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 #1 - 22-05-2011 22:07:44

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b))(b+c-a)

Montrer que pour tous réels [latex]a,b,c>0[/latex] on a :

[latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Bon courage.



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 #2 - 23-05-2011 12:40:21

racine
Elite de Prise2Tete
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Démonstration de l'inégalité abc >= (a+bb-c)(a+c-b)(b+c-a)

C'est vrai si les longueurs a,b et c ne permettent pas de former un triangle, l'un des trois termes étant négatif.

 #3 - 24-05-2011 09:03:54

debutant1
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démonstration se l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

la somme des facteurs  des produits est a+b+c.
prenons a>=b>=c
a+b-c >= a
c>=b+c-a

pour une même somme, le produit est maximum pour des facteurs s'approchant de la moyenne arithmétique.

 #4 - 24-05-2011 17:44:37

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Démonstration dee l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Est-il besoin de démontrer que l'égalité est vraie pour a = b = c ?

Posons [latex]b' = b/a[/latex] et [latex]c' = c/a[/latex]. Il ne reste plus qu'à démontrer que la fonction :
[TeX]f(b', c') = (1+b'-c')*(1+c'-b')*(b'+c'-1)-(b'*c')[/TeX]
admet un maximum de pour b' = c' = 1.

Soient  [latex]b' = 1-e[/latex]  et  [latex]c' = 1+e[/latex].

En développant il vient :
[TeX]f(b', c') = (1-4*e^2) - (1-e^2) = -3*e^2 \leq 0[/TeX]
Avec b' =  c' = 1+e ou 1-e , on obtient   [latex]f(b', c') = -e^2 \leq 0[/latex]

Bref, que b ou/et c s'éloignent en positif ou en négatif de la valeur a, on obtient toujours :

     [latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Oui, je sais que la démonstration n'est pas très rigoureuse ... neutral
Il faudrait généraliser avec   [latex] b' = 1+e1[/latex] et [latex]c' = 1+e2[/latex] , e1 et e2 pouvant être positifs ou négatifs.
Mais je n'ai jamais été très doué pour les développement compliqués sad .

 #5 - 24-05-2011 18:29:42

Franky1103
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sémonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Bonjour,
Soit la fonction f(a,b,c) = abc + (a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
Mon intention est de déterminer le (ou les) minimum local de f(a,b,c) et de vérifier que f(a,b,c) est positif sur ces points, mais je ferai tout ça demain.
Bonne soirée.
Frank

Edit: Je suis de bonne volonté, mais je me perds dans les dérivées partielles; ma méthode n'est pas la bonne, mais je n'en ai pas d'autre sous la main.

 #6 - 25-05-2011 07:22:07

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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démonstration de l'inéhalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Jack je pense que tu as oublié que divisant par a abc on a bc ...


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 #7 - 25-05-2011 09:11:55

gwen27
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délonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Je me dis que pour une somme donnée, a+b+c , le produit de trois nombres est maximum quand a=b=c. Plus l'intervalle entre les 3 nombres est petit, plus le produit est grand, le maximum étant atteint pour un cube.

De là, on voit que (a+b-c)+(a+c-b)+(c+b-a)=a+b+c

Cas 1 : a=b=c : on est dans le cas =abc
cas 2 : a<b < c

Alors (a+b-c) < a  et (b+c-a) >c
Les 3 nombres étant plus "dispersés" pour la même somme, le produit est moindre.
Le cas ou a+b-c<0 aurait pu fausser la donne si a,b et c n'étaient pas >0 mais ce n'est pas le cas.
( on peut mettre une égalité a=b<c ou a<b=c, ça ne change presque rien )

Par contre, je ne sais pas si cette démonstration est valable. smile

 #8 - 25-05-2011 09:36:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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démonstration de l'inégaliré abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Gwen je pense (mais je peut-être pas compris) que dans ta première phrase les termes du produit considéré doivent être les mêmes que ceux de la somme mais pas simplifiée. Si je suis peu clair dis moi le...


