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 #1 - 22-05-2011 22:07:44

Yanyan
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c))(a+c-b)(b+c-a)

Montrer que pour tous réels [latex]a,b,c>0[/latex] on a :

[latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Bon courage.


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 #2 - 23-05-2011 12:40:21

racine
Elite de Prise2Tete
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démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-v)(a+c-b)(b+c-a)

C'est vrai si les longueurs a,b et c ne permettent pas de former un triangle, l'un des trois termes étant négatif.

 #3 - 24-05-2011 09:03:54

debutant1
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DDémonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

la somme des facteurs  des produits est a+b+c.
prenons a>=b>=c
a+b-c >= a
c>=b+c-a

pour une même somme, le produit est maximum pour des facteurs s'approchant de la moyenne arithmétique.

 #4 - 24-05-2011 17:44:37

Jackv
Elite de Prise2Tete
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démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-z)

Est-il besoin de démontrer que l'égalité est vraie pour a = b = c ?

Posons [latex]b' = b/a[/latex] et [latex]c' = c/a[/latex]. Il ne reste plus qu'à démontrer que la fonction :
[TeX]f(b', c') = (1+b'-c')*(1+c'-b')*(b'+c'-1)-(b'*c')[/TeX]
admet un maximum de pour b' = c' = 1.

Soient  [latex]b' = 1-e[/latex]  et  [latex]c' = 1+e[/latex].

En développant il vient :
[TeX]f(b', c') = (1-4*e^2) - (1-e^2) = -3*e^2 \leq 0[/TeX]
Avec b' =  c' = 1+e ou 1-e , on obtient   [latex]f(b', c') = -e^2 \leq 0[/latex]

Bref, que b ou/et c s'éloignent en positif ou en négatif de la valeur a, on obtient toujours :

     [latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Oui, je sais que la démonstration n'est pas très rigoureuse ... neutral
Il faudrait généraliser avec   [latex] b' = 1+e1[/latex] et [latex]c' = 1+e2[/latex] , e1 et e2 pouvant être positifs ou négatifs.
Mais je n'ai jamais été très doué pour les développement compliqués sad .

 #5 - 24-05-2011 18:29:42

Franky1103
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Démonstration ed l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Bonjour,
Soit la fonction f(a,b,c) = abc + (a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
Mon intention est de déterminer le (ou les) minimum local de f(a,b,c) et de vérifier que f(a,b,c) est positif sur ces points, mais je ferai tout ça demain.
Bonne soirée.
Frank

Edit: Je suis de bonne volonté, mais je me perds dans les dérivées partielles; ma méthode n'est pas la bonne, mais je n'en ai pas d'autre sous la main.

 #6 - 25-05-2011 07:22:07

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-)

Jack je pense que tu as oublié que divisant par a abc on a bc ...


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 #7 - 25-05-2011 09:11:55

gwen27
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déminstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Je me dis que pour une somme donnée, a+b+c , le produit de trois nombres est maximum quand a=b=c. Plus l'intervalle entre les 3 nombres est petit, plus le produit est grand, le maximum étant atteint pour un cube.

De là, on voit que (a+b-c)+(a+c-b)+(c+b-a)=a+b+c

Cas 1 : a=b=c : on est dans le cas =abc
cas 2 : a<b < c

Alors (a+b-c) < a  et (b+c-a) >c
Les 3 nombres étant plus "dispersés" pour la même somme, le produit est moindre.
Le cas ou a+b-c<0 aurait pu fausser la donne si a,b et c n'étaient pas >0 mais ce n'est pas le cas.
( on peut mettre une égalité a=b<c ou a<b=c, ça ne change presque rien )

Par contre, je ne sais pas si cette démonstration est valable. smile

 #8 - 25-05-2011 09:36:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c))(a+c-b)(b+c-a)

Gwen je pense (mais je peut-être pas compris) que dans ta première phrase les termes du produit considéré doivent être les mêmes que ceux de la somme mais pas simplifiée. Si je suis peu clair dis moi le...


