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 #1 - 22-05-2011 22:07:44

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstratioon de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Montrer que pour tous réels [latex]a,b,c>0[/latex] on a :

[latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Bon courage.



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 #2 - 23-05-2011 12:40:21

racine
Elite de Prise2Tete
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démonsrration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

C'est vrai si les longueurs a,b et c ne permettent pas de former un triangle, l'un des trois termes étant négatif.

 #3 - 24-05-2011 09:03:54

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
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Démonstraation de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

la somme des facteurs  des produits est a+b+c.
prenons a>=b>=c
a+b-c >= a
c>=b+c-a

pour une même somme, le produit est maximum pour des facteurs s'approchant de la moyenne arithmétique.

 #4 - 24-05-2011 17:44:37

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Démonstation de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Est-il besoin de démontrer que l'égalité est vraie pour a = b = c ?

Posons [latex]b' = b/a[/latex] et [latex]c' = c/a[/latex]. Il ne reste plus qu'à démontrer que la fonction :
[TeX]f(b', c') = (1+b'-c')*(1+c'-b')*(b'+c'-1)-(b'*c')[/TeX]
admet un maximum de pour b' = c' = 1.

Soient  [latex]b' = 1-e[/latex]  et  [latex]c' = 1+e[/latex].

En développant il vient :
[TeX]f(b', c') = (1-4*e^2) - (1-e^2) = -3*e^2 \leq 0[/TeX]
Avec b' =  c' = 1+e ou 1-e , on obtient   [latex]f(b', c') = -e^2 \leq 0[/latex]

Bref, que b ou/et c s'éloignent en positif ou en négatif de la valeur a, on obtient toujours :

     [latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Oui, je sais que la démonstration n'est pas très rigoureuse ... neutral
Il faudrait généraliser avec   [latex] b' = 1+e1[/latex] et [latex]c' = 1+e2[/latex] , e1 et e2 pouvant être positifs ou négatifs.
Mais je n'ai jamais été très doué pour les développement compliqués sad .

 #5 - 24-05-2011 18:29:42

Franky1103
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Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Bonjour,
Soit la fonction f(a,b,c) = abc + (a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
Mon intention est de déterminer le (ou les) minimum local de f(a,b,c) et de vérifier que f(a,b,c) est positif sur ces points, mais je ferai tout ça demain.
Bonne soirée.
Frank

Edit: Je suis de bonne volonté, mais je me perds dans les dérivées partielles; ma méthode n'est pas la bonne, mais je n'en ai pas d'autre sous la main.

 #6 - 25-05-2011 07:22:07

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démnostration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Jack je pense que tu as oublié que divisant par a abc on a bc ...


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 #7 - 25-05-2011 09:11:55

gwen27
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Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(+c-a)

Je me dis que pour une somme donnée, a+b+c , le produit de trois nombres est maximum quand a=b=c. Plus l'intervalle entre les 3 nombres est petit, plus le produit est grand, le maximum étant atteint pour un cube.

De là, on voit que (a+b-c)+(a+c-b)+(c+b-a)=a+b+c

Cas 1 : a=b=c : on est dans le cas =abc
cas 2 : a<b < c

Alors (a+b-c) < a  et (b+c-a) >c
Les 3 nombres étant plus "dispersés" pour la même somme, le produit est moindre.
Le cas ou a+b-c<0 aurait pu fausser la donne si a,b et c n'étaient pas >0 mais ce n'est pas le cas.
( on peut mettre une égalité a=b<c ou a<b=c, ça ne change presque rien )

Par contre, je ne sais pas si cette démonstration est valable. smile

 #8 - 25-05-2011 09:36:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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démonstratuon de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Gwen je pense (mais je peut-être pas compris) que dans ta première phrase les termes du produit considéré doivent être les mêmes que ceux de la somme mais pas simplifiée. Si je suis peu clair dis moi le...


