

Vasimolo

 #12 - 23-08-2012 14:41:27

gwen27
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gâtezu 55

Bon , je vais tenter de clarifier :

Quelques  découpes inutiles mais ça marche :


1 ) Tant que  j'ai des morceaux de 40 g je les garde (pas trop dur big_smile

2 ) Tant que j'ai 2 morceaux complémentaires à 40 grammes (21 et 19 ....) , je les rassemble et je les garde.

3 ) Tant que j'ai 2 morceaux complémentaires à 80 grammes je coupe le plus gros pour faire 2 parts de 40 grammes
3' ) je pense qu'on peut même faire une récurrence là... mais je passe.

Et  je repars à l'étape 0 (au cas où) , ça évite des découpes.


4 ) Spoiler : [Afficher le message] on peut partir de là et oublier 1 2 3 ça marche aussi mais ça fait plus de découpes
Si il reste un morceau de moins de 20 grammes : il y en a donc au moins 1 de plus de 40 grammes dans lequel je peux découper un morceau complémentaire de 21 à 30 grammes ce que je fais . Et hop une part de plus.

5 ) on reprend à zéro si on veut essayer d'éviter des découpes.

6 ) il ne me reste donc plus de morceaux de 40 g ou de 10 à 19 g donc il y en a au moins 1 entre 20 et 39 grammes que je scinde en 2 parties (tant qu'à faire, je prend des tailles qui m'arrangent mais ce n'est pas une obligation.)

Retour à l'étape 1)

La méthode simple avec beaucoup de découpes :

Tant que j'ai des morceaux de moins de 20 grammes, je cherche leur complément dans les morceaux de 20à  30 g , sinon, je prends leur complément dans un morceau de plus de 40 g

Quand je n'en ai plus, j'en crée 2 à partir d'un morceau de 20 à 39g

 #13 - 23-08-2012 14:54:28

godisdead
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âteau 55

C'et pour ça que je préfère la section logique plutot que la section mathématique.
Je ne vois pas où est la difficulté du problème puisque je reste persuadé que quelque soit l'exemple, je n'aurais aucune difficulté à trouver la solution. Mais je ne maitrise pas les outils qui me permettrait de dégager une solution générale.

L'idée étant de commencer par les petites galettes et de faire soit des portions de 30g (avec 2 parts) soit des portions de 10g a l'aide des grosses galettes.

 #14 - 23-08-2012 18:40:35

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteu 55

@Gwen : Spoiler : [Afficher le message] Décidément tu ne veux pas m'entendre smile
Ce n'est pas que ta méthode fait trop de coupes mais bien ton raisonnement qui se mord la queue ou bien je n'ai toujours pas compris sad
Je donne un exemple avec 3 tartes pour 3 enfants : 30,34 ,56
Je suis ton algorithme , je décompose la première part en 2 , par exemple 30=15+15 et je complète l'un des 15 obtenu avec la 56 pour faire 40 . Donc 56=25+31 et 25+15=40 . Il nous reste : 15,34,31 c'est à dire une part inférieure à 20 et aucune supérieure à 40 mad

@Godisdead : Spoiler : [Afficher le message] Il s'agît plus de logique que de mathématiques , il n'y a pratiquement pas de calcul à faire . Je t'accorde que se placer dans le cas général ajoute une grosse difficulté au problème . Après on aime ou pas , c'est une question de goût smile

Bon courage à ceux qui ne sont pas encore dégoutés par l'exercice lol

Vasimolo

 #15 - 23-08-2012 19:02:53

gwen27
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Gââteau 55

Oui, je n'ai pas du bien élucider ce qui est clair dans ma tête... Si il y a un tel cas de figure, il me reste la possibilité de couper des parts de 20 à 39 (il y en a au moins 2 si pas de compléments) , c'est le cas où je disais qu'on est bloqué (cas n°6)   en 20 et 20, les reliquats pouvant être assemblés.

ici : 15 + 31 + 34 = 15 + 20 + 11 + 20 +14 = 40 + 40

 #16 - 23-08-2012 19:20:31

Vasimolo
Le pâtissier
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Gââteau 55

Je ne vais pas multiplier les exemples , j'aimerais une méthode simple qui marche à tous les coups ( sans chercher à minimiser le nombre de coupes ) .

Je précise que rien n'indique que le poids des parts est un nombre entier de grammes .