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 #9 - 25-05-2011 10:28:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+-cb)(b+c-a)

Oublions la situation particulière de ton énoncé

abc est un triplet quelconque de nombres.

pour la même somme tu prends un triplet def tel que d<=a et f>=c

4 cas :

1) d=a et f=c donc e=b abc = def
2) d<a et f=c def =(a-n)(b+n)c or (a-n)(b+n)<ab donc def<abc
3) d=a et f>c def = a(b-m)(c+m) or (b-m)(c+m)<bc donc def<abc
4) d<a et f>c def = (a-n)(b+n-m)(c+m) avec a-n=d et c+m=f

(a-n)(b-m+n) <(a(b-m) donc (a-n)(b+n-m)(c+m)<a(b-m)(c+m)
(b-m)(c+m)<bc donc def<abc

Avec maintenant la situation particulière de l'énoncé, on pose :

si a=b=c  abc =(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a) c'est le cas n°1
si a=b<c (c+a-b) = c  (c+b-a)=c (a+b-c)< a C'est le cas n°2
si a<b=c (c+b-a) >c  (a-b+c) =a (a+b-c)=a c'est le cas n°3
si a<b<c (a+b-c)<a (c+b-a)>c C'est le cas n°4

 #10 - 25-05-2011 22:20:31

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(+bc-a)

Merci pour vos réponses.
Ma preuve est la suivante :
Les cas où il y des termes négatifs sont facilement traitable.

Ensuite si on pose [latex]A=a+b-c\geq 0 \ B=a+c-b\geq 0\ C=b+c-a\geq 0[/latex]

alors il faut montrer [latex](A+B)(B+C)(C+A)\geq 8ABC[/latex].

Or [latex]A+B\geq 2\sqrt{AB} \ B+C\geq 2\sqrt{BC} \ C+A\geq 2\sqrt{CA}[/latex]

car [latex](x-y)^2 \geq 0[/latex] d'où [latex]x^2+y^2\geq 2xy[/latex],

on a ce qu'on veut en posant [latex]x=\sqrt{A} \ y=\sqrt{B}[/latex]...


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 #11 - 25-05-2011 22:26:00

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 91

Démonstration de 'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Je ne trouve pas le résultat demandé mais je m'en approche.
Méthode à raffiner.

On va d'abord poser [latex]0<a<b<c[/latex] (qui ne change rien au raisonnement)

On voit que: [latex]a<b \Rightarrow a<b+c[/latex] et [latex]b<c \Rightarrow b<a+c[/latex]

D'où [latex]0<b+c-a[/latex] et [latex]0<a+c-b[/latex]

Se présente maintenant deux cas.

Premier cas : [latex]c\ge a+b[/latex]
Alors [latex]a+b-c\le 0[/latex] et donc [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\le 0[/latex]
Ainsi [latex]abc>0\ge (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex]

Second cas : [latex]c<a+b[/latex]
On aura donc un triplet [latex]{a,b,c}[/latex] qui respecte l'inégalité triangulaire.
Il existe donc un triangle dont les trois longueurs ont pour valeur les valeurs de ce triplet.

Nommons [latex]S[/latex] la surface dudit triangle et [latex]p[/latex] son périmètre.
D'après la formule de Héron: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4^2*S}{p}[/latex]

En prenant [latex]\gamma[/latex] l'angle opposé au côté [latex]c[/latex], on a: [latex]S=\dfrac{1}{2}a.b.\sin(\gamma)[/latex]

Ainsi: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4a^2b^2\sin^2(\gamma)}{a+b+c}<\dfrac{4a^2b^2}{3a}<\dfrac{4}{3}\times abc[/latex]

C'est le mieux que je puisse faire avec cette méthode...sad

EDIT: J'aurai répondu quelques minutes trop tard.hmm


There's no scientific consensus that life is important

 #12 - 25-05-2011 22:39:43

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

démonstration de l'inégalité abx >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Al Kashi donne [latex]c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)[/latex] d'où

[latex]sin^2(\gamma)=1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4(ab)^2}[/latex]...