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 #9 - 25-05-2011 10:28:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
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démonstration de l'inégalité abx >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Oublions la situation particulière de ton énoncé

abc est un triplet quelconque de nombres.

pour la même somme tu prends un triplet def tel que d<=a et f>=c

4 cas :

1) d=a et f=c donc e=b abc = def
2) d<a et f=c def =(a-n)(b+n)c or (a-n)(b+n)<ab donc def<abc
3) d=a et f>c def = a(b-m)(c+m) or (b-m)(c+m)<bc donc def<abc
4) d<a et f>c def = (a-n)(b+n-m)(c+m) avec a-n=d et c+m=f

(a-n)(b-m+n) <(a(b-m) donc (a-n)(b+n-m)(c+m)<a(b-m)(c+m)
(b-m)(c+m)<bc donc def<abc

Avec maintenant la situation particulière de l'énoncé, on pose :

si a=b=c  abc =(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a) c'est le cas n°1
si a=b<c (c+a-b) = c  (c+b-a)=c (a+b-c)< a C'est le cas n°2
si a<b=c (c+b-a) >c  (a-b+c) =a (a+b-c)=a c'est le cas n°3
si a<b<c (a+b-c)<a (c+b-a)>c C'est le cas n°4

 #10 - 25-05-2011 22:20:31

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)b(+c-a)

Merci pour vos réponses.
Ma preuve est la suivante :
Les cas où il y des termes négatifs sont facilement traitable.

Ensuite si on pose [latex]A=a+b-c\geq 0 \ B=a+c-b\geq 0\ C=b+c-a\geq 0[/latex]

alors il faut montrer [latex](A+B)(B+C)(C+A)\geq 8ABC[/latex].

Or [latex]A+B\geq 2\sqrt{AB} \ B+C\geq 2\sqrt{BC} \ C+A\geq 2\sqrt{CA}[/latex]

car [latex](x-y)^2 \geq 0[/latex] d'où [latex]x^2+y^2\geq 2xy[/latex],

on a ce qu'on veut en posant [latex]x=\sqrt{A} \ y=\sqrt{B}[/latex]...


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 #11 - 25-05-2011 22:26:00

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

démonstration de m'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Je ne trouve pas le résultat demandé mais je m'en approche.
Méthode à raffiner.

On va d'abord poser [latex]0<a<b<c[/latex] (qui ne change rien au raisonnement)

On voit que: [latex]a<b \Rightarrow a<b+c[/latex] et [latex]b<c \Rightarrow b<a+c[/latex]

D'où [latex]0<b+c-a[/latex] et [latex]0<a+c-b[/latex]

Se présente maintenant deux cas.

Premier cas : [latex]c\ge a+b[/latex]
Alors [latex]a+b-c\le 0[/latex] et donc [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\le 0[/latex]
Ainsi [latex]abc>0\ge (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex]

Second cas : [latex]c<a+b[/latex]
On aura donc un triplet [latex]{a,b,c}[/latex] qui respecte l'inégalité triangulaire.
Il existe donc un triangle dont les trois longueurs ont pour valeur les valeurs de ce triplet.

Nommons [latex]S[/latex] la surface dudit triangle et [latex]p[/latex] son périmètre.
D'après la formule de Héron: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4^2*S}{p}[/latex]

En prenant [latex]\gamma[/latex] l'angle opposé au côté [latex]c[/latex], on a: [latex]S=\dfrac{1}{2}a.b.\sin(\gamma)[/latex]

Ainsi: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4a^2b^2\sin^2(\gamma)}{a+b+c}<\dfrac{4a^2b^2}{3a}<\dfrac{4}{3}\times abc[/latex]

C'est le mieux que je puisse faire avec cette méthode...sad

EDIT: J'aurai répondu quelques minutes trop tard.hmm


There's no scientific consensus that life is important

 #12 - 25-05-2011 22:39:43

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-)(b+c-a)

Al Kashi donne [latex]c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)[/latex] d'où

[latex]sin^2(\gamma)=1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4(ab)^2}[/latex]...

Peut-être cela  marchera ainsi...
ou on tourne juste en rond...


