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 #1 - 06-01-2016 18:42:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 117

On est le 06/01/2016 et il nous faut quand même une petite galette smile

Mon pâtissier a un peu raté la sienne lollollol

Il a placé la fève au centre ( très très mauvaise idée ) et en plus les bords n'ont pas du tout apprécié la cuisson . Il a donc choisi 7 points au hasard sur le bord de la galette et enlevé les parties brûlées : 

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-galette117.png

Il prétend qu'il y a moins de 10% de chance que la galette ait perdue sa fève , ça semble réaliste mais qu'en pensez-vous ?

Amusez-vous bien .

Vasimolo

PS : pas de calculs savants , juste un peu de cuisine sans prétention smile



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 #2 - 06-01-2016 19:06:06

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

gâyeau 117

Afin d'éviter les ambiguïtés du type "paradoxe de Bertrand", pourrais-tu préciser comment tu fais pour choisir 7 points au hasard ?

Je suppose que tu places chaque point indépendamment des 6 autres, suivant une loi uniforme sur le cercle ?

 #3 - 06-01-2016 19:08:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 1117

Oui , les points sont choisis selon une loi uniforme et indépendamment les uns des autres .

Vasimolo

 #4 - 06-01-2016 19:24:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Gâteau 1117

Avec un raisonnement assez simpliste, en ne tenant compte que du résultat obtenu, sans me soucier de savoir comment on a choisi les points, je trouve un peu plus de 10,9 % de chances. (7/64)

 #5 - 06-01-2016 19:32:00

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

gâteay 117

Bonsoir,
J'ai commencé par faire des simulations (1 000 000 de galettes à chaque fois), et je trouve que la probabilité de perdre la fève dépasse 10.9 %.
Pour 3 points, on calcule une probabilité de 75 %, confirmée par la simulation.
Je continue à réfléchir…

 #6 - 06-01-2016 20:15:26

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Gâteeau 117

Prenons les deux points les plus éloignés, pour exclure la fève dans le pire des cas ils sont diamétralement opposés. les autres points doivent tous être sur le même coté (le plus petit car ce sont les points les plus éloignés(*)) soit :
[latex](\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} < 10\%[/latex] chance.

Donc oui c'est vrai, et même très large.

(*) En fait si [latex]a_{max} > \frac{2}{3}\pi[/latex] il existe une une zone sur le côté large où il peut y avoir des points sans changer les points les plus éloignés, mais en plaçant un points dans cette zone, la fève est automatiquement incluse, ce qui ne change donc rien à la nécessitée d'avoir les points sur le petit côté pour l'exclusion de la fève.

 #7 - 06-01-2016 22:32:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gtâeau 117

@Gwen : à quel raisonnement "simpliste" fais-tu allusion ?
@Enigmatus : bonne estimation , après il faut justifier smile
@Mathieu : Je ne suis pas convaincu .

Vasimolo

 #8 - 06-01-2016 22:45:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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âGteau 117

Je pars d'un point quelconque et je tourne dans un sens.

Je rencontre 6 points dans l'ordre et chacun a une chance sur 2 d'être à moins de mi distance du premier ( à chaque fois, je ne prends que les deux points considérés en compte et j'oublie les autres)  Soit 1/64 au bout des 6 points.

J'ai 7 points de départ possibles pour ce raisonnement. ==> 7/64

Le raisonnement étant cyclique et ne dépendant pas du point choisi au départ, ni du sens de rotation, le résultat ne varie pas.

 #9 - 07-01-2016 02:52:22

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 165

Gâtau 117

Chez moi l'épiphanie, c'est ça...

http://a404.idata.over-blog.com/3/95/08/94/pains/galette-des-rois-briochee--13-.JPG

La fève étant au centre, et le centre étant creux, il a donc 100% de chance qu'elle ne soit pas dedans.

On en conclue qu'il se trompe.
C'était facile cette fois... smile

Soyons sérieux.
Soit un demi-cercle. Dans le cas où l'ensemble des 7 points est situés sur ce demi-cercle, alors la fève n'est pas dans le gâteau. Mais ça ne me donne pas la probabilité, ni même une approximation valable.
Considérer les points de façon individuel et réduire la probabilité à quant à l'appartenance où non à ce demi-cercle me paraît être un raisonnement un peu simple.
Une loi binomiale ferait-elle l'affaire? Pas sur du tout...

Dans le cas où X est la variable aléatoire tel que X associe k points parmi 7 appartenant au même demi-cercle, on a :

P(X=7) = C(7;7) * (1/2)^7 * (1/2)^0 = (1/128)

On cherche la probabilité contraire :

P(X<7) = 1 - (1/128) = 0,99 environ.

Soit 1% de chance que la fève ne soit plus dans le gâteau.
Résultat qui ne me satisfait pas.

 #10 - 07-01-2016 15:41:12

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Gâteua 117

Mmh. Je pense que ton pâtissier a tort ; la galette aura perdu sa fève avec une probabilité de 7/64, soit légèrement plus de 10%.

Mais pour l'instant, je n'y arrive qu'avec des calculs savants hmm

 #11 - 07-01-2016 16:58:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâtaeu 117

J'ai bien une méthode, mais je sais pas si elle est valable.

Si on partage le gâteau en 4 parts 1234:
Il y a 4 moitiés: 12,23,34,41.
Comme les moitiés ont une partie commune, par exemple 2 entre 12 et 23, et que cette partie commune est comptée 2 fois, il faut la déduire:
Résultat : 4[(1/2)^7-(1/4)^7]=0.03 environ.

