Après une première analyse, je trouve 459.

Mon raisonnement par tatonnement successif :

On pourrait dans un premier temps chercher MIN dans la troisième centaine (M=3), donc A=1 et D=2 (ou vice-versa).
On voit alors que ce n'est pas possible, car B+E provoquerait une retenue qui s'additionnerait à A+D.

Il faut donc se résoudre à supposer que M=4, avec soit A=1 et D=2, soit A=1 et D=3.
1 B C   ou   1 B C
2 E F           3 E F
4 I N           4 I N

Est-ce que I peut valoir 3 ? Pas dans le 2ème cas. Dans le premier cas, il faut envisager I=13, donc B+E=12, donc B=5 et E=7 (ou vice-versa). Mais ensuite aucune valeur de C et F ne convient.
On élimine donc la valeur I=3.

I ne peut pas valoir 4 (valeur déjà prise par M).
Il faut donc se résoudre à supposer que I=5. Dans le 2ème cas (cf plus haut), ça n'est pas possible. Dans le 1er cas, on a soit B+E=15 (donc C+F n'a pas de retenue), soit B+E=14 (donc C+F a une retenue).
La seule solution est la suivante :
1 7 3
2 8 6
4 5 9  (ou toute permutation entre A et D, B et E, C et F...

Klim.

J'essaie d'abord de faire quelque chose comme 1** + 2** = 3** pour minimiser MIN. Alors B et E valent au minimum 4 et 5, d'où I = 9. Problème : ça ne marche pas, car il y aura forcément une retenue pour les unités...

Essayons donc 1** + 2** = 4**. Le plus petit MIN possible sera alors de la forme 43* (oui, hélas, on n'utilise pas de zéro ). Donc B + E fera 12 ou 13, selon qu'il y a une retenue avant ou non. 15* + 27* = 43* ? Il reste 6, 8 et 9 à utiliser, et c'est là où ça coince. La présence de ce p**ain de 9 force à avoir une retenue quelque part. Cette retenue sera forcément au niveau des dizaines, donc le 9 doit être placé dans les dizaines, et il faut une retenue pour les unités.

On repart : 19* + 2** = 4**. I=3 semble soudain une piste très peu probable Le plus petit qui nous reste est 19* + 25* = 46*. Il nous reste les chiffres 3, 7 et 8, et dans le c** Lulu ! Essayons 19* + 26* = 47*, alors... Restent les chiffres 3, 5 et 8. On peut les sommer, mais pas de retenue... et 19* + 27* = 48* bloque aussi.

19* + 3** = 5** ?..

Arf, après 15 pages de brouillons, je réalise que je n'irai pas en-dessous de 468, mais je peux grapiller grâce à une piste que j'ai zappée : et si le 9 était à la fin de MIN ? Allez, on peut tester :

1** + 2** = 4*9 donne forcément 3 et 6 comme chiffrez des unités pour ABC et DEF : 1*3 + 2*6 = 4*9, et avec ce qui reste, en bidouillant un peu : 173 + 286 = 459 ! (Je minimise aussi ABC pour les diverses solutions possibles donnant 459 )

173+286=459

On remarque tout d'abord que M >= 3 (vu qu'on doit avoir au minimum 1+2 sur la colonne des centaines).
Pour M = 3, on est vite bloqué : la seule paire de chiffres restants qui pourrait aller sur les dizaines sans faire de retenue est 4 et 5, or 4+5 = 9 et on se ramène obligatoirement une retenue depuis la colonne des unités: ça coince pour M=3
On a donc M>=4
On remarque une autre chose: étant donné que la somme des chiffres de X est congrue à X modulo 9, on a
(M+I+N) % 9 = (A+B+C+D+E+F) % 9
et (A+B+C+D+E+F+M+I+N) % 9 = 0
=> 2(M+I+N) % 9 = 0
=> (M+I+N) % 9 = 0, donc MIN est un multiple de 9