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 #13 - 26-05-2011 12:56:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

démonsrration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

La preuve donnée par Yanyan est juste diaboliquement simple. J'adore ce genre de solutions, tellement frustrantes quand on ne les a pas trouvé soi-même lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 26-05-2011 14:19:09

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1106
Lieu: Jacou

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)((a+c-b)(b+c-a)

Très belle démo en effet. Belle démo pour moi étant synonyme de simple et efficace.

Je sais que j'ai déjà rencontré ça mais je ne me souviens pas où, sans doute en taupe smile Je me souviens en avoir croisé pas mal de ce genre et avoir été bluffé à chaque fois par la simplicité et mon manque de recul à l'époque smile pour pouvoir les trouver.

On touche vraiment du doigt l'effet AHAH.

 #15 - 31-03-2013 23:47:25

Cronos-T.B.M
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 4

démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-v)(a+c-b)(b+c-a)

Si a = b = c = 1

abc = 1

et (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) = 2*2*2 = 8

 #16 - 01-04-2013 08:16:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,857E+3

démonstration de l'inégalité abc >= (a+n-c)(a+c-b)(b+c-a)

Reste juste à démontrer que 1+1-1=2 smile

 #17 - 04-07-2016 20:04:10

Vincelot
Visiteur

Démonstration de l'inégalité abc &t;= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Cet exercice est un classique des olympiades de mathématiques 😉
On effectue la transformation de Ravi en posant : [latex]a=x+y,b=y+z,c=z+x[/latex] L'inégalité se réécrit alors :
[TeX](x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz,[/TeX]
résultat évident puisque
[TeX]\prod_{cyc}(x+y)\ge\prod_{cyc}2\sqrt{xy}=8xyz[/TeX]

