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 #1 - 29-06-2014 11:04:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteeau 79

Bonjour à tous smile

Ces derniers temps mon pâtissier s’est lancé dans de curieux partages .

Il choisit une part fixe positive P et une fraction F dans l’intervalle [0 ; 1] .

Il donne au premier : P1=P+F.R ( R est ce qu’il reste du gâteau ) .
Il donne au deuxième : P2=2.P+F.R ( R est le nouveau reste ) .
Il donne au troisième : P3=3.P+F.R ( R est toujours le nouveau reste ) .
………………
Il donne au dernier : PN=N.P+F.R=N.P .

Un exemple de partage en deux d'un gâteau G=500 avec P=100 et F=0,5 :

Part du premier : P1=100+0,5.400=300 .
Part du deuxième : P2=200+0,5.0=200 .

Un autre exemple en trois avec : G=655 , P=80 , F=0,2 :

Part du premier : P1=80+0,2.575=195 .
Part du deuxième : P2=160+0,2.300=220 .
Part du troisième : P3=240+0,2.0=240 .

Dans ces deux exemples le premier ou le dernier servi a la plus grosse part , est-ce toujours le cas ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 29-06-2014 11:12:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Gâtea 79

Bah non, si f=0,1

P1 = 100+40 =140
P2 = 200+ 16 = 216

 #3 - 29-06-2014 11:18:51

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 799

Je ne vois pas de contradiction et l'ensemble du gâteau doit être distribué smile

Vasimolo

 #4 - 29-06-2014 11:49:26

gwen27
Elite de Prise2Tete
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gâtzau 79

Bah pour 1000, 50 et 1/5  ils ont tous la plus grosse part lol

 #5 - 29-06-2014 18:47:05

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâeau 79

Tu es sûr qu'ils ont tous la même part ?

Vasimolo

 #6 - 29-06-2014 18:51:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
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âGteau 79

Non, mais ça marche pour 18 2 .

De toute façon , je pense que cette fonction est "uniforme" dans sa  croissance.

Donc, décroissante, croissante ou linéaire.

 #7 - 29-06-2014 18:56:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
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âteau 79

Une question pour la dernière part (N): Reçoit il au moins NP ? C'est à dire existe t il une contrainte sur les conditions de départ (P et F) pour arriver à ce que le dernier n'ait pas une part tronquée, quand le reste est plus petit que NP ?

 #8 - 29-06-2014 18:59:37

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteeau 79

@Gwen : 18 2 , je ne comprends pas smile La taille des parts semble croissante ou décroissante , après il faut le prouver ou trouver un contre-exemple .
@Nodgim : Il n'y a plus de reste quand le dernier est servi ( revoir le message initial ) .

Vasimolo

 #9 - 29-06-2014 19:48:45

Sydre
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Gâtteau 79

Soient [latex]g[/latex], [latex]p[/latex] et [latex]f[/latex] le gâteau, la part et la fraction.

On considère la suite [latex](P_n)_{n \in [\![0, N]\!]}[/latex] définie par [latex]P_0 = 0[/latex] et [latex]\forall n \in [\![1, N]\!], P_n=n \cdot p + f \cdot (g - n \cdot p - P(n - 1))[/latex]

Où [latex]N[/latex] est tel que [latex]f \cdot (g - N \cdot p - P(N - 1)) = 0[/latex].

On montre pour [latex]N = 4[/latex] que :

Si [latex]P_2 - P_1 > 0[/latex] alors [latex]P_3 - P_2 > 0[/latex] et [latex]P_4 - P_3 < 0[/latex].

On en déduit que tous les triplets [latex](g, p, f)[/latex] donnant lieu à un partage de gâteau entre [latex]4[/latex] personnes et tels que la seconde part soit plus grosse que la première dérogent à la règle puisque ce sera l'avant dernier servi qui aura la plus grosse part.

L'ensemble de ces triplets est l'intersection des ensembles de solutions des équations [latex]f \cdot (g - 4 \cdot p - P(4 - 1)) = 0[/latex], [latex]P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = g[/latex] et [latex]P_2 - P_1 > 0[/latex].

Reste à montrer que cet ensemble est non vide big_smile

 #10 - 29-06-2014 21:10:11

golgot59
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fâteau 79

Salut !