Peut-être cela  marchera ainsi...
ou on tourne juste en rond...


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 #13 - 26-05-2011 12:56:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Démonstrattion de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

La preuve donnée par Yanyan est juste diaboliquement simple. J'adore ce genre de solutions, tellement frustrantes quand on ne les a pas trouvé soi-même lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 26-05-2011 14:19:09

rivas
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Lieu: Jacou

Démonstratin de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Très belle démo en effet. Belle démo pour moi étant synonyme de simple et efficace.

Je sais que j'ai déjà rencontré ça mais je ne me souviens pas où, sans doute en taupe smile Je me souviens en avoir croisé pas mal de ce genre et avoir été bluffé à chaque fois par la simplicité et mon manque de recul à l'époque smile pour pouvoir les trouver.

On touche vraiment du doigt l'effet AHAH.

 #15 - 31-03-2013 23:47:25

Cronos-T.B.M
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 4

démonstration de l'inégalité abv >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Si a = b = c = 1

abc = 1

et (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) = 2*2*2 = 8

 #16 - 01-04-2013 08:16:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
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démonstration dz l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Reste juste à démontrer que 1+1-1=2 smile

 #17 - 04-07-2016 20:04:10

Vincelot
Visiteur

démonstration de l'inégalité anc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Cet exercice est un classique des olympiades de mathématiques 😉
On effectue la transformation de Ravi en posant : [latex]a=x+y,b=y+z,c=z+x[/latex] L'inégalité se réécrit alors :
[TeX](x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz,[/TeX]
résultat évident puisque
[TeX]\prod_{cyc}(x+y)\ge\prod_{cyc}2\sqrt{xy}=8xyz[/TeX]