Vasimolo

PS  : je lève le cache sur le fil , après tout c'est plus amusant de chercher ensemble smile

 #17 - 23-08-2012 20:00:46

Franky1103
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Gâteaau 55

Bonjour,
C'est en lisant les posts ci-dessus que j'ai compris deux choses: 1°) l'intérêt de cet intéressant problème; 2°) pourquoi je n'ai jamais aimé les galettes lol
Bonne soirée.

 #18 - 23-08-2012 20:04:47

nodgim
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âteau 55

J'en suis là comme vous tous: Toutes les config possibles marchent, mais pour la généralisation..

Une piste:
Les gâteaux sont des segments de longueur moyenne 4 et mini 1.
On peint en noir une longueur 1 à chaque extrémité de segment, le noir représentant la zone d'interdiction de coupure. Les segments < 2 sont donc tout noirs. On place les segments sur un histogramme dans l'ordre croissant.

Théorème 1: les zones blanches des segments sont >= aux zones noires. Il y a égalité seulement si tous les segments sont >2.

Théorème 2: l'excés de zone blanche correspondant à la somme des 2-x pour tous les segments de longueur x<2.

Procédé de coupe: commencer par le plus petit et finir par le plus grand.
Toujours choisir, pour compléter les vides, par prendre le plus petit disponible.

Théorème 3: les zones blanches restent toujours >= aux zones noires à chaque étape de mise à niveau. Ce qui assure d'arriver au bout.

Bon, c'est très condensé. Le T3 est à regarder de près, les T1 et T2 sont faciles à comprendre.

 #19 - 24-08-2012 18:25:15

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteauu 55

Bonsoir Nodgim ,

T1 et T2 sont très clairs mais je ne comprends ton procédé de coupe et du coup je ne suis pas convaincu par le T3 .

Vasimolo

 #20 - 24-08-2012 21:15:04

gwen27
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Gtâeau 55

OK, je pense avoir trouvé un raisonnement valable...

Si il n'y a pas que des parts de 40g, il y en a une plus grosse au moins.

Je fais les découpes que je veux (et que je peux) pour avoir des compléments à 40 dans les parts de moins de 40g. (peu importe les fractions genre 11,496+ 29roll 8,504)

Il me reste toujours une part de plus de 40g.

Quand ce n'est plus possible, je prends la plus petite part et je cherche son complément dans une (ou la) part de plus de 40 g .

Soit je n'ai plus rien, soit il me reste des parts plus petites que 40g et donc , une part de moins pour 40g de moins :

Il me reste toujours une part de plus de 40g. big_smile

 #21 - 24-08-2012 21:18:25

gwen27
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Gâteau 5

Dans l'exemple 30 34 56 :

20+20 = 40 reste 10 14 56

10+30 = 40 reste 14 26 =40

On peut affiner en disant qu'on regroupe les parts qui ont une somme inférieure à 30g 10+14= 24 +16 = 40 reste 40

 #22 - 24-08-2012 22:38:14

Franky1103
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GGâteau 55

gwen27 a écrit:

peu importe les fractions genre 11,496+ 29,504

... dont la somme ne fait d'ailleurs pas 40 lol
Je chipote car on a compris ton raisonnement.

 #23 - 24-08-2012 23:26:27

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtea 55

Moi je n'ai pas compris le raisonnement de Gwen smile

Je répète qu'on se fiche d'une recherche de raffinement ou de rapidité qui cache souvent un défaut de méthode . Pour 10 galettes données proposer un découpage en évitant les "je fais ce que je veux tellement c'est simple" , "il n'y a pas de problème" , "il reste forcément une part d'au moins 40" , ...

Dans ces problèmes un peu délicats il faut aller au bout des choses . Je n'ai pas envie de passer mon temps à exhiber des contre-exemples pour m'entendre dire dans la seconde : oui mais là c'est trop simple , il suffit de ...

Quiconque qui passera un peu de temps sur un exemple trouvera une solution . Bien plus malin celui qui expliquera pourquoi il y en a toujours une !

Vasimolo

 #24 - 25-08-2012 11:19:43

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 5

C'est juste que l'écrire en détail est fastidieux et peu utile je trouve. lol
Il ne s'agit pas d'y aller à qui mieux mieux bien sûr, mais de réussir à faire 2 parts dont une de 40 grammes avec deux morceaux différents et de comprendre que s'il y a un morceau de moins et 40 grammes de moins par la même occasion, cela ne change pas la donne.