Alors discernons les cas :

Cas N=1. Sans intérêt
Cas N=2. Sans intérêt

Cas N=3 :
P1=P+F.R1 avec R1=G-P donc
P1=P(1-F)+FG
P2=2P+F.R2 avec R2=G-P1-2P
donc P2=2P(1-F)+FG-FP1=2P(1-F)+FG-FP(1-F)-F²G=P(1-F)(2-F)+FG(1-F)
P2=(1-F)(2P-PF+FG)
P3=3P+F.R3 avec R3=0
P3=3P
P1+P2+P3=G
(1-F)(3P-PF+FG)+FG+3P=G
Je vous fait grâce des calculs, je trouve après simplification :
P=G*(1-F)²/(6-4F+F²)
Conclusion, G est un coefficient, et P se calcule à partir de F, qui devient la seule variable !
Expérimentalement, on trouve que P1 ou P2 sont toujours les plus grands, sauf dans le cas où F=0.25 et P=G/9 (la flemme de le démontrer tongue)

Cas N=4 :
Même principe et je trouve :
P=G(1-3F+3F²-F^3)/(10-10F+5F²-F^3)
Même conclusion qu'au dessus avec F=0.2 et P=G/16

Il ne s'agit nullement d'une démo mais je suppose que le résultat est toujours le même avec F=1/(N+1) et P=G/N² big_smile

Reste à le démontrer... roll

 #11 - 29-06-2014 22:36:25

godisdead
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gâtrau 79

Si je prends G = 1000 ; P = 120 et F = 0.23
Le premier prend : 120 + 0.23*880 = 322.4
Le deuxième prend : 240 + 0.23* 437.6 = 340.648
et le troisième prend le reste : 336.952

Donc non, ce n'est pas toujours le cas ... Pourquoi ? j'en sais rien smile

 #12 - 29-06-2014 23:54:49

Vasimolo
Le pâtissier
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GGâteau 79

Attention Godisdead , la part du dernier qui est le reste du gâteau doit être calculée de la même façon que celle des autres .

Vasimolo

 #13 - 30-06-2014 01:23:36

cogito
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Gââteau 79

Bonjour smile

Dans ton dernier poste, tu veux dire que F, P et G sont forcément choisit de manière à ce que la part du dernier soit un multiple de P ?


Il y a sûrement plus simple.

 #14 - 30-06-2014 06:48:55

nodgim
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gâteai 79

Pour moi c'est oui.
La suite des parts successives peut être soit tjs croissante, soit tjs décroissante, soit décroissante puis croissante. Le max est tjs à une extrémité.
On peut visualiser géométriquement ce partage: Un triangle rectangle dont le grand coté de l'angle droit est le gâteau, modélisé par cette longueur. Le petit coté est représentatif de F: la part F ajoutée est proportionnelle à la hauteur du lieu. On peut construire ce triangle à partir de F et N.

 #15 - 30-06-2014 10:11:58

gwen27
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Gâteau 7

Je ne vais pas au bout et on doit pouvoir trouver plus simple mais je pars de la fin, l'exemple "égal" est assez simple m :

Je suis sûr qu'on doit pouvoir prouver ç en deux ou 3 ligne avec les machin de suite géométrique et tout ça lmais je ne connais pas.

Voilà l'idée générale :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau79.JPG

 #16 - 30-06-2014 11:21:14

Vasimolo
Le pâtissier
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gâreau 79

Je vois qu'il y a du beau monde sur l'affaire smile

@Cogito : oui la nième et dernière part est bien nP , c'est donc un multiple de P .

@Nodgim : si j'ai bien compris ton interprétation géométrique :

http://s12.postimg.org/3sxmo3exp/Interpr_tation_g_om_trique.jpg

Je ne vois pas comment conclure ????

@Gwen : Il y a une solution très "simple" sans sortir l'artillerie lourde , il faut simplement attaquer le gâteau par le bon bout .

Bonne recherche à tous smile

Vasimolo

 #17 - 30-06-2014 19:19:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâtea 79

Non Vasimolo, ce n'est pas ce dessin que j'ai en tête, mais bon ça ne change rien, je veux dire que ça ne sert pas pour la démo.

La démo est une histoire de logique. Si on part de la fin vers le début, il est évident que les parts F sont croissantes, puisqu'elles sont proportionnelles au reste.
Si le 1er F non nul (avant denière part) est > P, alors la suite des parts est croissante (de la fin vers le début).
Si le dernier F (part 1) est < P, alors la suite est décroissante.
Si le 1er F non nul (avant dernière part) est <P et le dernier F (part 1) >P,alors la suite est décroissante puis croissante.

Dans les 3 cas, c'est bien tjs une des parts d'extrémités qui est max.

 #18 - 01-07-2014 11:17:58

titoufred
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gâteai 79

Oui, c'est toujours le cas car la suite des [latex]P_k[/latex] est monotone.

