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 #1 - 27-07-2010 12:26:34

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

? abc + sef = min

Dans le calcul ABC + DEF = MIN, tous les chiffres de 1 à 9 ont été utilisés.
Quelle est la valeur minimale que peut prendre MIN? (si possible sans solveur wink )



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#0 Pub

 #2 - 27-07-2010 13:03:52

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3768
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

? abc + deff = min

Après une première analyse, je trouve 459.

Mon raisonnement par tatonnement successif :

On pourrait dans un premier temps chercher MIN dans la troisième centaine (M=3), donc A=1 et D=2 (ou vice-versa).
On voit alors que ce n'est pas possible, car B+E provoquerait une retenue qui s'additionnerait à A+D.

Il faut donc se résoudre à supposer que M=4, avec soit A=1 et D=2, soit A=1 et D=3.
1 B C   ou   1 B C
2 E F           3 E F
4 I N           4 I N

Est-ce que I peut valoir 3 ? Pas dans le 2ème cas. Dans le premier cas, il faut envisager I=13, donc B+E=12, donc B=5 et E=7 (ou vice-versa). Mais ensuite aucune valeur de C et F ne convient.
On élimine donc la valeur I=3.

I ne peut pas valoir 4 (valeur déjà prise par M).
Il faut donc se résoudre à supposer que I=5. Dans le 2ème cas (cf plus haut), ça n'est pas possible. Dans le 1er cas, on a soit B+E=15 (donc C+F n'a pas de retenue), soit B+E=14 (donc C+F a une retenue).
La seule solution est la suivante :
1 7 3
2 8 6
4 5 9  (ou toute permutation entre A et D, B et E, C et F...

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 27-07-2010 13:14:41

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

? abc + def = in

M vaut au moins 3, mais M=3 est impossible car BC+EF vaudrait au minimum 46+57 et il y aurait une retenue...
Misons donc sur M=4.
Dans la preuve par neuf, A+B+C+D+E+F+G et M+I+N donnent le même reste. Mais deux fois ce reste est multiple de 9, donc MIN est divisible par 9.
Pour A et D, on aura 1 et 2 ou 1 et 3.
Essayons I=2 : MIN=423 impossible à cause du 3.
Essayons I=3 : MIN=432 impossible à cause du 2.
Essayons I=5 : MIN=459.
Et effectivement, 286+ 173 = 459.
Donc MIN=459.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 27-07-2010 15:03:06

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

? abc + def = imn

J'essaie d'abord de faire quelque chose comme 1** + 2** = 3** pour minimiser MIN. Alors B et E valent au minimum 4 et 5, d'où I = 9. Problème : ça ne marche pas, car il y aura forcément une retenue pour les unités...

Essayons donc 1** + 2** = 4**. Le plus petit MIN possible sera alors de la forme 43* (oui, hélas, on n'utilise pas de zéro lol). Donc B + E fera 12 ou 13, selon qu'il y a une retenue avant ou non. 15* + 27* = 43* ? Il reste 6, 8 et 9 à utiliser, et c'est là où ça coince. La présence de ce p**ain de 9 force à avoir une retenue quelque part. Cette retenue sera forcément au niveau des dizaines, donc le 9 doit être placé dans les dizaines, et il faut une retenue pour les unités.

On repart : 19* + 2** = 4**. I=3 semble soudain une piste très peu probable lol Le plus petit qui nous reste est 19* + 25* = 46*. Il nous reste les chiffres 3, 7 et 8, et dans le c** Lulu ! Essayons 19* + 26* = 47*, alors... Restent les chiffres 3, 5 et 8. On peut les sommer, mais pas de retenue... et 19* + 27* = 48* bloque aussi.

19* + 3** = 5** ?..

Arf, après 15 pages de brouillons, je réalise que je n'irai pas en-dessous de 468, mais je peux grapiller grâce à une piste que j'ai zappée : et si le 9 était à la fin de MIN ? Allez, on peut tester :

1** + 2** = 4*9 donne forcément 3 et 6 comme chiffrez des unités pour ABC et DEF : 1*3 + 2*6 = 4*9, et avec ce qui reste, en bidouillant un peu : 173 + 286 = 459 ! (Je minimise aussi ABC pour les diverses solutions possibles donnant 459 big_smile)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 27-07-2010 15:40:58

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

? abc + sef = min

j'ai 173+286=459


http://enigmusique.blogspot.com/

 #6 - 27-07-2010 16:21:30

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

? aabc + def = min

173+286=459


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 27-07-2010 17:50:52

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3768
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

? abc + def = mni

Question subsidiaire :

Dans le calcul ABC + DEF = MIN avec tous les chiffres de 1 à 9 utilisés, pourquoi toutes les solutions possibles de MIN possèdent la propriété M+I+N=18 ?