 #18 - 05-07-2016 18:28:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3333

Démonstration de l'innégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Confère post 10 smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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(b ? c) (a ? b) ? c = (a ? c) ? (b ? c) (2) — Axbxc=a+b+c (2) — A=-b-c (-b-c)-b+c=-4 (2) — Cb abc (2) — Montrer que a+b+c <2 (1+bc) (2) — (ab-1)(bc-1)(ca-1) alors a+b+c+1/abc (2) — (abc + b-c/a + c a/b ) . (c/a-b + ac/b-c + bc/c-a) ???? (2) — Abc+bc (2) — A/bc = a/b a/c (2) — A/(a-b)(a-c)+b/(b-c)(b-a)+ca)(c-b)=0 (2) — (a+b)^3 demonstration (2) — (a+b+c)(a+b-c) = a+b-c (2) — Montrer que ab+bc+cb =o (2) — A/c+b/b+c/a>=3 (2) — Montrons que a<b et c>0 alors ac<bc (2) — Abc=a+b+c (2) — A+b=c c-b=a (2) — Si a b alors 1/a 1/b (2) — Demontrer une inegalite (a+b)(b+c)(c+a)=8abc (2) — (a+b+c) (a-b-c) (2) — A-(b+c)=a-b-c (2) — Demontrer cette egalite a/b=a+c/b+d (2) — A+b+c=axbxc=17 (2) — X6+x5+x4+x3+x2+x+1 (2) — (2) — (a+b+c)(a-b-c) (2) — (a + b ? c) (b + c ? a) (c + a - b) ? abc (2) — Abc(a+b+c-3)>0 (2) — Reponce pour a+c=d a*b=c c-b=b a*4=d (2) — Montrer que (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9 (2) — Abc>(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) (2) — Abc > (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (2) — (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) abc (2) — X=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (2) — F(abc)=a.b.bc (2) — (a+b+c) (a-b+c) (2) — Bc b (2) — A+b<a.b demonstration (2) — A/bc+b/ac+c/ab =2/b + 2/a - 2/c (2) — 1/(a+b-c) +1/(a+c-b) +1/(b+c-a) ?3 (2) — (a+b+c)/(a+b-c) (2) — (2) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b) (1) — Montrer que (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc (1) — Montrer que 1 < a/a+b+c < 2 (1) — Ab+ac+bc=0 demontrer (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c)(a-b-c) (1) — Ab+bc+cb (1) — A/b+c b /a+c inegalite (1) — A/.b.c/+a.b.c/+b.c/.d (1) — Demontrer que c= 1-3 a/4 (1) — Demonstration a/b=c/d=e/f implique (1) — Inegalite a-b (1) — Demonstration a/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — F(abc)=a +bc demonstration (1) — Egualite a=bc .b= (1) — Demonstration f([a;b])c[a;b] (1) — Montrer que pour tout reels positifs a b c on a: (b+c)(c+a)(a+b)>8abc (1) — Inegalites 1+abc (1) — Simplifier ab+a bc+abc +a bc (1) — Nombres croises (1) — Enigme abc reponse (1) — Comment trouver que a sur ab + a+1 +b sur bc+b+1 + c sur ca +c+1=1 si abc= (1) — -(-a+b-c)+(-a-b-c) (1) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0 (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+ (1) — Demonstration d l enigalite (1) — Prouver que: (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<ou=abc (1) — Ab/c+bc/a= (1) — Montrer que a^3+b^3+c^3 (1) — Demontrer a+c < b+c (1) — Montrer l egalite suivante ab=bc (1) — Bc/a + ca/b + ab/c > a+b+c (1) — (1) — Montrer que a\(bc)=a\b a\c (1) — A*(b-c) (1) — Si a=bxc donc ab = dxe (1) — A/b+b/c+c/a=>3 (1) — Montrer que (ab<c ==>a+b<c) (1) — Ab+bc+ac 0 (1) — (a/b c) (b/a b) (c/c b) > 3/2 (1) — (a+b+c)(d+e+f) developper (1) — (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c) (1) — Montrer que a+b+c>1/2 (1) — Montrer l inegalite a+b+c<= (ab)/c(bc)/a(ac)/b (1) — A.b.c+a .b.c +a .b.c (1) — (a+b) (a-b) demonstration (1) — Developper (a-b).