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#1 - 06-01-2016 18:42:22
- Vasimolo
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#2 - 06-01-2016 19:06:06
- Ebichu
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gâteay 117
Afin d'éviter les ambiguïtés du type "paradoxe de Bertrand", pourrais-tu préciser comment tu fais pour choisir 7 points au hasard ?
Je suppose que tu places chaque point indépendamment des 6 autres, suivant une loi uniforme sur le cercle ?
#3 - 06-01-2016 19:08:38
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Gâteau 17
Oui , les points sont choisis selon une loi uniforme et indépendamment les uns des autres .
Vasimolo
#4 - 06-01-2016 19:24:01
- gwen27
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Gâteau 17
Avec un raisonnement assez simpliste, en ne tenant compte que du résultat obtenu, sans me soucier de savoir comment on a choisi les points, je trouve un peu plus de 10,9 % de chances. (7/64)
#5 - 06-01-2016 19:32:00
- enigmatus
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gâteay 117
Bonsoir, J'ai commencé par faire des simulations (1 000 000 de galettes à chaque fois), et je trouve que la probabilité de perdre la fève dépasse 10.9 %. Pour 3 points, on calcule une probabilité de 75 %, confirmée par la simulation. Je continue à réfléchir…
#6 - 06-01-2016 20:15:26
- w9Lyl6n
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Gteau 117
Prenons les deux points les plus éloignés, pour exclure la fève dans le pire des cas ils sont diamétralement opposés. les autres points doivent tous être sur le même coté (le plus petit car ce sont les points les plus éloignés(*)) soit : [latex](\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} < 10\%[/latex] chance.
Donc oui c'est vrai, et même très large.
(*) En fait si [latex]a_{max} > \frac{2}{3}\pi[/latex] il existe une une zone sur le côté large où il peut y avoir des points sans changer les points les plus éloignés, mais en plaçant un points dans cette zone, la fève est automatiquement incluse, ce qui ne change donc rien à la nécessitée d'avoir les points sur le petit côté pour l'exclusion de la fève.
#7 - 06-01-2016 22:32:13
- Vasimolo
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Gâteau 1177
@Gwen : à quel raisonnement "simpliste" fais-tu allusion ? @Enigmatus : bonne estimation , après il faut justifier @Mathieu : Je ne suis pas convaincu .
Vasimolo
#8 - 06-01-2016 22:45:44
- gwen27
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Gâetau 117
Je pars d'un point quelconque et je tourne dans un sens.
Je rencontre 6 points dans l'ordre et chacun a une chance sur 2 d'être à moins de mi distance du premier ( à chaque fois, je ne prends que les deux points considérés en compte et j'oublie les autres) Soit 1/64 au bout des 6 points.
J'ai 7 points de départ possibles pour ce raisonnement. ==> 7/64
Le raisonnement étant cyclique et ne dépendant pas du point choisi au départ, ni du sens de rotation, le résultat ne varie pas.
#9 - 07-01-2016 02:52:22
- Laidzep
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Gâeau 117
Chez moi l'épiphanie, c'est ça...
La fève étant au centre, et le centre étant creux, il a donc 100% de chance qu'elle ne soit pas dedans.
On en conclue qu'il se trompe. C'était facile cette fois...
Soyons sérieux. Soit un demi-cercle. Dans le cas où l'ensemble des 7 points est situés sur ce demi-cercle, alors la fève n'est pas dans le gâteau. Mais ça ne me donne pas la probabilité, ni même une approximation valable. Considérer les points de façon individuel et réduire la probabilité à quant à l'appartenance où non à ce demi-cercle me paraît être un raisonnement un peu simple. Une loi binomiale ferait-elle l'affaire? Pas sur du tout...
Dans le cas où X est la variable aléatoire tel que X associe k points parmi 7 appartenant au même demi-cercle, on a :
P(X=7) = C(7;7) * (1/2)^7 * (1/2)^0 = (1/128)
On cherche la probabilité contraire :
P(X<7) = 1 - (1/128) = 0,99 environ.
Soit 1% de chance que la fève ne soit plus dans le gâteau. Résultat qui ne me satisfait pas.
#10 - 07-01-2016 15:41:12
- Ebichu
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Gâteau 11
Mmh. Je pense que ton pâtissier a tort ; la galette aura perdu sa fève avec une probabilité de 7/64, soit légèrement plus de 10%.
Mais pour l'instant, je n'y arrive qu'avec des calculs savants
#11 - 07-01-2016 16:58:12
- nodgim
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gâteay 117
J'ai bien une méthode, mais je sais pas si elle est valable.
Si on partage le gâteau en 4 parts 1234: Il y a 4 moitiés: 12,23,34,41. Comme les moitiés ont une partie commune, par exemple 2 entre 12 et 23, et que cette partie commune est comptée 2 fois, il faut la déduire: Résultat : 4[(1/2)^7-(1/4)^7]=0.03 environ.
Si on partage le gâteau en 8 parts, on fait pareil sauf que c'est un peu plus compliqué, car il y a plusieurs niveaux de surcomptage, qu'il faut déduire du niveau précédent. Je ne donne pas le détail, mais le résultat: 0,054....
Si la méthode est bonne, je donnerais le détail pour les 8 parts, et tenterais le partage en 16 parts.