En effet, [latex]P_{k+1}-P_k=P-F(P+P_k)[/latex].

On en tire d'une part que [latex]P_{k+1}=(P_k+P)(1-F)[/latex]

et d'autre part que [latex]P_{k+1}\geq P_k \Leftrightarrow P_k \leq \frac{P(1-F)}{F}[/latex]

Ainsi [latex]P_{k+1}\geq P_k \Leftrightarrow P_k \leq \frac{P(1-F)}{F} \Leftrightarrow P_k+P \leq \frac{P}{F}[/latex]
[TeX]\Leftrightarrow (P_k+P)(1-F) \leq \frac{P(1-F)}{F} \Leftrightarrow P_{k+1} \leq \frac{P(1-F)}{F} \Leftrightarrow P_{k+2}\geq P_{k+1} [/TeX]
CQFD.

 #19 - 01-07-2014 11:20:51

scarta
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Gâtea u79

S'il reste une part R du gateau, la n-ième personne va recevoir une part [latex]n*P-(R-n*P)*F[/latex] et le nouveau reste sera alors [latex]R'=R-n*P+(R-n*P)*F = (R-n*P)(1-F)[/latex]

(G) est la suite définie de la manière suivante pour [latex]n >= 0[/latex] :
[TeX]G_0 = G[/TeX]
[TeX]G_{n+1} = (G_n-(n+1)*P)(1-F)[/TeX]
[TeX]G_n[/latex] correspond donc à la partie restante du gateau après avoir servi n personnes.


On pose (U) la suite définie par [latex]U_n = G_n + P*\frac{(n+1)(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]U_0 = G + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]U_{n+1} = G_{n+1} + P*\frac{(n+2)(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= (G_n-(n+1)*P)(1-F) + P*\frac{(n+2)(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= G_n*(1-F) -(n+1)*P*(1-F) + P*\frac{(n+1)(1-F)}{F} + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= G_n*(1-F) + P*\frac{(n+1)(1-F)^2}{F} + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= (1-F)(G_n + P*\frac{(n+1)(1-F)}{F}) + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
[TeX]= (1-F)*U_n + P*\frac{(1-F)}{F}[/TeX]
On pose (V) la suite définie par [latex]V_n = U_n -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/latex]
[TeX]V_0 = U_0 -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]V_0 = G + P*\frac{(1-F)}{F} -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]V_0 = G - P*(\frac{(1-F)}{F})^2[/TeX]
[TeX]V_{n+1} = U_{n+1} -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]= (1-F)*U_n + P*\frac{(1-F)}{F} -P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]= (1-F)*U_n - P*(\frac{(1-F)}{F})^2[/TeX]
[TeX]= (1-F)*(U_n -P*\frac{(1-F)}{F^2})[/TeX]
[TeX]= (1-F)*V_n[/TeX]
[TeX]V_n = V_0*(1-F)^n = (G - P*(\frac{(1-F)}{F})^2)*(1-F)^n[/TeX]
Et maintenant, on remonte sur (U) puis sur G:
[TeX]V_n = (G -P*(\frac{(1-F)}{F})^2)*(1-F)^n[/TeX]
[TeX]U_n = (G -P*(\frac{(1-F)}{F})^2)*(1-F)^n + P*\frac{(1-F)}{F^2}[/TeX]
[TeX]U_n = G*(1-F)^n + P*\frac{(1-F)}{F^2} * (1-(1-F)^{n+1})[/TeX]
[TeX]G_n = G*(1-F)^n + P*\frac{(1-F)}{F^2} * (1-F-nF-(1-F)^{n+1})[/TeX]
Et enfin, on peut poser (P) la suite définie pour [latex]n >= 0[/latex] qui correspond à la part d'une personne:
[TeX]P_n = G_{n-1} - G_n = [/TeX]
[TeX]G*(1-F)^{n-1} +P*\frac{(1-F)}{F^2} * (1-nF-(1-F)^n}) -G*(1-F)^n -P*\frac{(1-F)}{F^2} * (1-F-nF-(1-F)^{n+1})[/TeX]
[TeX]P_n = F*G*(1-F)^{n-1} + P*\frac{(1-F)}{F} * (1-(1-F)^n)[/TeX]
Soit f la fonction définie sur R par [latex]f(x) = F*G*(1-F)^{x-1} + P*\frac{(1-F)}{F} * (1-(1-F)^x)[/latex]. Calculons sa variation en regardant quand la dérivée est positive:
[TeX]f'(x) = F*G*ln(1-F)*(1-F)^{x-1} - P*\frac{(1-F)}{F} * ln(1-F)(1-F)^x > 0 [/TeX]
[TeX]F*G*ln(1-F)*(1-F)^{x-1} > P*\frac{(1-F)}{F} * ln(1-F)(1-F)^x[/TeX]
[TeX]F*G*(1-F)^{x-1} < P*\frac{(1-F)}{F}(1-F)^x[/TeX]
[TeX]F*G < P*\frac{(1-F)}{F}(1-F)[/TeX]
[TeX]F^2*G < P*(1-F)^2[/TeX]
Cette dernière expression ne dépend pas de x, ses variables sont des constantes, autrement dit l'inégalité est soit toujours vraie soit toujours fausse.
En d'autres termes, f est une fonction monotone, et comme [latex]P_n = f(n)[/latex], P est une suite soit croissante, soit décroissante : le 1er ou le dernier auront la plus grosse part.
Par ailleurs, si [latex]F^2*G < P*(1-F)^2[/latex] la plus grosse par va au dernier et inversement sinon.
Exemples:
- G=35, P=10, F=1/5; on a 1.4<1.6 et donc le dernier sera mieux servi : en pratique le premier reçoit 15 et le second 20
- G=50, P=10, F=1/2; on a 12.5>2.5 et donc le premier sera mieux servi : en pratique le premier reçoit 30 et le second 20