(c-b) (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c) (1) — On a a<b<c trouver abc (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c) (1) — Si abc>0 (1) — Demontrer que (a?b) ? c = (a ? c)?(b ? c) (1) — Ab/c+bc/a+ca/b (1) — Demontrer a/b=a+c/b+d (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) <= abc (1) — (1+a)(1+b)(1+c)-1 (1) — Abc = 1 montrer que a+b+c/3 (1) — Ab + ac + bc = abc (1) — Abc montrer que a+b<c (1) — A=b/c b=a/c (1) — Montrer que :(a?b)=(a?c)et(b\a)=(c\a)?b=c. (1) — Enigme la somme de a+b+c (1) — (a+b+c)(abc+abc+abc) (1) — Si a b c >0 et a<b+c on a (1) — Demonstration a<b = 1/a > 1/b (1) — Montrer que ab/c ac/b bc/a>=b (1) — Particularite du triangle isocele (1) — Montrer l?inegalite suivante (1) — (a+b-c)(b+a-c)(c+a-b)<abc (1) — Ab+bc+ca>0 et a+b+c>0 et a b c >0 (1) — Demonstration de l inegalite (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b (1) — Montrons que a/b+b/c+c/d+d/a >2 (1) — Inegalite mathematiques exrcice enigme a/b + b/c (1) — Inegalite mathematiques + preuve (1) — Abc+ac+cb (1) — ?a*a +?b*b + ?c*c =?(a+b+c)(a +b +c (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/abc (1) — Si a>b et que axc =bxc (1) — A-b/c+b-c/a+c-a/b)(c/a-b+a/b-c (1) — A/d + b/c + c/b + d/a >= 4 (1) — A b c=0 demostration (1) — X = (a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (1) — Ab+bc+ac =abc-1 (1) — Sachant que a+e = (a+b)+(d+e)-(b+d+c)+c il faut trouver que a+e = c (1) — A/b+b/c+c/a=3 montre que abc est (1) — Montrer l inegalite de produits (1) — Demonstration a+b+c=0 (1) — Demontrer que a/b=c/d=(a+c)/(b+d) (1) — (a+b+c)(a+b+c+)(a+b+c):(demonstration) (1) — Abc = a + b + c (1) — Aops a+b+c +abc =4 (1) — Montrer cette egalite: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — Inegalite de somme a*b (1) — Montrer que s= a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+c) (1) — Demontrer que max (a b c) >1 (1) — Abc(a+b+c)> (1) — Abc triangle a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)=>3(a+b+c)/a+b+c (1) — Ab+ac+bc-abc (1) — (a+b+c)(a+b-c)= (1) — Demontrer a+b = b+c (1) — Egnime a b c (1) — Demontrer que a/c+b/c=(a+b)/c (1) — (a+b-c) (a+c-b) (b+c-a) (1) — A/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1) =1 demonstration (1) — Egalite a+b-c=a-b+c (1) — Montrer que [abc]= [ab] c+ b [ac] (1) — Ed+ba+dc+ea-bc (1) — (1) — Demonstration 2=1 a+b =c (1) — Ab+bc+cb-abc (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)?abc (1) — (1) — +ca (1) — Verifier l egalite (a+b+c)(bc+ca+ab)=(b+c)(c+a)(a+b)+abc (1) — Montrer que a + b + c = 2 abc = 1 (1) — C b cb b bc bc (1) — Demontrer (a+b)(b+c)(a+c) (1) — (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) abc (1) — (a+b-c) (a+b+c) (1) — Enigme 10 triangle inegalite (1) — Montrer l inegalite x6+x5+x4+x3+x2+x+1>=1/2 (1) — Demontrer 3/2 < a/b+c +b/a+c +c/a+b triangle (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=abc (1) — Abc a bc abc (1) — (a-b)/a +(b-c/b)+(c-a/c) (1) — (1) — A/b+b/c+c/a>1/ab+1/bc+1/ca (1) — (a b c)(a b-c) (1) — Abc = ab + bc + ac si produit abc =1 (1) — Si a=bxc alors b=c/a (1) — Quelque soit a>3 b>3 c> 3. montre que. 3 (a+b+c) < ab+ac+bc (1) — A+b+c-abc (1) — A+b-c a+c-b b+c-a (1) — A+b+c=1 montrer que 1/a+1/b+1/c=1 (1) — A+b+c+d=1 (1) — (a+b+c)/3< (1) — Ab/c+bc/a+ca/b =a+b+c (1) — (a+b-c)(a-b-c) (1) — Ab+bc+ca+2abc=1 montrer que abc<1/8 (1) — On admet que : ( ab) // (a b ) (bc) ( b c) ( ac) // ( a c ) (1) — Montrer que: ab+ac+bc <abc (1) — Montrer sans developper que (a-b)(b-c)(c-a)+(c-b)(a-b)(a-c)=0 (1) — Abc< a^2+ b^2 inegalite (1) — A/b+b/c+c/a >3 (1) — Formule latex : (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc. (1) — B-c=a (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)<abc (1) — (a-b/c + b-c/a + c-a/c) ( c/a-b + a/b-c +b/c-a) (1) — A-b * c+d (1) — A<b<c a+b+c=6 a fois b fois c=6 abc=? (1) — A+b+c+ab+bc+ac+abc (1) — Abc=1 montrer que a/ab+a+1 +b/bc+b+1 + c/ac+c+1 (1) — Ab + bc + ca (1) — Demontrer que a+b<b+d (1) — A>b>c>0 trouver abc (1) — (a+b)(b+c)(c+a)>=8(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — (1+1/abc).(a+b+c) > 3+1/a +1/b+1/c (1) — A b c enigme (1) — Demontrer a b c (1) — (a+b+c)(a+b-c) = (1) — Montrer que si abcd sont des entier positifs alors l inegalite 1 <= a/(a+b+c) + b/(b+a+d) + c/(c+d+a) + d/(d+c+b) (1) — Demontre a=b b-a est positif (1) — Demonstration 1/a+b<1/a + 1/b (1) — A+b=c a=c-b b=c-a (1) — Montrer que (a+b+c)3 abc (1) — Montrer que (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (1) — Demonstration de l egalite a/b=(a+c)/(d+b) (1) — (a+b+c)(ab+ac+bc) -9abc>=0 (1) — Montrer que (a+b+c) ( (1) — A+b b+c c+a 8 abc (1) — A+b=c alors a=c-b (1) — 0<a<b<c<1 montrer que a/bc+1 +b/ac+1 +c/ab+1 (1) — A+b+c=1 abc=1 1\ab+1\bc+1\ca=1 (1) — Demontrer que (a/b=c/d) <=>(a/b+a=c/d+c) (1) — Montre que abc(a+b+c)<=ab+ac+bc (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (1) — Ab+bc+ac<abc (1) — (a+b+c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c) (1) — A-(b+c) = a-b-c (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) =abc (1) — Montrer que :a=b=c=d (1) — A - (b + c) = a - b - c (1) — A_(b+c)=a-b-c (1) — (1) — 8abc =(a+b)(a+c)b+c (1) — Ab+bc+ac=0 x= a+b/a + b+c/b + a+c/c (1) — (cd;ba) = (cd;cb) + (bc;ba) + (1) — Bc cb b ca abc (1) — (a-b)(b-c)(c-a)-(b-a)(c-b)(a-c) (1) — Montrer que a^2+b^2=c^2=ab+bc+ac implique b-a=c-a=b-c (1) — (a+c-b)(a+b-c) (1) — F(abc)=ab?abc?ac?abc (1) — (a*b)+-+(c*d)+-+(e*f)+++++++-5096 (1) — A*b+c*b+abc (1) — (a+b)((1/a)+(a/b)) (1) — Ab+ac=be de maths de le lieu a+b=c (1) — Enigmes pour demontrer des inegalites (1) — 1/a+1/b+1/c<a+b+c+1/abc demontrer (1) — Montrer que a^3+b^3+c^3?a^2b+b^2c+c^2a (1) — Demontrer que si a/b=c/d alors a+c/b+d (1) — A/b+b/c+c/a>3 (1) — Ab + ac = abc (1) — Egnime avec abc (1) — Inegalites ab/c+1 +bc/a+1 +ca/b+1 (1) — S -> aa a->aa|ab b->bc c->cb (1) — Solution ab(a+cb)+a(b+1) (1) — Montrer que (ab c)(a+c-b)(b+c-a)<abc (1) — (a+b-c)(a+c-b)( (1) — E= a+b/c +b+c/a +c+a/b sachant que ab+bc+ca=0 (1) — Developper (a+b+c)(ab+bc+ca) (1) — A et b et c reels positifs montrer que ab/c+1 +ac/b+1 +bc/a+1 <1/4 (1) — Demo e-carte bleue (1) — A+b/ab +b+c/bc +c+a/ac 2 (1) — A.b.c=1 montrer que (1) — (a+b)(a+c)(b+c) 