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 #1 - 07-02-2015 20:05:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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hâteau 92

Bonsoir à tous smile

Vous connaissez le principe , on pose un problème vaseux au pâtissier , il me passe le relais et je vous refile le bébé avec 72 heures pour apprécier lol

Il a reçu une curieuse commande pour la saint Valentin :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-4cercles.png

Comment réaliser un tel gâteau ?

Vasimolo

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#0 Pub

 #2 - 07-02-2015 20:48:49

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

Gâteua 92

Va falloir des précisions, là ? Il a quoi de spectaculaire le gâteau ? A part de pouvoir coller un rectangle dessus qui touche le bord ...

 #3 - 07-02-2015 21:59:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteu 92

Les cercles ont le même centre et selon la coutume, les croix rouges signifient des longueurs égales .

Vasimolo

 #4 - 08-02-2015 09:01:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

gâteai 92

Il me semble qu'il faut juste poser la pointe du compas quelque part hors les médiatrices et tracer 4 cercles qui passent chacun par un sommet du rectangle.

 #5 - 08-02-2015 09:50:50

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Gâteu 92

A première vue, je dirais que c'est impossible. sauf si la distance rouge est nulle.

 #6 - 08-02-2015 10:14:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâtea u92

@Nodgim : attention il faut que les segments rouges soient de la même taille .
@Gwen : ton intuition est bonne mais le pâtissier va me demander des justifications smile

Vasimolo

 #7 - 08-02-2015 10:35:05

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

Gâteau 9

Ca n'est pas une intuition... smile
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g92.JPG

 #8 - 08-02-2015 11:07:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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âteau 92

Bien vu Gwen smile

Ca marche pareil si le centre du cercle est à l'extérieur du rectangle .

Niveau 4ème de collège lollollol

Vasimolo

 #9 - 08-02-2015 11:16:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3801

Gâteau 29

On pose un point dans le plan distant des sommets du rectangle de A, A+x, A+2x, A+3x.
La distance de ce point aux 4 cotés du rectangle est a,b,c,d.
On pose 4 équations de Pythagore
(1) a²+b²=A²
(2) b²+c²=(A+x)²
(3) a²+d²=(A+2x)²
(4) c²+d²=(A+3x)²
(2)-(1)+(3) aboutit à l'équation c²+d²=A²+6Ax+5x²
A comparer avec l'équation (4) qui mène à poser
(A+3x)²=A²+6Ax+5x².

il faut x=0.
On ne peut pas faire un gâteau comme ça.

 #10 - 08-02-2015 11:22:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteeau 92

Oui Nodgim smile

Vasimolo

 #11 - 08-02-2015 11:42:41

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 307
Lieu: Montargis

gâteai 92

Soient (C1), (C2), (C3) et (C4) respectivement les cercles du plus petit au plus grand. Leur centre commun est noté O
Dans un repère orthonormé de centre O (dont on positionnera les axes parallèles aux côtés du rectangles pour simplifier les calculs), les équations des cercles sont:

- (C1): x^2+y^2=r^2

- (C2): x^2+y^2=(r+k)^2

- (C3): x^2+y^2=(r+2*k)^2

- (C4): x^2+y^2=(r+3*k)^2

où r est le rayon de (C1) et k l'écart entre les rayons.

Nommons le rectangle ABCD avec A sur (C1), B sur (C2), C sur (C4) et D sur (C3).

Soient L et l les côtés de ABCD. Si A(a,b) alors B(a,b+l), C(a+L,b+l) et D(a+L,b).

En introduisant les cordonnées de ces points dans les équations de leurs cercles, on a:
* A sur (C1): a^2+b^2=r^2 (1); cette relation sera utilisée pour la suite.

* B sur (C2): l^2 +2*b*l=2*k*r+k^2 (2)

* C sur (C4): L^2+l^2+2*a*L+2*l*b=9*k^2+6*k*r (3)

* D sur (C3): L^2+2*a*L=4*k*r+4*k^2 (4).

En additionnant membre par membre les équations (2) et (4) on a:

(l^2 +2*b*l) + (L^2+2*a*L) = (2*k*r+k^2) + (4*k*r+4*k^2)

soit : L^2+l^2+2*a*L+2*b*l = 6*k*r+5*k^2 (5)

Les membres de gauche des équations (3) et (5) sont égaux donc les membres de droite le sont aussi; soit : 9*k^2+6*k*r = 6*k*r+5*k^2. On en déduit que 9*k^2=5*k^2 donc k=0

La réalisation de ce gâteau est donc impossible sauf d'avoir les 4 cercles de même dimension.

Voilà... sauf si une erreur s'est glissée quelque part big_smile

 #12 - 08-02-2015 11:49:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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GGâteau 92

Oui Kossi smile

On peut faire plus simple en raisonnant directement sur les longueurs sans passer par les coordonnées .

Vasimolo

 #13 - 08-02-2015 13:20:56

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3110
Lieu: Luxembourg

Gâtau 92

Soit ABCD le rectangle centré sur O dans un un repère orthonormé. Les coordonnées des sommets de ce rectangle sont: A(-a;-b); B(-a;+b); C(+a;+b); D(+a;-b) et ceux du centre du cercle concentrique (x0;y0).
A appartient au cercle de rayon R => (a+x0)² + (b+y0)² = R² (1)
B appartient au cercle de rayon R+r => (a+x0)² + (b-y0)² = (R+r)² (2)
C appartient au cercle de rayon R+3r => (a-x0)² + (b-y0)² = (R+3r)² (3)
D appartient au cercle de rayon R+2r => (a-x0)² + (b+y0)² = (R+2r)² (4)
(1) et (2) donnent: -4by0 = r(2R+r); (3) et (4) donnent: -4by0 = r(2R+5r)
d’où: r(2R+r) = r(2R+5r) => r=0
Je trouve donc que les cercles doivent tous avoir le même rayon: c’est étonnant.

 #14 - 08-02-2015 18:18:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtteau 92

Oui Franky smile

Vasimolo

 #15 - 11-02-2015 18:29:54

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 992

C'était donc impossible smile

Pas grand chose à ajouter aux démonstrations déjà produites .

Merci aux participants .

Vasimolo

 #16 - 11-02-2015 19:09:10

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3110
Lieu: Luxembourg

Gâteua 92

Ce n'était pas évident car, intuitivement, on peut penser qu'un tel gâteau doit pouvoir se construire. Comme quoi, les intuitions en mathématiques ...
Dans un autre registre, il parait qu'on peut toujours construire un carré dont les quatre sommets appartiennent à une courbe fermée qui ne se croise pas elle-même et qui n'est même pas nécessairement dépourvue de "cassure", mais je crois que ce point a déjà été maintes fois discuté ici.

 #17 - 11-02-2015 19:24:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
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gâreau 92

J'ai eu une piste sans calcul que je n'ai pas réussi à suivre... Fausse piste ou pas ?

Si on réduit les distances on arrive à 0 x 2x 3x  soit le début d'un genre de spirale c e qui ne peut pas donner de rectangle.

Mais cette réduction se fait depuis le centre des cercles. Depuis le centre du rectangle on est sensé avoir toujours un rectangle. Je n'ai pas réussi à passer de l'un à l'autre ce qui serait un contresens et donc, une impossibilité.

 #18 - 11-02-2015 19:29:59

Vasimolo
Le pâtissier
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gâteay 92

Le problème du carré de Franky est toujours ouvert à l'heure actuelle .

Vasimolo

 

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