Si on partage le gâteau en 8 parts, on fait pareil sauf que c'est un peu plus compliqué, car il y a plusieurs niveaux de surcomptage, qu'il faut déduire du niveau précédent.
Je ne donne pas le détail, mais le résultat: 0,054....

Si la méthode est bonne, je donnerais le détail pour les 8 parts, et tenterais le partage en 16 parts.

 #12 - 07-01-2016 17:21:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 171

@Gwen : c'est bon , c'est surprenant de simplicité smile
@Ebichu : c'est bon , il reste à trouver une justification simple .
@LaidZep & Nodgim : non , ce n'est pas ça , courage !

Il y a vraiment une méthode élémentaire pour résoudre le problème ( ce qui ne veut pas dire que c'est facile à trouver ) .

Bonne recherche .

Vasimolo

 #13 - 07-01-2016 19:17:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Gteau 117

J'ai 7 points de départ possibles pour ce raisonnement. ==> 7/64

J'aurais peut-être du rajouter "et chaque chance exclut totalement les autres" pour justifier l'addition des 7 cas.

 #14 - 07-01-2016 20:32:13

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 165

gâteai 117

J'ai d'autres idées comme le fait que 3 points formant un triangle aiguë soit suffisant pour avoir la fève dans le gâteau, ou que les deux points les plus éloignés forment un angle inférieur à 180°.
Mais ça ne m'avance pas beaucoup en terme de probabilités.

 #15 - 07-01-2016 22:06:16

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
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Gâtaeu 117

Je reviens avec une méthode différente, moins fausse j'espère hmm

On va diviser le cercle en [latex]2n[/latex] secteurs de tailles égales et y répartir les 7 points. Pour exclure la fève tout les points doivent être du même côté. Parmi les distributions défavorables, il y a [latex]2n[/latex] possibilités pour la position du premier point précédent les 6 autres dans le sens des aiguilles d'une montre.

Soit une probabilité d'exclusion :
[TeX]2n\frac{\binom{n-1}{6}}{\binom{2n}{7}} \
= \frac{7*2n(n-1)...(n-6)}{2n(2n-1)...(2n-6)}[/TeX]
En passant à la limite on trouve une proba de [latex]\frac{7}{2^6} = \frac{7}{64}[/latex] d'exclure la fève.

Alors soit je me suis encore trompé soit le pâtissier est légèrement prétentieux smile

 #16 - 07-01-2016 23:44:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 1117

Ce n'est pas faux Mathieu smile

Si on veut être tout à fait rigoureux deux points peuvent partager le même secteur et ta probabilité n'est alors qu'une estimation , elle devient réelle quand n grandit .

Tu devrais pouvoir simplifier encore un petit peu ta méthode .

Vasimolo

 #17 - 08-01-2016 00:03:55

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
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âGteau 117

Oui c'était l'idée

Il faut et il suffit qu'il y existe un point suivie de 6 points sur le même demi cercle dans le sens des aiguilles d'une montre. Soit [latex]\frac{1}{2^6}[/latex] chances pour un point donné.
Ces probabilités sont exclusives donc la probabilité totale est la somme des 7 probabilités, soit [latex]\frac{7}{2^6} = \frac{7}{64}[/latex]

C'est vrai que dit comme ça c'est beaucoup plus simple smile

 #18 - 08-01-2016 16:41:28

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteaau 117

C'est ça Mathieu .

Vasimolo

 #19 - 08-01-2016 18:18:48

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 165

Gââteau 117

S'agit-il de considérer un heptagone régulier, donc une répartition homogène des points assimilée à une moyenne (dont on donnera une approximation par dispersion), et d'approximer une probabilités en soustrayant l'aire du cercle, à l'aire de cette heptagone régulier?
Ce raisonnement me paraît trop simple, encore une fois.

 #20 - 08-01-2016 18:24:15

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteu 117

Non LaidZep , tu prends le "Stairway to Hell" lollollol

Vasimolo

 #21 - 08-01-2016 18:38:07

Laidzep
Professionnel de Prise2Tete
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Gtâeau 117

Le problème exige des connaissances pointues en mathématiques?

 #22 - 08-01-2016 18:40:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâtaeu 117

Absolument pas , relis le premier message smile

Vasimolo

 #23 - 09-01-2016 08:43:46

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Gâteau 11

Graphiquement, la fève sera retirée si il existe un demi cercle ne contenant pas de sommets. Il y aura 0 ou 1 sommet situé à l’extrémité gauche de cet éventuel demi cercle

Avec 7 sommets :
Pour un sommet donné, la probabilité qu'il soit situé a l’extrémité gauche du demi cercle est (1/2)^6=1.56%

Comme il y a au plus 1 sommet situé à gauche du vide , la probabilité cumulée est inférieure à 7*1.56=10.9%

Pas tout a fait 10% mais le pâtissier, commerçant, s'octroie le droit d'arrondir les angles…de ses galettes…

___

remarque

Avec 3 sommets, une intégration élémentaire montre que la probabilité est de 3/4 de perdre la fève.

En effet, Si on prend les 2 premiers sommets formant un angle alpha (entre 0 et pi ) alors la probabilité que les 3 incluent la fève est alpha/2pi. (il faut 3 points couvrant plus de pi pour couvrir la fève)

En intégrant la valeur de alpha entre 0 et pi (le problème étant symétrique ) on trouve que le probabilité que la fève soit dans la galette  est de 1/4.

 #24 - 09-01-2016 08:57:51

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gâteau 17

@Portugal : on peut calculer exactement la probabilité .

Vasimolo

 #25 - 09-01-2016 09:15:33

portugal
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Messages : 374

gâteai 117

Est ce la bonne voie ou suis a coté de la plaque de cuisson ?

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