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 #9 - 25-05-2011 10:28:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Démonstration de l'inégalité abc >= (+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Oublions la situation particulière de ton énoncé

abc est un triplet quelconque de nombres.

pour la même somme tu prends un triplet def tel que d<=a et f>=c

4 cas :

1) d=a et f=c donc e=b abc = def
2) d<a et f=c def =(a-n)(b+n)c or (a-n)(b+n)<ab donc def<abc
3) d=a et f>c def = a(b-m)(c+m) or (b-m)(c+m)<bc donc def<abc
4) d<a et f>c def = (a-n)(b+n-m)(c+m) avec a-n=d et c+m=f

(a-n)(b-m+n) <(a(b-m) donc (a-n)(b+n-m)(c+m)<a(b-m)(c+m)
(b-m)(c+m)<bc donc def<abc

Avec maintenant la situation particulière de l'énoncé, on pose :

si a=b=c  abc =(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a) c'est le cas n°1
si a=b<c (c+a-b) = c  (c+b-a)=c (a+b-c)< a C'est le cas n°2
si a<b=c (c+b-a) >c  (a-b+c) =a (a+b-c)=a c'est le cas n°3
si a<b<c (a+b-c)<a (c+b-a)>c C'est le cas n°4

 #10 - 25-05-2011 22:20:31

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+x-a)

Merci pour vos réponses.
Ma preuve est la suivante :
Les cas où il y des termes négatifs sont facilement traitable.

Ensuite si on pose [latex]A=a+b-c\geq 0 \ B=a+c-b\geq 0\ C=b+c-a\geq 0[/latex]

alors il faut montrer [latex](A+B)(B+C)(C+A)\geq 8ABC[/latex].

Or [latex]A+B\geq 2\sqrt{AB} \ B+C\geq 2\sqrt{BC} \ C+A\geq 2\sqrt{CA}[/latex]

car [latex](x-y)^2 \geq 0[/latex] d'où [latex]x^2+y^2\geq 2xy[/latex],

on a ce qu'on veut en posant [latex]x=\sqrt{A} \ y=\sqrt{B}[/latex]...


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 #11 - 25-05-2011 22:26:00

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 91

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+ca-)

Je ne trouve pas le résultat demandé mais je m'en approche.
Méthode à raffiner.

On va d'abord poser [latex]0<a<b<c[/latex] (qui ne change rien au raisonnement)

On voit que: [latex]a<b \Rightarrow a<b+c[/latex] et [latex]b<c \Rightarrow b<a+c[/latex]

D'où [latex]0<b+c-a[/latex] et [latex]0<a+c-b[/latex]

Se présente maintenant deux cas.

Premier cas : [latex]c\ge a+b[/latex]
Alors [latex]a+b-c\le 0[/latex] et donc [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\le 0[/latex]
Ainsi [latex]abc>0\ge (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex]

Second cas : [latex]c<a+b[/latex]
On aura donc un triplet [latex]{a,b,c}[/latex] qui respecte l'inégalité triangulaire.
Il existe donc un triangle dont les trois longueurs ont pour valeur les valeurs de ce triplet.

Nommons [latex]S[/latex] la surface dudit triangle et [latex]p[/latex] son périmètre.
D'après la formule de Héron: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4^2*S}{p}[/latex]

En prenant [latex]\gamma[/latex] l'angle opposé au côté [latex]c[/latex], on a: [latex]S=\dfrac{1}{2}a.b.\sin(\gamma)[/latex]

Ainsi: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4a^2b^2\sin^2(\gamma)}{a+b+c}<\dfrac{4a^2b^2}{3a}<\dfrac{4}{3}\times abc[/latex]

C'est le mieux que je puisse faire avec cette méthode...sad

EDIT: J'aurai répondu quelques minutes trop tard.hmm


There's no scientific consensus that life is important

 #12 - 25-05-2011 22:39:43

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-)b(b+c-a)

Al Kashi donne [latex]c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)[/latex] d'où

[latex]sin^2(\gamma)=1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4(ab)^2}[/latex]...

Peut-être cela  marchera ainsi...
ou on tourne juste en rond...