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 27-07-2010 17:50:52

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

?abc + def = min

On remarque tout d'abord que M >= 3 (vu qu'on doit avoir au minimum 1+2 sur la colonne des centaines).
Pour M = 3, on est vite bloqué : la seule paire de chiffres restants qui pourrait aller sur les dizaines sans faire de retenue est 4 et 5, or 4+5 = 9 et on se ramène obligatoirement une retenue depuis la colonne des unités: ça coince pour M=3
On a donc M>=4
On remarque une autre chose: étant donné que la somme des chiffres de X est congrue à X modulo 9, on a
(M+I+N) % 9 = (A+B+C+D+E+F) % 9
et (A+B+C+D+E+F+M+I+N) % 9 = 0
=> 2(M+I+N) % 9 = 0
=> (M+I+N) % 9 = 0, donc MIN est un multiple de 9

On cherche donc un multiple de 9 qui commence par 4. Vu qu'on aura besoin du chiffre 1 pour A par exemple, et de 2 ou 3 pour D (pour faire M=4), on peut éliminer les premières valeurs
414 => utilise 2 fois 4
423 => utilise 2 et 3
432 => utilise 2 et 3
441 => utilise 2 fois 4
459 => celui là a l'air ok

donc en théorie, si on trouve un MIN = 459, c'est le plus petit possible
On peut vérifier qu'on obtient 459 par exemple pour ABC = 173 et DEF = 286 (mais il y a surement d'autres sommes qui donnent le même résultat)

 #9 - 27-07-2010 18:05:00

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

? abc + def = mmin

Au pif 459 wink

 #10 - 28-07-2010 05:52:19

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

? abc + def = mon

essayons de minimiser les centaines. Comme on peut mélanger les chiffres de ABC et ceux de DEF, disons que A=1 et D=2... M=3 ou 4 a priori, mais bon si on veut M=3 alors devrait prendre B,E=4,5 au minimum et ensuite C,D=6,7, qui feront que M=4 donc ilmpossible. prenons donc M=4.

ensuite, on veut un I minimal, donc I=3, possible si B+E = 12 ou 13 (vu qu'il reste les chiffres plus grands que 5, autant viser directement 12 et compter sur la retenue)

B,E = 5,7 est la seule solution.

On a donc 15C + 27F = 43N, restent 6,8,9, qui ne fonctionnent pas.
on revient au choix de I : Prenons I=5, il faut donc B+E=14 ou 15,

B,E = 6,8 pour B+E=14
On a donc 16C + 28F = 45N, restent 3,7,9, impossible
B,E= 6,9 ou 7,8 pour B+E=15
B,E=6,9 donne 16C + 29F = 45N restent 3,7,8 pas bon
B,E=7,8 donne 17C + 28F = 45N restent 3,6,9 bon avec 3+6=9 !

soit 173 + 286 = 459

 #11 - 28-07-2010 14:50:36

tikoo04
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 27

? abv + def = min

Cette fois je suis sur, c'est 459

 #12 - 28-07-2010 16:24:41

gdezz
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 8

? abc + deef = min

459 par déduction

 #13 - 28-07-2010 16:41:02

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

? abc + dfe = min

Jusqu'ici :

bonne réponse détaillée de Klimrod, scrablor, MthS-MlndN, scarta et McFlambi

bonne réponse (tout court) de kosmogol, franck9525, zikmu et gdezz

Je vous soumets une question subsidiaire posée par Klimrod :

Question subsidiaire :

Dans le calcul ABC + DEF = MIN avec tous les chiffres de 1 à 9 utilisés, pourquoi toutes les solutions possibles de MIN possèdent la propriété M+I+N=18 ?

Klim.

