Je ne vois pas de contradiction et l'ensemble du gâteau doit être distribué

Vasimolo

Tu es sûr qu'ils ont tous la même part ?

Vasimolo

Une question pour la dernière part (N): Reçoit il au moins NP ? C'est à dire existe t il une contrainte sur les conditions de départ (P et F) pour arriver à ce que le dernier n'ait pas une part tronquée, quand le reste est plus petit que NP ?

Soient [latex]g[/latex], [latex]p[/latex] et [latex]f[/latex] le gâteau, la part et la fraction.

On considère la suite [latex](P_n)_{n \in [\![0, N]\!]}[/latex] définie par [latex]P_0 = 0[/latex] et [latex]\forall n \in [\![1, N]\!], P_n=n \cdot p + f \cdot (g - n \cdot p - P(n - 1))[/latex]

Où [latex]N[/latex] est tel que [latex]f \cdot (g - N \cdot p - P(N - 1)) = 0[/latex].

On montre pour [latex]N = 4[/latex] que :

Si [latex]P_2 - P_1 > 0[/latex] alors [latex]P_3 - P_2 > 0[/latex] et [latex]P_4 - P_3 < 0[/latex].

On en déduit que tous les triplets [latex](g, p, f)[/latex] donnant lieu à un partage de gâteau entre [latex]4[/latex] personnes et tels que la seconde part soit plus grosse que la première dérogent à la règle puisque ce sera l'avant dernier servi qui aura la plus grosse part.

L'ensemble de ces triplets est l'intersection des ensembles de solutions des équations [latex]f \cdot (g - 4 \cdot p - P(4 - 1)) = 0[/latex], [latex]P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = g[/latex] et [latex]P_2 - P_1 > 0[/latex].

Reste à montrer que cet ensemble est non vide

Si je prends G = 1000 ; P = 120 et F = 0.23
Le premier prend : 120 + 0.23*880 = 322.4
Le deuxième prend : 240 + 0.23* 437.6 = 340.648
et le troisième prend le reste : 336.952

Donc non, ce n'est pas toujours le cas ... Pourquoi ? j'en sais rien

Bonjour

Dans ton dernier poste, tu veux dire que F, P et G sont forcément choisit de manière à ce que la part du dernier soit un multiple de P ?

Je ne vais pas au bout et on doit pouvoir trouver plus simple mais je pars de la fin, l'exemple "égal" est assez simple m :

Je suis sûr qu'on doit pouvoir prouver ç en deux ou 3 ligne avec les machin de suite géométrique et tout ça lmais je ne connais pas.

Voilà l'idée générale :

Non Vasimolo, ce n'est pas ce dessin que j'ai en tête, mais bon ça ne change rien, je veux dire que ça ne sert pas pour la démo.

La démo est une histoire de logique. Si on part de la fin vers le début, il est évident que les parts F sont croissantes, puisqu'elles sont proportionnelles au reste.
Si le 1er F non nul (avant denière part) est > P, alors la suite des parts est croissante (de la fin vers le début).
Si le dernier F (part 1) est < P, alors la suite est décroissante.
Si le 1er F non nul (avant dernière part) est <P et le dernier F (part 1) >P,alors la suite est décroissante puis croissante.

Dans les 3 cas, c'est bien tjs une des parts d'extrémités qui est max.

S'il reste une part R du gateau, la n-ième personne va recevoir une part [latex]n*P-(R-n*P)*F[/latex] et le nouveau reste sera alors [latex]R'=R-n*P+(R-n*P)*F = (R-n*P)(1-F)[/latex]

(G) est la suite définie de la manière suivante pour [latex]n >= 0[/latex] :
[TeX]G_0 = G[/TeX]
[TeX]G_{n+1} = (G_n-(n+1)*P)(1-F)[/TeX]
[TeX]G_n[/latex] correspond donc à la partie restante du gateau après avoir servi n personnes.