 #20 - 01-07-2014 16:18:57

titoufred
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fâteau 79

J'explique la relation initiale du post précédent, qui n'est pas si évidente que ça :
[TeX]P_{k+1}-P_k=((k+1)P+FR_{k+1})-(kP+FR_k)=P-F(R_k-R_{k+1})[/TeX]
Or, [latex]R_k-R_{k+1}=(k+1)P+FR_k=P+kP+FR_k=P+P_k[/latex]

Ainsi, [latex]P_{k+1}-P_k=P-F(P+P_k)[/latex]

 #21 - 01-07-2014 16:38:07

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 779

@Nodgim : Je ne suis pas convaincu smile

@Titoufred : C'est ça et c'est très proche des calculs que j'ai fait , avec une petite variante à la fin .

@Scarta : C'est apparemment juste mais un peu long lollollol En tout cas la conclusion est la bonne .

Bon courage à ceux qui cherchent encore .

Vasimolo

 #22 - 01-07-2014 20:02:49

golgot59
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Gâteau 7

Ca y est ! Je pense avoir trouvé la bonne approche :

Si on s'occupe de la x-ième part, on a  :
[TeX]P_x=x.P+f[G-(P_1+P_2+...+P_x_-_1+x.P)][/TeX]
, puis je soustrait [latex](fP_x+fP)[/latex] à chaque membre :
[TeX]P_x.(1-f)-fP=x.P+f[G-(P_1+P_2+...+P_x+(x+1).P)][/TeX]
Maintenant la x+1-ième part :
[TeX]P_x_+_1=(x+1).P+f[G-(P_1+P_2+...+P_x+(x+1).P)][/TeX]
On fait la différence des 2 qui donne :
[TeX]P_x_+_1=P_x.(1-f)+P.(1-f)[/TeX]
On a là une suite arithmético-géométrique  avec 1-f>0, donc la suite est monotone !

Conclusion, seule une borne peut être le maximum.

 #23 - 01-07-2014 22:36:52

Vasimolo
Le pâtissier
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Gtâeau 79

C'est ça Golgot , c'est simple quand on a vu le truc smile

Vasimolo

 #24 - 02-07-2014 11:53:24

scarta
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 7

C'est vrai qu'il y a plus simple.
Pour un exemple avec des part égales, on peut prendre G=100, P=1 et F=1/11
On a alors 10 parts égales.
Et pour finir, le gateau G et le nombre de personnes N étant fixés, on peut faire un partage équitable avec F = 1/(1+N) et P = G/N²

 #25 - 02-07-2014 13:30:07

titoufred
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GGâteau 79

Vasimolo a écrit:

@Titoufred : C'est ça et c'est très proche des calculs que j'ai fait , avec une petite variante à la fin .

Ah oui, j'ai été un peu longuet sur la conclusion :
[TeX]P_{k+1} \geq P_k \Leftrightarrow P_{k+1}+P \geq P_k+P \Leftrightarrow (P_{k+1}+P)(1-F) \geq (P_k+P)(1-F) \Leftrightarrow P_{k+2} \geq P_{k+1}  [/TeX]

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