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 #13 - 26-05-2011 12:56:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-cc)(a+c-b)(b+c-a)

La preuve donnée par Yanyan est juste diaboliquement simple. J'adore ce genre de solutions, tellement frustrantes quand on ne les a pas trouvé soi-même lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 26-05-2011 14:19:09

rivas
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Lieu: Jacou

démonstrztion de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Très belle démo en effet. Belle démo pour moi étant synonyme de simple et efficace.

Je sais que j'ai déjà rencontré ça mais je ne me souviens pas où, sans doute en taupe smile Je me souviens en avoir croisé pas mal de ce genre et avoir été bluffé à chaque fois par la simplicité et mon manque de recul à l'époque smile pour pouvoir les trouver.

On touche vraiment du doigt l'effet AHAH.

 #15 - 31-03-2013 23:47:25

Cronos-T.B.M
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 4

Démonstration de l'inégalité abc >= (+ab-c)(a+c-b)(b+c-a)

Si a = b = c = 1

abc = 1

et (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) = 2*2*2 = 8

 #16 - 01-04-2013 08:16:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
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démonqtration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Reste juste à démontrer que 1+1-1=2 smile

 #17 - 04-07-2016 20:04:10

Vincelot
Visiteur

Démonstratiion de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Cet exercice est un classique des olympiades de mathématiques 😉
On effectue la transformation de Ravi en posant : [latex]a=x+y,b=y+z,c=z+x[/latex] L'inégalité se réécrit alors :
[TeX](x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz,[/TeX]
résultat évident puisque
[TeX]\prod_{cyc}(x+y)\ge\prod_{cyc}2\sqrt{xy}=8xyz[/TeX]