 #18 - 05-07-2016 18:28:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Démonstration e l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Confère post 10 smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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(b ? c) (a ? b) ? c = (a ? c) ? (b ? c) (2) — (a+b)(b+c)(a+c)/abc >=8 (2) — Abc+ab+ac (2) — Abc ac (2) — Sachant que a x b x c =1 (2) — Ab+ac+bc=abc (2) — Demontrer (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>8(a+b)(b+c)(a+c) (2) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c) (2) — Montrer que (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) inferieur a abc (2) — A^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<3abc solutions forum (2) — Yoyotorpedo (2) — A=-b-c (-b-c)-b+c=-4 (2) — Demontrer que a/b * c/d = a*c/b*d (2) — Abc> (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (2) — 0<a<b<c ab+ac+bc=abc (2) — A+b<a.b demonstration (2) — (ab-1)(bc-1)(ca-1) alors a+b+c+1/abc (2) — (abc + b-c/a + c a/b ) . (c/a-b + ac/b-c + bc/c-a) ???? (2) — Montrer que ab+bc+cb =o (2) — A/(a-b)(a-c)+b/(b-c)(b-a)+ca)(c-b)=0 (2) — A+b+c=axbxc=17 (2) — (a+b)^3 demonstration (2) — (a+b+c)(a+b-c) = a+b-c (2) — A-(b+c)=a-b-c (2) — Abc+bc (2) — Montrer que a+b+c <2 (1+bc) (2) — Abc=a+b+c (2) — Montrons que a<b et c>0 alors ac<bc (2) — (a+b+c) (a-b-c) (2) — Demontrer que a=b=c=d (2) — A/c+b/b+c/a>=3 (2) — X6+x5+x4+x3+x2+x+1 (2) — A/bc = a/b a/c (2) — Si a b alors 1/a 1/b (2) — 1/(a+b-c) +1/(a+c-b) +1/(b+c-a) ?3 (2) — Demontrer cette egalite a/b=a+c/b+d (2) — Reponce pour a+c=d a*b=c c-b=b a*4=d (2) — A+b=c c-b=a (2) — Abc(a+b+c-3)>0 (2) — (2) — Demontrer une inegalite (a+b)(b+c)(c+a)=8abc (2) — Abc > (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (2) — Abc>(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) (2) — (a + b ? c) (b + c ? a) (c + a - b) ? abc (2) — X=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (2) — (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) abc (2) — Montrer que (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9 (2) — (a+b+c) (a-b+c) (2) — (a+b+c)(a-b-c) (2) — F(abc)=a.b.bc (2) — Bc b (2) — A/bc+b/ac+c/ab =2/b + 2/a - 2/c (2) — (2) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b) (1) — Ab+bc+cb (1) — Montrer que (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc (1) — F(abc)=a +bc demonstration (1) — Demontrer que c= 1-3 a/4 (1) — Montrer que 1 < a/a+b+c < 2 (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c)(a-b-c) (1) — A/b+c b /a+c inegalite (1) — Demonstration a/b=c/d=e/f implique (1) — Egualite a=bc .b= (1) — Demonstration a/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — A/.b.c/+a.b.c/+b.c/.d (1) — Demonstration f([a;b])c[a;b] (1) — Ab+ac+bc=0 demontrer (1) — Montrer l inegalite a+b+c<= (ab)/c(bc)/a(ac)/b (1) — Demonstration d l enigalite (1) — Simplifier ab+a bc+abc +a bc (1) — Enigme abc reponse (1) — Bc/a + ca/b + ab/c > a+b+c (1) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0 (1) — (a+b) (a-b) demonstration (1) — Nombres croises (1) — Inegalite a-b (1) — Montrer l egalite suivante ab=bc (1) — Prouver que: (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<ou=abc (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+ (1) — Ab/c+bc/a= (1) — Demontrer a+c < b+c (1) — Montrer que pour tout reels positifs a b c on a: (b+c)(c+a)(a+b)>8abc (1) — Montrer que a^3+b^3+c^3 (1) — Comment trouver que a sur ab + a+1 +b sur bc+b+1 + c sur ca +c+1=1 si abc= (1) — Inegalites 1+abc (1) — (1) — Montrer que (ab<c ==>a+b<c) (1) — (a/b c) (b/a b) (c/c b) > 3/2 (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) <= abc (1) — Ab+bc+ac 0 (1) — -(-a+b-c)+(-a-b-c) (1) — Demonstration a<b = 1/a > 1/b (1) — A/b+b/c+c/a=>3 (1) — (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c) (1) — Developper (a-b).(c-b) (1) — (a+b+c)(d+e+f) developper (1) — Si a=bxc donc ab = dxe (1) — Montrer que a\(bc)=a\b a\c (1) — A*(b-c) (1) — On a a<b<c trouver abc (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c) (1) — Si abc>0 (1) — Demontrer que (a?b) ? c = (a ? c)?(b ? c) (1) — Ab/c+bc/a+ca/b (1) — Demontrer a/b=a+c/b+d (1) — A.b.c+a .b.c +a .b.c (1) — (1+a)(1+b)(1+c)-1 (1) — Abc = 1 montrer que a+b+c/3 (1) — Ab + ac + bc = abc (1) — Abc montrer que a+b<c (1) — A=b/c b=a/c (1) — Montrer que :(a?b)=(a?c)et(b\a)=(c\a)?b=c. (1) — Enigme la somme de a+b+c (1) — (a+b+c)(abc+abc+abc) (1) — Si a b c >0 et a<b+c on a (1) — (1) — Egalite a+b-c=a-b+c (1) — (a+b-c)(b+a-c)(c+a-b)<abc (1) — Particularite du triangle isocele (1) — Ab+bc+ca>0 et a+b+c>0 et a b c >0 (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b (1) — A/d + b/c + c/b + d/a >= 4 (1) — Demonstration de l inegalite (1) — Montrer l?inegalite suivante (1) — Montrons que a/b+b/c+c/d+d/a >2 (1) — ?a*a +?b*b + ?c*c =?(a+b+c)(a +b +c (1) — Inegalite mathematiques + preuve (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/abc (1) — A-b/c+b-c/a+c-a/b)(c/a-b+a/b-c (1) — Inegalite mathematiques exrcice enigme a/b + b/c (1) — Si a>b et que axc =bxc (1) — A b c=0 demostration (1) — (a+b+c)(a+b+c+)(a+b+c):(demonstration) (1) — Sachant que a+e = (a+b)+(d+e)-(b+d+c)+c il faut trouver que a+e = c (1) — X = (a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (1) — A/b+b/c+c/a=3 montre que abc est (1) — Montrer que s=1/2r(ab+ac+bc) (1) — Montrer que a+b+c>1/2 (1) — Abc = ab + bc + ac si produit abc =1 (1) — A/b+b/c+c/a>1/ab+1/bc+1/ca (1) — Montrer l inegalite de produits (1) — Abc = a + b + c (1) — Demontrer que a/b=c/d=(a+c)/(b+d) (1) — Aops a+b+c +abc =4 (1) — Inegalite de somme a*b (1) — Demonstration a+b+c=0 (1) — Montrer cette egalite: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — Abc+ac+cb (1) — Montrer que s= a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+c) (1) — Ab+ac+bc-abc (1) — Abc(a+b+c)> (1) — (a+b+c)(a+b-c)= (1) — Egnime a b c (1) — Ab+bc+cb-abc (1) — Demontrer a+b = b+c (1) — Abc triangle a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)=>3(a+b+c)/a+b+c (1) — Demontrer que a/c+b/c=(a+b)/c (1) — Montrer que [abc]= [ab] c+ b [ac] (1) — A/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1) =1 demonstration (1) — Ed+ba+dc+ea-bc (1) — Demonstration 2=1 a+b =c (1) — (a+b-c) (a+c-b) (b+c-a) (1) — (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)?abc (1) — Montrer l inegalite x6+x5+x4+x3+x2+x+1>=1/2 (1) — Verifier l egalite (a+b+c)(bc+ca+ab)=(b+c)(c+a)(a+b)+abc (1) — (1) — Montrer que a + b + c = 2 abc = 1 (1) — Demontrer (a+b)(b+c)(a+c) (1) — Demontrer que max (a b c) >1 (1) — C b cb b bc bc (1) — +ca (1) — (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) abc (1) — Demontrer 3/2 < a/b+c +b/a+c +c/a+b triangle (1) — Enigme 10 triangle inegalite (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=abc (1) — (a-b)/a +(b-c/b)+(c-a/c) (1) — (a+b-c) (a+b+c) (1) — Abc a bc abc (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c) (1) — (a b c)(a b-c) (1) — A+b+c=1 montrer que 1/a+1/b+1/c=1 (1) — A+b<ab et b+c<bc monter a+c<ac (1) — (a+b+c)/3< (1) — A+b+c+d=1 (1) — B-c=a (1) — Formule latex : (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc. (1) — Ab+bc+ac =abc-1 (1) — A+b-c a+c-b b+c-a (1) — (a+b-c)(a-b-c) (1) — Abc< a^2+ b^2 inegalite (1) — Ab/c+bc/a+ca/b =a+b+c (1) — A+b+c-abc (1) — Si a=bxc alors b=c/a (1) — Quelque soit a>3 b>3 c> 3. montre que. 3 (a+b+c) < ab+ac+bc (1) — (a+b)(b+c)(c+a)>=8(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — A>b>c>0 trouver abc (1) — A<b<c a+b+c=6 a fois b fois c=6 abc=? (1) — A-b * c+d (1) — Abc=1 montrer que a/ab+a+1 +b/bc+b+1 + c/ac+c+1 (1) — A+b+c+ab+bc+ac+abc (1) — A*b+c*b+abc (1) — (a*b)+-+(c*d)+-+(e*f)+++++++-5096 (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)<abc (1) — (a-b/c + b-c/a + c-a/c) ( c/a-b + a/b-c +b/c-a) (1) — A b c enigme (1) — (1+1/abc).(a+b+c) > 3+1/a +1/b+1/c (1) — (a+b+c)(a+b-c) = (1) — Demontrer a b c (1) — Ab + bc + ca (1) — Demontrer que a+b<b+d (1) — A/b+b/c+c/a >3 (1) — Montrer sans developper que (a-b)(b-c)(c-a)+(c-b)(a-b)(a-c)=0 (1) — Ab+bc+ac<abc (1) — Demonstration de l egalite a/b=(a+c)/(d+b) (1) — (a+b+c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c) (1) — Bc cb b ca abc (1) — (a-b)(b-c)(c-a)-(b-a)(c-b)(a-c) (1) — (cd;ba) = (cd;cb) + (bc;ba) + (1) — (a+b+c)(ab+ac+bc) -9abc>=0 (1) — Montrer que (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (1) — A+b b+c c+a 8 abc (1) — Montre que abc(a+b+c)<=ab+ac+bc (1) — Montrer que (a+b+c) ( (1) — A+b=c a=c-b b=c-a (1) — Montrer que (a+b+c)3 abc (1) — Demonstration 1/a+b<1/a + 1/b (1) — Montrer que a^2+b^2=c^2=ab+bc+ac implique b-a=c-a=b-c (1) — F(abc)=ab?abc?ac?abc (1) — Demontre a=b b-a est positif (1) — A_(b+c)=a-b-c (1) — Montrer que si abcd sont des entier positifs alors l inegalite 1 <= a/(a+b+c) + b/(b+a+d) + c/(c+d+a) + d/(d+c+b) (1) — On admet que : ( ab) // (a b ) (bc) ( b c) ( ac) // ( a c ) (1) — Montrer que: ab+ac+bc <abc (1) — Ab+bc+ca+2abc=1 montrer que abc<1/8 (1) — (1) — A - (b + c) = a - b - c (1) — Ab+bc+ac=0 x= a+b/a + b+c/b + a+c/c (1) — (a+c-b)(a+b-c) (1) — 8abc =(a+b)(a+c)b+c (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) =abc (1) — Montrer que :a=b=c=d (1) — A-(b+c) = a-b-c (1) — A+b+c et abc =1 (1) — Demontrer (b+d)a=(a+c)b (1) — 1/a+1/b+1/c<a+b+c+1/abc demontrer (1) — Enigmes pour demontrer des inegalites (1) — Demontrer que si a/b=c/d alors a+c/b+d (1) — Montrer que a/(c+b) +b/(c+a)+c/(a+b)<2 (1) — Ab + ac = abc (1) — Min a b c 1/2 a+b b+c (1) — E= a+b/c +b+c/a +c+a/b sachant que ab+bc+ca=0 (1) — (a+b)((1/a)+(a/b)) (1) — Demontrer l inegalite par les cas (1) — S -> aa a->aa|ab b->bc c->cb (1) — Ab+ac=be de maths de le lieu a+b=c (1) — Egnime avec abc (1) — (a+b-c)(a+c-b)( (1) — Montrer que a^3+b^3+c^3?a^2b+b^2c+c^2a (1) — Solution ab(a+cb)+a(b+1) (1) — Montrer que (ab c)(a+c-b)(b+c-a)<abc (1) — Montrer que ab<c alors a+b<c (1) — A+b/ab +b+c/bc +c+a/ac 2 (1) — Developper (a+b+c)(ab+bc+ca) (1) — A et b et c reels positifs montrer que ab/c+1 +ac/b+1 +bc/a+1 <1/4 (1) — Monter que a+b+c=1 implique (1) — A+bc +ca =0 (1) — A.b.c=1 montrer que (1) — Enigme de a.b.c (1) — (ab sur a+b)+(bc sur b+c)+(ca sur a+c)<(a+b+c sur 2) (1) — Abc un triangle montrer que (ab c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Demo e-carte bleue (1) — A.bc - a.cb (1) — Mathematique a+b+c=14 axbxc=36 (1) — (a+b)(a+c)(b+c) 8(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Demonstrations 2=1 (1) — A/b+b/c+c/a>3 (1) — E= a+b/c +b+c/a +c+a/b sachant que ab+bc+ca=0 demontrer que e= (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=<abc (1) — Inegalites ab/c+1 +bc/a+1 +ca/b+1 (1) — Demonstration e=a+b/3 (1) — Http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt{ab}\leq%20\frac{a+b}{2} (1) — (ab sur a+b)+(bc sur b+c)+(ca sur a+c) (a+b+c sur 2 (1) — A+b+c et abc (1) — Comment demontrer a^3+b^3+c^3=3abc (1) — A+b+c=0 et ab+ac+bc=11 et abc=-13 (1) — Inegalite (a+b+b)/(1+abc)<2 (1) — Montrer que si |a|<1|b|<1|c|<1 alors ab+ac+bc+1>0 (1) — Abc (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Montrer que ab/c ac/b bc/a>=b (1) — Abc=1 montrer que a+b+c>3 (1) — A/b+b /a>2 demontre (1) — Dans le triangle abc on appelle a=bc b=ca et c=ab (1) — (b+c)(c+a)(a+b) = 8 abc (1) — Abc?(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Bc/a+ac/b+ab/c (1) — (a-b-c)(a-b+c) (1) — Abc <= a^3+b^3+c^3 (1) — A.b.a.b.b. (1) — Demontrer que a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) (1) — A>b alors a+c ..... b+c (1) — (a+b)^4 demo (1) — A/d+b/c+c/b+d/a (1) — (a+b+c)(bc+ca+ab)=(b+c)(c+a)(a+b)+abc prouver l egalite (1) — Demontrer (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) =9 (1) — A-(b+c)= a-(b-c) (1) — Montrer l inegalite (1) — Maths a=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (1) — Comment demontrer que a/b =a/b c/d (1) — I = (a+c)(abc+b)+a (1) — (1) — C +ca (1) — Prouver inegalite a b c d (1) — A>3 b>3 c>3 montrer que ab+bc+ac<abc (1) — F(c)=ab et f(b)=ac et f(a)=bc trouver f(a+b+c) (1) — Abc(a+b+c) (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=a*b*c (1) — Montrer que b+c et b-c (1) — Inegalite a b c cubes (1) — (a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a) (1) — 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c (1) — Si (a+b+c)=1 alors abc< (1) — (1) — On dit que a=bc que c=a/b (1) — A+b<c+d demonstration (1) — Demontrer ab<((a+b)/2)^2 (1) — Abc/(ab+ac+bc) (1) — Inegalite a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) (1) — (a-b) (c-b) (1) — A/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — ? = 1/2(ab^2+ac^2-cb^2)=0 (1) — Demonstration moteur abc (1) — Reponse pour a+c=a*b=c c-b=b*4=d (1) — A/b+b/c+c/a>=3 inegalite (1) — A=bc b=ca et c=ab sont les trois (1) — Montrer que a<b<c (1) — Si a+b=1 montrer que (1+1/a)(1+1/b) (1) — A b c triangle (a/b+c) + (b/a+c) + (c/b+a) <2 (1) — Comment demontrer que ( a? c )?(b?c)?