#12 - 07-01-2016 17:21:28
- Vasimolo
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Gâteua 117
@Gwen : c'est bon , c'est surprenant de simplicité @Ebichu : c'est bon , il reste à trouver une justification simple . @LaidZep & Nodgim : non , ce n'est pas ça , courage !
Il y a vraiment une méthode élémentaire pour résoudre le problème ( ce qui ne veut pas dire que c'est facile à trouver ) .
Bonne recherche .
Vasimolo
#13 - 07-01-2016 19:17:12
- gwen27
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gâteay 117
J'ai 7 points de départ possibles pour ce raisonnement. ==> 7/64
J'aurais peut-être du rajouter "et chaque chance exclut totalement les autres" pour justifier l'addition des 7 cas.
#14 - 07-01-2016 20:32:13
- Laidzep
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Gteau 117
J'ai d'autres idées comme le fait que 3 points formant un triangle aiguë soit suffisant pour avoir la fève dans le gâteau, ou que les deux points les plus éloignés forment un angle inférieur à 180°. Mais ça ne m'avance pas beaucoup en terme de probabilités.
#15 - 07-01-2016 22:06:16
- w9Lyl6n
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Gâetau 117
Je reviens avec une méthode différente, moins fausse j'espère
On va diviser le cercle en [latex]2n[/latex] secteurs de tailles égales et y répartir les 7 points. Pour exclure la fève tout les points doivent être du même côté. Parmi les distributions défavorables, il y a [latex]2n[/latex] possibilités pour la position du premier point précédent les 6 autres dans le sens des aiguilles d'une montre.
Soit une probabilité d'exclusion : [TeX]2n\frac{\binom{n-1}{6}}{\binom{2n}{7}} \ = \frac{7*2n(n-1)...(n-6)}{2n(2n-1)...(2n-6)}[/TeX] En passant à la limite on trouve une proba de [latex]\frac{7}{2^6} = \frac{7}{64}[/latex] d'exclure la fève.
Alors soit je me suis encore trompé soit le pâtissier est légèrement prétentieux
#16 - 07-01-2016 23:44:00
- Vasimolo
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Gteau 117
Ce n'est pas faux Mathieu
Si on veut être tout à fait rigoureux deux points peuvent partager le même secteur et ta probabilité n'est alors qu'une estimation , elle devient réelle quand n grandit .
Tu devrais pouvoir simplifier encore un petit peu ta méthode .
Vasimolo
#17 - 08-01-2016 00:03:55
- w9Lyl6n
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âGteau 117
Oui c'était l'idée
Il faut et il suffit qu'il y existe un point suivie de 6 points sur le même demi cercle dans le sens des aiguilles d'une montre. Soit [latex]\frac{1}{2^6}[/latex] chances pour un point donné. Ces probabilités sont exclusives donc la probabilité totale est la somme des 7 probabilités, soit [latex]\frac{7}{2^6} = \frac{7}{64}[/latex]
C'est vrai que dit comme ça c'est beaucoup plus simple
#18 - 08-01-2016 16:41:28
- Vasimolo
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hâteau 117
C'est ça Mathieu .
Vasimolo
#19 - 08-01-2016 18:18:48
- Laidzep
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gâtezu 117
S'agit-il de considérer un heptagone régulier, donc une répartition homogène des points assimilée à une moyenne (dont on donnera une approximation par dispersion), et d'approximer une probabilités en soustrayant l'aire du cercle, à l'aire de cette heptagone régulier? Ce raisonnement me paraît trop simple, encore une fois.
#20 - 08-01-2016 18:24:15
- Vasimolo
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#21 - 08-01-2016 18:38:07
- Laidzep
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Gâteau 1117
Le problème exige des connaissances pointues en mathématiques?
#22 - 08-01-2016 18:40:09
- Vasimolo
- Le pâtissier
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gâteai 117
Absolument pas , relis le premier message
Vasimolo
#23 - 09-01-2016 08:43:46
- portugal
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Gâtteau 117
Graphiquement, la fève sera retirée si il existe un demi cercle ne contenant pas de sommets. Il y aura 0 ou 1 sommet situé à l’extrémité gauche de cet éventuel demi cercle
Avec 7 sommets : Pour un sommet donné, la probabilité qu'il soit situé a l’extrémité gauche du demi cercle est (1/2)^6=1.56%
Comme il y a au plus 1 sommet situé à gauche du vide , la probabilité cumulée est inférieure à 7*1.56=10.9%
Pas tout a fait 10% mais le pâtissier, commerçant, s'octroie le droit d'arrondir les angles…de ses galettes…
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remarque
Avec 3 sommets, une intégration élémentaire montre que la probabilité est de 3/4 de perdre la fève.
En effet, Si on prend les 2 premiers sommets formant un angle alpha (entre 0 et pi ) alors la probabilité que les 3 incluent la fève est alpha/2pi. (il faut 3 points couvrant plus de pi pour couvrir la fève)
En intégrant la valeur de alpha entre 0 et pi (le problème étant symétrique ) on trouve que le probabilité que la fève soit dans la galette est de 1/4.
#24 - 09-01-2016 08:57:51
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Gâetau 117
@Portugal : on peut calculer exactement la probabilité .
Vasimolo
#25 - 09-01-2016 09:15:33
- portugal
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Gâteau 1117
Est ce la bonne voie ou suis a coté de la plaque de cuisson ?
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