8(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Monter que a+b+c=1 implique (1) — Montrer que ab<c alors a+b<c (1) — E= a+b/c +b+c/a +c+a/b sachant que ab+bc+ca=0 demontrer que e= (1) — A.bc - a.cb (1) — Enigme de a.b.c (1) — Abc un triangle montrer que (ab c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Demonstrations 2=1 (1) — A.b.a.b.b. (1) — Mathematique a+b+c=14 axbxc=36 (1) — Comment demontrer a^3+b^3+c^3=3abc (1) — (a+b)^4 demo (1) — Demonstration e=a+b/3 (1) — Montrer que si |a|<1|b|<1|c|<1 alors ab+ac+bc+1>0 (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=<abc (1) — A+b+c et abc (1) — Abc=1 montrer que a+b+c>3 (1) — Http://www.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt{ab}\leq%20\frac{a+b}{2} (1) — Demontrer (b+d)a=(a+c)b (1) — (ab sur a+b)+(bc sur b+c)+(ca sur a+c) (a+b+c sur 2 (1) — Abc (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — A+b+c et abc =1 (1) — Inegalite (a+b+b)/(1+abc)<2 (1) — A/b+b /a>2 demontre (1) — Dans le triangle abc on appelle a=bc b=ca et c=ab (1) — Montrer que s=1/2r(ab+ac+bc) (1) — A+b+c=0 et ab+ac+bc=11 et abc=-13 (1) — Bc/a+ac/b+ab/c (1) — (a-b-c)(a-b+c) (1) — (a+b+c)(bc+ca+ab)=(b+c)(c+a)(a+b)+abc prouver l egalite (1) — Abc?(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — Demontrer que a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) (1) — Montrer l inegalite (1) — Abc <= a^3+b^3+c^3 (1) — (b+c)(c+a)(a+b) = 8 abc (1) — A+bc +ca =0 (1) — Demontrer (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) =9 (1) — A>b alors a+c ..... b+c (1) — A/d+b/c+c/b+d/a (1) — Maths a=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — A+b<ab et b+c<bc monter a+c<ac (1) — A-(b+c)= a-(b-c) (1) — (ab sur a+b)+(bc sur b+c)+(ca sur a+c)<(a+b+c sur 2) (1) — (a+b+c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — Prouver inegalite a b c d (1) — (1) — Abc(a+b+c) (1) — Demonstration a/c+b/c = a+b/c (1) — Abc>a+b+c (1) — A+b<c+d demonstration (1) — On dit que a=bc que c=a/b (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=a*b*c (1) — Si (a+b+c)=1 alors abc< (1) — Inegalite a b c cubes (1) — Abc>(a+b-c) (1) — Montrer que b+c et b-c (1) — (a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a) (1) — (1) — 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c (1) — A=bc b=ca et c=ab sont les trois (1) — A/b+b/c+c/a>=3 inegalite (1) — (a-b) (c-b) (1) — Inegalite a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) (1) — ? = 1/2(ab^2+ac^2-cb^2)=0 (1) — A/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — A>3 b>3 c>3 montrer que ab+bc+ac<abc (1) — Monter sans developper que (a-b)(b-c)(c-a)+(c-b)(b-a)(a-c)=0 (1) — Demontrer ab<((a+b)/2)^2 (1) — Abc/(ab+ac+bc) (1) — Si a+b=1 montrer que (1+1/a)(1+1/b) (1) — Montrer que a<b<c (1) — Comment demontrer que ( a? c )?(b?c)?