((a?b)?c) (1) — Abc>(a+b-c) (1) — A/(1+bc)+ b/(1+ac) + c/(1+bc) <=2 (1) — Ac=bc donc c=bc/a (1) — Simplifier /c/b d+b/c ab+c/d/a b+ca/b (1) — A b c positifs exitent cotes ont pour longueur a b c (1) — Abc = a! + b! + c! (1) — In%c3%a9galit%c3%a9+a/(b%2bc) (1) — Math x6+x5+x4+x3+x2+x+1 (1) — Montrer l inegalite : (a/b) +(b/c)+(c/d)+(d/a) >4 (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b-c) (1) — Si a>3 b>3 c>3 montrer que ab+ac+bc<= abc (1) — Ab ac bc abc (1) — Demontrer que a/b + c/b = a+b-c (1) — (a+b+c)(bc+ca+ab)-(b+c)(c+a)(a+b) (1) — Les inegalites mathematiques a b c=1 (1) — Cela abc et a b c (1) — A+b+c+ab+bc+ca+abc=x (1) — Abc>(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Demontrer que a/(a-b)(a-c)+b/(b-a)(b-c)+c/(c-a)(c-b)=a+b+c (1) — Ab/c+bc/a (1) — Inegalite en a b c (1) — Demontrer que (a+b)^3<=(a^3+b^3)/2 (1) — S a c +b et a+c +b. (1) — Demonstration de inegalite a+c b+c (1) — <3 a.b <3 c.b <3 (1) — A +b (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c (1) — Demontrer que (a+b)(c+d) < a^2 + (1) — (a-b+c)(a-b-c) (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — Si a=bxc et ab = dxe (1) — Resultat de (a+b+c)2>3(ab+bc+ca) (1) — A+c=d;a*b=c;c-b=b;a*4 (1) — (a%2bb-c)(a%2bb-c)(a%2bb-c) (1) — Comment demontrer une inegalite (1) — A/b+b/c+c/a>=3 (1) — Bc+ab+ac=(cb+a)..2 (1) — 8(a%2bb-c)(a-b%2bc)(-a%2bb%2bc) (1) — A/b=c/d=a+c/b+d (1) — A=(a+b+c)(a-b+c)((a+b-c)(-a+b+c (1) — A(b-1)+c(a-1)+b(c-1) (1) — Demontrer que ab + bc + ca = 0 (1) — Montrer que a b c sont positifs (1) — Demontrer que 1=2 (1) — Montrer que abc(a+b+c)> (1) — Demostration de 2=1 (1) — Demonstration de ac/bc=a/b (1) — Montrer le maximum et le minimum par a*c-b*b (1) — Demontrer l inegalite de (1) — Ba/a/b ab/c > a b c montrer l inegalite (1) — A.b <3 c.b (1) — (1) — 2?????????????0;1? ?????????????????c ??b ?? a???? ? 1 1 1 a b c bc ac ab ? ? ? (1) — Montrer que (a+b)(a+c)=a+bc (1) — (a+b+c) ( a+b-c) (1) — Ab+bc+ac+a/b/c+/ab/c+/a/bc (1) — Montrer que si a/b = c/d alors a+c/b+d = a/b (1) — Demontrer l egalite a bc+ab c+abc +abc=bc+ac+ab (1) — Demontrer que l on a : ab/c + ca/b + bc/a >= a + b + c (1) — 1/a+1/b+1/c+1/d=1/abc (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-d)<abc (1) — (1) — A b c d de l egalite (1) — Prouver que a+b/c+b+c/a+c+a/b=-3 (1) — Enigmes page 1 a b c (1) — A/b/c = a/bc (1) — Demontrer que si a< b et c < d alors a+c< b+d (1) — A*b<c alors a+b<c demonstration (1) — (b-a)(a-b+c)(a-b-c) (1) — (ab^ac).bc (1) — Demontrer que (a+b+c+d)/4 (1) — A+b+c=1 et abc=1 (1) — Inegalite demonstration maths (1) — Montrer l egalite suivante: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — (1) — Comment prouver que 1= a 1/a+1/b+1/c+1/d (1) — ???? (a+b-c)(a+c-b) (1) — Demonstration abc`\2 (1) — Si a/b=3 et b/c=4 alors a+c/b+c=? (1) — A/b+b/c+c/a>=3 demonstration (1) — (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) solution (1) — Demonstration -(a+b) (1) — 1. f(a bc) = a b c + a bc + abc (1) — Demontrer que ab+bc+ca<a*a+b*b+c*c (1) — Montrer que si a/b<1 alors a+c/b+c>a/b (1) — Ab<c implique a+b<c demonstration (1) — Max a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab) (1) — Si a+c=d a*b=c c-b=b et a*4=d (1) — A<3 b<3 et c<3 montrer que ac+ab+bc<abc (1) — Abc en a c? i(b-a) + a (1) — 1/a+b+1/b+c+1/c+a-(ab/a+b+bc/b+c+ca/c+a) (1) — Montrer que a+bc=(a+b)(a+c) (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=<abc (1) — Abc +a bc+ab c+a b c (1) — A =(a=b=c)(a=b-c) (1) — S (abc) = 1/2 |det( abac)| (1) — Monter sans developper que (a-b)(b-c)(c-a)+(c-b)(b-a)(a-c)=0 (1) —

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