Je reprends pour les sceptiques smile :

Soit il n'y a que des morceaux de 40g (trivial) de toute façon, on met de côté les morceaux de 40g, inutile de s'embêter avec.
Soit il y a une part de plus de 40g qu'on va essayer de garder jusqu'au bout

1 ) Il y a des morceaux de 10 à 20 grammes :
Dans ce cas, je prends un de ces morceaux en entier et je découpe son complément dans une part de plus de 40g. J'avais bien 2 morceaux , il m'en reste toujours 2 dont un de 40g (même s'il est en deux parties) La moyenne étant toujours de 40 sur un morceau de moins et 40grammes de moins, il reste donc toujours un morceau de plus de 40 g non utilisé.

Je peux donc éliminer tous les morceaux de 10 à 20 grammes sans souci ni découpes inutiles.

2 ) Il reste des morceaux de 20 à 30g et d'aures de 30 à 40 g :
Dans ce cas, je peux former une part en découpant un morceau de 30 à 40g une fois pour compléter un des morceaux de 20 à 30 g car un morceau de 30 à 40g autorise toujours une découpe entre 10 et 20g.
Même constat : deux morceaux m'ont donné une part de 40g et un nouveau morceau de 10 à 30g.

Si le reliquat fait entre 10 et 20g , je repasse par le 1) et je fais une part au passage.
Si le reliquat fait entre 20 et 30g , je repasse par l'étape 2 et je fais une part au passage.

Je peux donc éliminer tous les morceaux de 30 à 40 g tant qu'il y a des morceaux de 20 à 30g

3 ) Il ne reste que des morceaux de 20 à 30g :
Je peux trouver leur complément dans un morceau de plus de 40g (découpe de 10 à 20g)
Et j'ai toujours un morceau de plus de 40g , les deux derniers morceaux seront donc complémentaires.

4 ) Si jamais je n'ai que des morceaux de 30 à 40g et des morceaux de plus de 40g
je coupe un morceau de 30à40g en deux morceaux dont un de 10g ce qui me donne un morceau de 20 à 30g que je peux donc associer à un autre de 30 à 40g.

Le reliquat du gros morceau fait (voire étape 2) entre 10 et 30g
S'il fait entre 20 et 30 g , je recommence avec un nouveau morceau de 30à40g tant qu'il y en a.
s'il fait entre 10 et 20 grammes , j'y ajoute le morceau de 10g et je recommence pareil sans jamais toucher au(x) morceaux de plus de 40g.

Il reste alors peut-être un morceau de 10g, un morceau entre 10 et 30 grammes et un  (ou des ) morceaux de plus de 40grammes
Si je n'ai plus le morceau de 10g, je suis dans le cas 1) ou 3)
Si  le second morceau fait entre 10 et 20 g, j'y adjoint le bout de 10g : cas 3)
Enfin, si le second morceau fait entre 20et30g , je prend son complément dans un morceau de plus de 40g.

Si c'était le dernier ou le seul morceau de 40g et plus: le reste fait obligatoirement 30g.
Si le reste du morceau de 40g fait plus de 40 grammes, j'en prend 30g pour aller avec le morceau de 10g
Si ce reste fait entre 10 et 20g, j'y ajoute les 10g pour faire une part de 20à 30 g
Si ce reste fait entre 20et 30 grammes, je recommence avec un nouveau morceau de 40g
si ce reste fait entre 30 et 40g , j'en remet 10g de côté et j'y rajoute 20g d'une part de 40 ou plus ce qui fait retomber sur un des cas déjà traités.

Là ça devient long mais soit il restera au bout du compte 2 morceaux de moins de 30g complémentaires, soit un morceau de 20à 30 grammes et un morceau de plus de 40g ce qui permet de conclure facilement.

On peut effectivement trouver plus rapide pour certains exemples qui n'obligent que rarement à mettre 10g de côté et chercher des raccourcis. Mais s'il faut détailler aussi les cas dans les quels on peut improviser, j'abandonne.

 #25 - 25-08-2012 11:23:23

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Gâteau 5

Je reprends ton cas "10 à 20 grammes" :

Dans ce cas, je prends un de ces morceaux en entier et je découpe son complément dans une part de plus de 40g. J'avais bien 2 morceaux , il m'en reste toujours 2 dont un de 40g (même s'il est en deux parties) La moyenne étant toujours de 40 sur un morceau de moins et 40grammes de moins, il reste donc toujours un morceau de plus de 40 g non utilisé.

Je pars avec un morceau de 15g et un de 65g. Je découpe 25g dans le morceau de 65g, et j'assemble cette part à celle de 15g. Il me reste toujours deux morceaux, e 40g en moyenne... dont un de 40g, et l'autre de 40g aussi, game over.

Ou alors je comprends mal ta démo ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

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