On cherche donc un multiple de 9 qui commence par 4. Vu qu'on aura besoin du chiffre 1 pour A par exemple, et de 2 ou 3 pour D (pour faire M=4), on peut éliminer les premières valeurs
414 => utilise 2 fois 4
423 => utilise 2 et 3
432 => utilise 2 et 3
441 => utilise 2 fois 4
459 => celui là a l'air ok

donc en théorie, si on trouve un MIN = 459, c'est le plus petit possible
On peut vérifier qu'on obtient 459 par exemple pour ABC = 173 et DEF = 286 (mais il y a surement d'autres sommes qui donnent le même résultat)

essayons de minimiser les centaines. Comme on peut mélanger les chiffres de ABC et ceux de DEF, disons que A=1 et D=2... M=3 ou 4 a priori, mais bon si on veut M=3 alors devrait prendre B,E=4,5 au minimum et ensuite C,D=6,7, qui feront que M=4 donc ilmpossible. prenons donc M=4.

ensuite, on veut un I minimal, donc I=3, possible si B+E = 12 ou 13 (vu qu'il reste les chiffres plus grands que 5, autant viser directement 12 et compter sur la retenue)

B,E = 5,7 est la seule solution.

On a donc 15C + 27F = 43N, restent 6,8,9, qui ne fonctionnent pas.
on revient au choix de I : Prenons I=5, il faut donc B+E=14 ou 15,

B,E = 6,8 pour B+E=14
On a donc 16C + 28F = 45N, restent 3,7,9, impossible
B,E= 6,9 ou 7,8 pour B+E=15
B,E=6,9 donne 16C + 29F = 45N restent 3,7,8 pas bon
B,E=7,8 donne 17C + 28F = 45N restent 3,6,9 bon avec 3+6=9 !

soit 173 + 286 = 459

459 par déduction

Pour la question subsidiaire:
Comme démontré plus haut dans mon post, MIN est un multiple de 9
M+I+N est aussi un multiple de 9, du coup M+I+N = 0 , 9, 18 ou 27
* Cas 0 => M = I = N = 0, pas la peine d'y penser
* Cas 27 => M = I = N = 9, pareil
* Cas 9 : on va détailler un peu plus
Vu que le plus petit MIN possible est 459, et que 4 + I + N avec I >= 5 et N>= 1, alors aucun MIN ne pourra commencer par 4
Pour M=5, on aurait 513 et 531; pour M=6, 612 et 621 et basta
Prenons 513 (ou 531), considérons les centaines: 1+4 = 2+3 = 5, eventuellement 1+3 +retenue = 5, mais dans tous les cas, on a besoin de 1 ou de 3, qui sont déjà pris.
Prenons 612 (ou 621), considérons les centaines: 1+5 = 2+4 = 6, éventuellement 1+4 + retenue = 2+3 + retenue = 6, mais dans tous les cas, on a besoin de 1 ou de 2, qui sont déjà pris.

Conclusion: M+I+N = 18

abc = 173
def  =  286
----
min = 459


recherche de la min 'min' solution par tatonnement:

a=1
d=2
m ne peut etre 3 car b+e+[retenue]>=10
m= 4 possible
i = 3 n'a pas de solution, i=5 donne une solution

la somme des lettres a à n est 45
la preuve par 9 impose a+b+c+d+e+f=m+i+n
les solutions possibles sont 9/36; 18/27; 27/18 et 36/9.
hors m+i+n max est 9+8+7=24 < 27 donc m+i+n = 9 ou 18
m+i+n n'accepte pas de solution pour 621 et 612 car a+d est au moins 3+4
531 ou 513 ne marche pas non plus car a+d est au moins 2+4=6 pour m
donc toutes les solutions ont m+i+n = 18 et a++f=27

Franck

M+I+N=18 s'explique aisément.

On sait que A+B+C+D+E+F+M+I+N=45 et que (M+I+N)-(A+B+C+D+E+F) est divisible par 9. Leur somme vaut 2(M+I+N) et c'est un multiple de 9. Comme 2 est premier avec 9, M+I+N est multiple de 9.

Mais M+I+N est inférieur ou égal à 9+8+7=24.

Par ailleurs, M est supérieur ou égal à A+D. Donc M+I+N supérieur ou égal à A+D+I+N qui vaut au moins 1+2+3+4=10.

Dans l'intervalle [10;24], il n'y a qu'un multiple de 9 : M+I+N=18.

L'explication de Scrablor quant à la question subsidiaire de Klimrod est redoutablement claire, précise et concise. Chapeau