 #18 - 05-07-2016 18:28:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Démonstratioon de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Confère post 10 smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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(1) — Montrer que si a/b = c/d alors a+c/b+d = a/b (1) — Ba/a/b ab/c > a b c montrer l inegalite (1) — A b c d de l egalite (1) — Demontrer que l on a : ab/c + ca/b + bc/a >= a + b + c (1) — Demontrer que ab + bc + ca = 0 (1) — A/b+b/c+c/a>=3 (1) — A/b=c/d=a+c/b+d (1) — A<3 b<3 et c<3 montrer que ac+ab+bc<abc (1) — (1) — A(b-1)+c(a-1)+b(c-1) (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=<abc (1) — Montrer que abc(a+b+c)> (1) — Montrer que a b c sont positifs (1) — Montrer le maximum et le minimum par a*c-b*b (1) — Demostration de 2=1 (1) — Demonstration de ac/bc=a/b (1) — Demontrer que 1=2 (1) — Math x6+x5+x4+x3+x2+x+1 (1) — Demontrer que si a< b et c < d alors a+c< b+d (1) — Abc en a c? i(b-a) + a (1) — S (abc) = 1/2 |det( abac)| (1) — Montrer l inegalite : (a/b) +(b/c)+(c/d)+(d/a) >4 (1) — Enigmes page 1 a b c (1) — A=(a+b+c)(a-b+c)((a+b-c)(-a+b+c (1) — (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) solution (1) — 8(a%2bb-c)(a-b%2bc)(-a%2bb%2bc) (1) — Demontrer que ab+bc+ca<a*a+b*b+c*c (1) — A+c=d;a*b=c;c-b=b;a*4 (1) — Demonstration -(a+b) (1) — Si a+c=d a*b=c c-b=b et a*4=d (1) — 1. f(a bc) = a b c + a bc + abc (1) — Montrer que si a/b<1 alors a+c/b+c>a/b (1) — (a%2bb-c)(a%2bb-c)(a%2bb-c) (1) — A/b+b/c+c/a>=3 demonstration (1) — (b-a)(a-b+c)(a-b-c) (1) — Inegalite demonstration maths (1) — Demontrer que (a+b+c+d)/4 (1) — A*b<c alors a+b<c demonstration (1) — A+b+c=1 et abc=1 (1) — A/b/c = a/bc (1) — Demonstration abc`\2 (1) — (1) — ???? (a+b-c)(a+c-b) (1) — (ab^ac).bc (1) — Si a/b=3 et b/c=4 alors a+c/b+c=? (1) — Comment prouver que 1= a 1/a+1/b+1/c+1/d (1) — 1/a+b+1/b+c+1/c+a-(ab/a+b+bc/b+c+ca/c+a) (1) — Montrer l egalite suivante: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — Max a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab) (1) — Comment demontrer une inegalite (1) — Si (a+b+c)=1 alors abc< (1) — On dit que a=bc que c=a/b (1) — Inegalite a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) (1) — (1) — I = (a+c)(abc+b)+a (1) — (a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a) (1) — Abc/(ab+ac+bc) (1) — A+b<c+d demonstration (1) — A/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — Demonstration moteur abc (1) — 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c (1) — ? = 1/2(ab^2+ac^2-cb^2)=0 (1) — (a-b) (c-b) (1) — A/b+b/c+c/a>=3 inegalite (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=a*b*c (1) — Inegalite a b c cubes (1) — Demontrer que (a+b)(c+d) < a^2 + (1) — Si a=bxc et ab = dxe (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b-c) (1) — A*b-c*b (1) — Math inegalite triangulaire canada (1) — F(abc) = a.b.c + a.b.c (1) — (1) — Demontrer ab<((a+b)/2)^2 (1) — Resultat de (a+b+c)2>3(ab+bc+ca) (1) — Abc(a+b+c) (1) — Montrer que a<b<c (1) — F(c)=ab et f(b)=ac et f(a)=bc trouver f(a+b+c) (1) — Prouver inegalite a b c d (1) — Montrer que b+c et b-c (1) — A=bc b=ca et c=ab sont les trois (1) — Reponse pour a+c=a*b=c c-b=b*4=d (1) — Ab/c+bc/a (1) — Demonstration de inegalite a+c b+c (1) — Demontrer que (a+b)^3<=(a^3+b^3)/2 (1) — Demontrer que a/(a-b)(a-c)+b/(b-a)(b-c)+c/(c-a)(c-b)=a+b+c (1) — S a c +b et a+c +b. (1) — A+b+c+ab+bc+ca+abc=x (1) — (a-b+c)(a-b-c) (1) — Cela abc et a b c (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — <3 a.b <3 c.b <3 (1) — Les inegalites mathematiques a b c=1 (1) — A +b (1) — Abc>(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Ac=bc donc c=bc/a (1) — Abc>(a+b-c) (1) — A b c positifs exitent cotes ont pour longueur a b c (1) — Comment demontrer que ( a? c )?