((a?b)?c) (1) — A b c triangle (a/b+c) + (b/a+c) + (c/b+a) <2 (1) — Demonstration moteur abc (1) — Reponse pour a+c=a*b=c c-b=b*4=d (1) — A/(1+bc)+ b/(1+ac) + c/(1+bc) <=2 (1) — S a c +b et a+c +b. (1) — Simplifier /c/b d+b/c ab+c/d/a b+ca/b (1) — Montrer l inegalite : (a/b) +(b/c)+(c/d)+(d/a) >4 (1) — Ac=bc donc c=bc/a (1) — A b c positifs exitent cotes ont pour longueur a b c (1) — Math x6+x5+x4+x3+x2+x+1 (1) — Abc = a! + b! + c! (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b-c) (1) — Les inegalites mathematiques a b c=1 (1) — Ab ac bc abc (1) — A+c=d;a*b=c;c-b=b;a*4 (1) — Si a>3 b>3 c>3 montrer que ab+ac+bc<= abc (1) — Demontrer que a/b + c/b = a+b-c (1) — Cela abc et a b c (1) — (a+b+c)(bc+ca+ab)-(b+c)(c+a)(a+b) (1) — In%c3%a9galit%c3%a9+a/(b%2bc) (1) — A+b+c+ab+bc+ca+abc=x (1) — Ab/c+bc/a (1) — <3 a.b <3 c.b <3 (1) — Demontrer que a/(a-b)(a-c)+b/(b-a)(b-c)+c/(c-a)(c-b)=a+b+c (1) — Inegalite en a b c (1) — Demonstration de inegalite a+c b+c (1) — Demontrer que (a+b)^3<=(a^3+b^3)/2 (1) — A +b (1) — Si a=bxc et ab = dxe (1) — Demontrer que (a+b)(c+d) < a^2 + (1) — Abc>(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c (1) — (a-b+c)(a-b-c) (1) — Resultat de (a+b+c)2>3(ab+bc+ca) (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — Ab<c implique a+b<c demonstration (1) — (1) — Comment demontrer une inegalite (1) — A(b-1)+c(a-1)+b(c-1) (1) — Demontrer l inegalite de (1) — Enigmes page 1 a b c (1) — A/b+b/c+c/a>=3 (1) — Bc+ab+ac=(cb+a)..2 (1) — 8(a%2bb-c)(a-b%2bc)(-a%2bb%2bc) (1) — Demontrer que ab + bc + ca = 0 (1) — Montrer que a b c sont positifs (1) — Demontrer que 1=2 (1) — Montrer que abc(a+b+c)> (1) — Demostration de 2=1 (1) — Demonstration de ac/bc=a/b (1) — Montrer le maximum et le minimum par a*c-b*b (1) — A/b=c/d=a+c/b+d (1) — Ba/a/b ab/c > a b c montrer l inegalite (1) — Ab+bc+ac+a/b/c+/ab/c+/a/bc (1) — Montrer que (a+b)(a+c)=a+bc (1) — (1) — A.b <3 c.b (1) — Prouver que a+b/c+b+c/a+c+a/b=-3 (1) — (a+b+c) ( a+b-c) (1) — 2?????????????0;1? ?????????????????c ??b ?? a???? ? 1 1 1 a b c bc ac ab ? ? ? (1) — Demontrer l egalite a bc+ab c+abc +abc=bc+ac+ab (1) — Demontrer que l on a : ab/c + ca/b + bc/a >= a + b + c (1) — A b c d de l egalite (1) — (1) — Montrer que si a/b = c/d alors a+c/b+d = a/b (1) — 1/a+1/b+1/c+1/d=1/abc (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-d)<abc (1) — A=(a+b+c)(a-b+c)((a+b-c)(-a+b+c (1) — Si a+c=d a*b=c c-b=b et a*4=d (1) — (ab^ac).bc (1) — (b-a)(a-b+c)(a-b-c) (1) — A+b+c=1 et abc=1 (1) — Demontrer que (a+b+c+d)/4 (1) — Demonstration -(a+b) (1) — (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) solution (1) — Demontrer que si a< b et c < d alors a+c< b+d (1) — A*b<c alors a+b<c demonstration (1) — Demonstration abc`\2 (1) — ???? (a+b-c)(a+c-b) (1) — A/b+b/c+c/a>=3 demonstration (1) — Si a/b=3 et b/c=4 alors a+c/b+c=? (1) — Inegalite demonstration maths (1) — Montrer l egalite suivante: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — A =(a=b=c)(a=b-c) (1) — A/b/c = a/bc (1) — 1/a+b+1/b+c+1/c+a-(ab/a+b+bc/b+c+ca/c+a) (1) — Max a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab) (1) — A<3 b<3 et c<3 montrer que ac+ab+bc<abc (1) — Montrer que a+bc=(a+b)(a+c) (1) — Abc en a c? i(b-a) + a (1) — Montrer que si a/b<1 alors a+c/b+c>a/b (1) — 1. f(a bc) = a b c + a bc + abc (1) — S (abc) = 1/2 |det( abac)| (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=<abc (1) — (a%2bb-c)(a%2bb-c)(a%2bb-c) (1) — (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc (1) — Comment prouver que 1= a 1/a+1/b+1/c+1/d (1) —

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