 #14 - 28-07-2010 17:34:46

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

? abc + drf = min

Pour la question subsidiaire:
Comme démontré plus haut dans mon post, MIN est un multiple de 9
M+I+N est aussi un multiple de 9, du coup M+I+N = 0 , 9, 18 ou 27
* Cas 0 => M = I = N = 0, pas la peine d'y penser
* Cas 27 => M = I = N = 9, pareil
* Cas 9 : on va détailler un peu plus
Vu que le plus petit MIN possible est 459, et que 4 + I + N avec I >= 5 et N>= 1, alors aucun MIN ne pourra commencer par 4
Pour M=5, on aurait 513 et 531; pour M=6, 612 et 621 et basta
Prenons 513 (ou 531), considérons les centaines: 1+4 = 2+3 = 5, eventuellement 1+3 +retenue = 5, mais dans tous les cas, on a besoin de 1 ou de 3, qui sont déjà pris.
Prenons 612 (ou 621), considérons les centaines: 1+5 = 2+4 = 6, éventuellement 1+4 + retenue = 2+3 + retenue = 6, mais dans tous les cas, on a besoin de 1 ou de 2, qui sont déjà pris.

Conclusion: M+I+N = 18

 #15 - 28-07-2010 18:42:25

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

? abc + def = imn

Question subsidiaire :

La somme des chiffres de 1 à 9 fait 45. On doit avoir, forcément, la somme réduite des chiffres A, B, C, D, E et F qui sera la même que la somme réduite de M, I et N. La seule façon d'y arriver est que chacune de ces deux sommes fasse 9. Tous les autres cas vont déconner (par exemple, si la somme réduite des lettres A à F vaut 4, celle de M, I et N fera 5).

Ca laisse donc deux valeurs possibles à M + I + N : 9 ou 18 (il est impossible qu'elle fasse 27, car M, I et N ne peuvent valoir 9 tous les trois).

Pour le reste, je repars de mes réflexions d'avant.
- Si M vaut 4, alors A et D valent 1 et 2. I et N vaudront donc, au minimum, 3 et 5, et la somme dépasse 9.
- Si M vaut 5, alors A et D valent 1 et 3, ou 2 et 3 (le cas le "plus favorable" pour réduire M+I+N). Alors I et N valent au minimum 1 et 4 et la somme dépasse 9.
- Si M vaut 6, il est impossible que I et N valent 1 et 2, car au moins un de ces deux chiffres sera pris pour le couple A-D (1+5, ou 1+4, ou 2+4, ou 2+3). Donc M+I+N dépassera 9.
- Si M vaut 7 ou plus, M+I+N vaudra 10 ou plus.

CQFD, dans la sueur et les larmes lol J'attends de lire les réponses pour voir s'il y a plus court.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 28-07-2010 21:54:39

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

? abc + deg = min

abc = 173
def  =  286
----
min = 459


recherche de la min 'min' solution par tatonnement:

a=1
d=2
m ne peut etre 3 car b+e+[retenue]>=10
m= 4 possible
i = 3 n'a pas de solution, i=5 donne une solution

la somme des lettres a à n est 45
la preuve par 9 impose a+b+c+d+e+f=m+i+n
les solutions possibles sont 9/36; 18/27; 27/18 et 36/9.
hors m+i+n max est 9+8+7=24 < 27 donc m+i+n = 9 ou 18
m+i+n n'accepte pas de solution pour 621 et 612 car a+d est au moins 3+4
531 ou 513 ne marche pas non plus car a+d est au moins 2+4=6 pour m
donc toutes les solutions ont m+i+n = 18 et a++f=27 tongue

Franck


The proof of the pudding is in the eating.

 #17 - 29-07-2010 00:48:18

OUSS1994
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 1

? abc + fef = min

167+328=495

 #18 - 29-07-2010 09:59:16

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

? abc + def = mon

M+I+N=18 s'explique aisément.

On sait que A+B+C+D+E+F+M+I+N=45 et que (M+I+N)-(A+B+C+D+E+F) est divisible par 9. Leur somme vaut 2(M+I+N) et c'est un multiple de 9. Comme 2 est premier avec 9, M+I+N est multiple de 9.

Mais M+I+N est inférieur ou égal à 9+8+7=24.

Par ailleurs, M est supérieur ou égal à A+D. Donc M+I+N supérieur ou égal à A+D+I+N qui vaut au moins 1+2+3+4=10.

Dans l'intervalle [10;24], il n'y a qu'un multiple de 9 : M+I+N=18.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #19 - 30-07-2010 14:54:19

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

? abbc + def = min

Merci à tous ceux qui ont cherché sur mon énigme.

Bravo à ceux qui ont trouvé la solution 459

... et un bonus à ceux qui ont même planché sur la question subsidiaire de Klimrod.

A la prochaine! smile

 #20 - 30-07-2010 15:27:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

? abc ++ def = min

L'explication de Scrablor quant à la question subsidiaire de Klimrod est redoutablement claire, précise et concise. Chapeau smile


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