(b?c)?((a?b)?c) (1) — Si a+b=1 montrer que (1+1/a)(1+1/b) (1) — Inegalite en a b c (1) — Simplifier /c/b d+b/c ab+c/d/a b+ca/b (1) — A/(1+bc)+ b/(1+ac) + c/(1+bc) <=2 (1) — (a+b+c)(bc+ca+ab)-(b+c)(c+a)(a+b) (1) — Si a>3 b>3 c>3 montrer que ab+ac+bc<= abc (1) — A b c triangle (a/b+c) + (b/a+c) + (c/b+a) <2 (1) — Ab ac bc abc (1) — In%c3%a9galit%c3%a9+a/(b%2bc) (1) — Demontrer que a/b + c/b = a+b-c (1) — Abc = a! + b! + c! (1) — Abc +a bc+ab c+a b c (1) — Prouve for abc=1 and abc>0 that (a+b+c)>=3 (1) — C +ca (1) — Comment demontrer que a/b =a/b c/d (1) — (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) (1) — Math demontrer quelque soit a b a=b alors axc=bxc (1) — Forum (a+b)(b+c)(c+a) > 8 abc (1) — Abc (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) (1) — A>3 b>3 c>3 montrer que ab+bc+ac<abc (1) — Inegalite mathematique (1) — Inegalite( a ^2+1)(b^2+1)>a+b forum (1) — Montrer que si a+b+c=0 alors a^2+b^2+c^2=- 2(ab+bc+ca) (1) — Inegalite entre a b et c (1) — (a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — Demonstration a/c+b/c = a+b/c (1) — /a+b/<c et /a bc /ab/<c^2 (1) — A>1 et b>1 montre que &#8730;a (1+1/b)+&#8730;b (1+1/a)&#8805;4 (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+a-c) (1) — En+c+(a+b)?2:1 (1) — A+b<ab et b+c<bc alors a+c<ac (1) — (a+b)(b+c)(a+c)>8(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — A+b+c=1 abc=1 1\ab+1\bc+1\ca=1 (1) — Demontrer inegalite (1) — Max(a b c) en maths (1) — A/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c) =3 (1) — A+b+c=ab+bc+ac abc>=1 (1) — A^b =1 montrer que a^bc =a^c (1) — A+b+c=1 montrer que abc (1) — Montrer que |a|*|b|=a*b (1) — Abc enigme (1) — A+b=c a=c-b (1) — 2b=a+c montrer que (1) — A/b=c/d montrer que (1) — Prouver que a/(b+c)+b/(c+a)+c(a+b)<2 (1) — A+b+c=9 ab+bc+ca=24 (1) — Demontrer l inegalite a^n/(b+c)+b^n/(c+a)+c^n/(a+b)>=1/2(a^(n-1)+b^(n-1)+c^(n-1)) (1) — Montrer que (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < abc (1) — Enigme sur l inegalite (1) — Ab et c des nombres reels tel que: abc=1 demonstration de l inegalite:1/(1+a+ab)+1/(1+b+bc)+1/1+c+ac)<1 (1) — Prouver que a^2+b^2+c^2 plus grand que ab +bc +ca (1) — L``enigalite (1) — A.b.c+b.c+c.a+b.a reponse (1) — Montrer que (a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4) pour tout a b c et d positifs (1) — (a+b) (a-b)=25 (1) — (a+b-c) - [(a-c)-(a+b (1) — [(abc ? a et c ? b) ? c ? a ? b] (1) — A-(b+c)-b (a+c)+c (a-b)= (1) — Simplification a/(a-b)(a-c) b/(b-a)(b-c) c/(c-a)(c-b) (1) — (a-b)*(c+d) (1) — A+b<ab et b+c<bc montrer que a+c<ac (1) — (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) =9 (1) — Ab/c + ac/b bc/a > a+b+c (1) — Demonstration 1/a +1/b =1/a+b (1) — A+b+c=1 ab/(c+1) +bc(a+1) + ca/(b+1)<=1/4 (1) — A b c + cb = ba (1) — Montrer sans developper que (a-b)(b-c)+(b-c)(b-a)(a-c)=0 (1) — A+c-b-[b-(a+c)-(c-(b-a)] (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c) (1) — Demontre que a^2+b^2+c^2=ab +ac +bc (1) — (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc (1) — A/c et b/c implique ab/c (1) — Sachant que a3xbxc montrer (1) — Montrer que:(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc (1) — Si a+b+c=1 1\a+1\b+1\c a quoi= (1) — Demonstration 0=1 (1) — A+b b+c c+a 8 abc (1) — (a+b+c)(ab+ac+bc) -9abc>=0 (1) — Montrer