On pose (U) la suite définie par [latex]U_n = G_n + P*\frac{(n+1)(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]U_0 = G + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]U_{n+1} = G_{n+1} + P*\frac{(n+2)(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= (G_n-(n+1)*P)(1-F) + P*\frac{(n+2)(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= G_n*(1-F) -(n+1)*P*(1-F) + P*\frac{(n+1)(1-F)}{F} + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= G_n*(1-F) + P*\frac{(n+1)(1-F)^2}{F} + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= (1-F)(G_n + P*\frac{(n+1)(1-F)}{F}) + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= (1-F)*U_n + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
On pose (V) la suite définie par [latex]V_n = U_n -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/latex]
[TeX]V_0 = U_0 -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]V_0 = G + P*\frac{(1-F)}{F} -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]V_0 = G - P*(\frac{(1-F)}{F})^2[/TeX]
[TeX]V_{n+1} = U_{n+1} -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]= (1-F)*U_n + P*\frac{(1-F)}{F} -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]= (1-F)*U_n - P*(\frac{(1-F)}{F})^2[/TeX]
[TeX]= (1-F)*(U_n -P*\frac{(1-F)}{F^2})[/TeX]
[TeX]= (1-F)*V_n[/TeX]
[TeX]V_n = V_0*(1-F)^n = (G - P*(\frac{(1-F)}{F})^2)*(1-F)^n[/TeX]
Et maintenant, on remonte sur (U) puis sur G:
[TeX]V_n = (G -P*(\frac{(1-F)}{F})^2)*(1-F)^n[/TeX]
[TeX]U_n = (G -P*(\frac{(1-F)}{F})^2)*(1-F)^n + P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]U_n = G*(1-F)^n + P*\frac{(1-F)}{F^2} * (1-(1-F)^{n+1})[/TeX]
[TeX]G_n = G*(1-F)^n + P*\frac{(1-F)}{F^2} * (1-F-nF-(1-F)^{n+1})[/TeX]
Et enfin, on peut poser (P) la suite définie pour [latex]n >= 0[/latex] qui correspond à la part d'une personne:
[TeX]P_n = G_{n-1} - G_n = [/TeX]
[TeX]G*(1-F)^{n-1} +P*\frac{(1-F)}{F^2} * (1-nF-(1-F)^n}) -G*(1-F)^n -P*\frac{(1-F)}{F^2} * (1-F-nF-(1-F)^{n+1})[/TeX]
[TeX]P_n = F*G*(1-F)^{n-1} + P*\frac{(1-F)}{F} * (1-(1-F)^n)[/TeX]
Soit f la fonction définie sur R par [latex]f(x) = F*G*(1-F)^{x-1} + P*\frac{(1-F)}{F} * (1-(1-F)^x)[/latex]. Calculons sa variation en regardant quand la dérivée est positive:
[TeX]f'(x) = F*G*ln(1-F)*(1-F)^{x-1} - P*\frac{(1-F)}{F} * ln(1-F)(1-F)^x > 0 [/TeX]
[TeX]F*G*ln(1-F)*(1-F)^{x-1} > P*\frac{(1-F)}{F} * ln(1-F)(1-F)^x[/TeX]
[TeX]F*G*(1-F)^{x-1} < P*\frac{(1-F)}{F}(1-F)^x[/TeX]
[TeX]F*G < P*\frac{(1-F)}{F}(1-F)[/TeX]
[TeX]F^2*G < P*(1-F)^2[/TeX]
Cette dernière expression ne dépend pas de x, ses variables sont des constantes, autrement dit l'inégalité est soit toujours vraie soit toujours fausse.
En d'autres termes, f est une fonction monotone, et comme [latex]P_n = f(n)[/latex], P est une suite soit croissante, soit décroissante : le 1er ou le dernier auront la plus grosse part.
Par ailleurs, si [latex]F^2*G < P*(1-F)^2[/latex] la plus grosse par va au dernier et inversement sinon.
Exemples:
- G=35, P=10, F=1/5; on a 1.4<1.6 et donc le dernier sera mieux servi : en pratique le premier reçoit 15 et le second 20
- G=50, P=10, F=1/2; on a 12.5>2.5 et donc le premier sera mieux servi : en pratique le premier reçoit 30 et le second 20

@Nodgim : Je ne suis pas convaincu

@Titoufred : C'est ça et c'est très proche des calculs que j'ai fait , avec une petite variante à la fin .

@Scarta : C'est apparemment juste mais un peu long En tout cas la conclusion est la bonne .

Bon courage à ceux qui cherchent encore .

Vasimolo

C'est ça Golgot , c'est simple quand on a vu le truc

Vasimolo

Vasimolo a écrit:

@Titoufred : C'est ça et c'est très proche des calculs que j'ai fait , avec une petite variante à la fin .

Ah oui, j'ai été un peu longuet sur la conclusion :
[TeX]P_{k+1} \geq P_k \Leftrightarrow P_{k+1}+P \geq P_k+P \Leftrightarrow (P_{k+1}+P)(1-F) \geq (P_k+P)(1-F) \Leftrightarrow P_{k+2} \geq P_{k+1}  [/TeX]