que abc>=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) (1) — A/b+b/c+c/a >3 (1) — Ab<c implique a+b<c demonstration (1) — Demonstration de ac/bc=a/b (1) — Montrer que (a+b+c)3 abc (1) — Montrer que (a-1+1/b). (b-1+1/c). (c-1+1/a)?1 avec abc =1 (1) — A+b=c a=c-b b=c-a (1) — Ab/c+bc/a+ac/b?1 (1) — A+bc +ca =0 a+b/ab (1) — Enigme abc solution (1) — On pose (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c) (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (1) — Enigmes egalite (1) — Ab<c montrer que a+b<c (1) — 1=axbxc (1) — A/b/c+abc+abc+abc (1) — Demontrer que pour tous reels a et b (1) — Abc+abc/+a/bc/+a/ (1) — abc+ac+a b c+ a b= (1) — Monter si a+b+c=1 alors a^2+b^2+c^2<1/2 (1) — Ab/bc=a/c (1) — Comment montrer que a=b=c=d (1) — A/b+b/c+c/a-3 (1) — A b c inegalites (1) — A.b.c=1 et a+b+c=1/a + 1/b + 1/c (1) — Montrer que si |a-b|<c et |a+b|<c alors |ab|<c^2 /2 (1) — Prouve que a+b/c+b+c/a+c+a/b=-3 (1) — (1) — A^b*c^a= abc (1) — Abc > (a + b - c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — Ab/c+abc+abc+abc (1) — A-b/c b-c/a+c-a/b (1) — Demonter que si ab<c alors a+b<=c (1) — Enigme a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b) >= 2 (1) — 1=2 demonstration (1) — *;cb/b (1) — Monter sans developper que (a-b)(b-c)(c-a)+(c-b)(b-a)(a-c)=0 (1) — Montrer que a+bc=(a+b)(a+c) (1) — (1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)>sqrt(3)+(a/a+b)+(b/b+c)+(c/c+a) (1) — Abc>a+b+c (1) — Ab<c a+b<c (1) — (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc (1) — A/b+c + b/a+c +c/b+a < 2 (1) — Comment prouver montrer a ? b?a+c ? b+c (1) — Demonstration a+c>b+c (1) — Demontrer l egalite (a+b-c)(a+b+c) = (a+b) - c (1) — Enigme a=b (1) — F(a.b.c)=a.b+b.c (1) — (a+b)(c+b)(a+c)= (a+b)(c+b)(c+a) montrer (1) — A+b=c alors a=c-b (1) — (a+b+c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — A+b/(b-c)(c-a)+b+c/(c-a)(a-b) (1) — A/b=c/d a+c/b+d (1) — A/(b+c-a) +b/(a+c-b)+c/(b+a-c) >3abc (1) — Montre que si a+b(racine de 2)=c+d(racine de 2) alors a=c et b=d (1) — Si a+b+c=0 (1) — Enigme abc abc abc=abc math (1) — Abc=a(1+b+c) b (1) — A<b+c b<a+c c<a+b triangle abc (1) — A?b==>(a\c)cb\c (1) — Dans le triangle abc on appelle a=bc b=ca et c=ab (1) — A/b+b/c+c/a=>3 (1) — A/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1) =1 demonstration (1) — A/b+b/c+c/a=3 montre que abc est (1) — Montrer que ab/c ac/b bc/a>=b (1) — Demontrer que a/c+b/c=(a+b)/c (1) — (1) — A*(b-c) (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b (1) — A/d + b/c + c/b + d/a >= 4 (1) — Egalite a+b-c=a-b+c (1) — Demonstration a+b+c=0 (1) — Montrer l inegalite de produits (1) — Si a>b et que axc =bxc (1) — Inegalite de somme a*b (1) — ?a*a +?b*b + ?c*c =?(a+b+c)(a +b +c (1) — Aops a+b+c +abc =4 (1) — A/b+b/c+c/a>1/ab+1/bc+1/ca (1) — Montrer que a+b+c>1/2 (1) — Montrer cette egalite: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — A b c=0 demostration (1) — Demonstration de l inegalite (1) — Abc = a + b + c (1) — (a+b-c)(b+a-c)(c+a-b)<abc (1) — Ab+bc+ca>0 et a+b+c>0 et a b c >0 (1) — (a+b+c)(a+b+c+)(a+b+c):(demonstration) (1) — Particularite du triangle isocele (1) — Inegalite mathematiques exrcice enigme a/b + b/c (1) — Montrons que a/b+b/c+c/d+d/a >2 (1) — Montrer que s=1/2r(ab+ac+bc) (1) — A-b/c+b-c/a+c-a/b)(c/a-b+a/b-c (1) — Demontrer que a/b=c/d=(a+c)/(b+d) (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/abc (1) — Ab+ac+bc-abc (1) — C b cb b bc bc (1) — Montrer l?inegalite suivante (1) — Montrer que a + b + c = 2 abc = 1 (1) — Verifier l egalite (a+b+c)(bc+ca+ab)=(b+c)(c+a)(a+b)+abc (1) — Inegalite mathematiques + preuve (1) — Abc+ac+cb (1) — Abc a bc abc (1) — Demontrer 3/2 < a/b+c +b/a+c +c/a+b triangle (1) — (a-b)/a +(b-c/b)+(c-a/c) (1) — (1) — +ca (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=abc (1) — Montrer que s= a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+c) (1) — (a+b+c)(a+b-c)= (1) — Abc(a+b+c)> (1) — Abc triangle a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)=>3(a+b+c)/a+b+c (1) — Ab+bc+cb-abc (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)?abc (1) — Egnime a b c (1) — Demontrer a+b = b+c (1) — Ed+ba+dc+ea-bc (1) — Montrer que [abc]= [ab] c+ b [ac] (1) — Demontrer (a+b)(b+c)(a+c) (1) — Demontrer que max (a b c) >1 (1) — Enigme 10 triangle inegalite (1) — Montrer l inegalite x6+x5+x4+x3+x2+x+1>=1/2 (1) — Demonstration 2=1 a+b =c (1) — (a+b-c) (a+c-b) (b+c-a) (1) — (a+b-c) (a+b+c) (1) — A=b/c b=a/c (1) — (1) — Enigme abc reponse (1) — Inegalite a-b (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+ (1) — Egualite a=bc .b= (1) — (a+b) (a-b) demonstration (1) — Montrer l egalite suivante ab=bc (1) — Montrer que pour tout reels positifs a b c on a: (b+c)(c+a)(a+b)>8abc (1) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0 (1) — Montrer que a^3+b^3+c^3 (1) — Demontrer a+c < b+c (1) — Ab/c+bc/a= (1) — Prouver que: (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<ou=abc (1) — Demonstration d l enigalite (1) — Comment trouver que a sur ab + a+1 +b sur bc+b+1 + c sur ca +c+1=1 si abc= (1) — Demontrer que c= 1-3 a/4 (1) — Demonstration a/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — Montrer que (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc (1) — Montrer que 1 < a/a+b+c < 2 (1) — Demonstration f([a;b])c[a;b] (1) — F(abc)=a +bc demonstration (1) — Demonstration a/b=c/d=e/f implique (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c)(a-b-c) (1) — A/b+c b /a+c inegalite (1) — Ab+bc+cb (1) — A/.b.c/+a.b.c/+b.c/.d (1) — Montrer l inegalite a+b+c<= (ab)/c(bc)/a(ac)/b (1) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b) (1) — Ab+ac+bc=0 demontrer (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c) (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) <= abc (1) — Demontrer que (a?b) ? c = (a ? c)?(b ? c) (1) — Abc = 1 montrer que a+b+c/3 (1) — A.b.c+a .b.c +a .b.c (1) — (1) — Demontrer a/b=a+c/b+d (1) — (1+a)(1+b)(1+c)-1 (1) — Montrer que :(a?b)=(a?c)et(b\a)=(c\a)?b=c. (1) — Abc montrer que a+b<c (1) — (a+b+c)(d+e+f) developper (1) — Montrer que a\(bc)=a\b a\c (1) — (a+b+c)(abc+abc+abc) (1) — Ab + ac + bc = abc (1) — Enigme la somme de a+b+c (1) — Si a b c >0 et a<b+c on a (1) — Si abc>0 (1) — Ab/c+bc/a+ca/b (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c) (1) — Developper (a-b).(c-b) (1) — On a a<b<c trouver abc (1) — Nombres croises (1) — Montrer que (ab<c ==>a+b<c) (1) — (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) abc (1) — Si a=bxc donc ab = dxe (1) — Simplifier ab+a bc+abc +a bc (1) — Inegalites 1+abc (1) — Ab+bc+ac 0 (1) — -(-a+b-c)+(-a-b-c) (1) — (a/b c) (b/a b) (c/c b) > 3/2 (1) — Demonstration a<b = 1/a > 1/b (1) — Bc/a + ca/b + ab/c > a+b+c (1) — Abc = ab + bc + ac si produit abc =1 (1) — (a+c-b)(a+b-c) (1) — Bc/a+ac/b+ab/c (1) — Abc?(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Abc <= a^3+b^3+c^3 (1) — Maths a=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — A.bc - a.cb (1) — (ab sur a+b)+(bc sur b+c)+(ca sur a+c)<(a+b+c sur 2) (1) — A.b.c=1 montrer que (1) —

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