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 #1 - 22-05-2011 22:07:44

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démostration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Montrer que pour tous réels [latex]a,b,c>0[/latex] on a :

[latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Bon courage.



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 #2 - 23-05-2011 12:40:21

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-)

C'est vrai si les longueurs a,b et c ne permettent pas de former un triangle, l'un des trois termes étant négatif.

 #3 - 24-05-2011 09:03:54

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
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démonstration de l'inégalité zbc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

la somme des facteurs  des produits est a+b+c.
prenons a>=b>=c
a+b-c >= a
c>=b+c-a

pour une même somme, le produit est maximum pour des facteurs s'approchant de la moyenne arithmétique.

 #4 - 24-05-2011 17:44:37

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+ca)

Est-il besoin de démontrer que l'égalité est vraie pour a = b = c ?

Posons [latex]b' = b/a[/latex] et [latex]c' = c/a[/latex]. Il ne reste plus qu'à démontrer que la fonction :
[TeX]f(b', c') = (1+b'-c')*(1+c'-b')*(b'+c'-1)-(b'*c')[/TeX]
admet un maximum de pour b' = c' = 1.

Soient  [latex]b' = 1-e[/latex]  et  [latex]c' = 1+e[/latex].

En développant il vient :
[TeX]f(b', c') = (1-4*e^2) - (1-e^2) = -3*e^2 \leq 0[/TeX]
Avec b' =  c' = 1+e ou 1-e , on obtient   [latex]f(b', c') = -e^2 \leq 0[/latex]

Bref, que b ou/et c s'éloignent en positif ou en négatif de la valeur a, on obtient toujours :

     [latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Oui, je sais que la démonstration n'est pas très rigoureuse ... neutral
Il faudrait généraliser avec   [latex] b' = 1+e1[/latex] et [latex]c' = 1+e2[/latex] , e1 et e2 pouvant être positifs ou négatifs.
Mais je n'ai jamais été très doué pour les développement compliqués sad .

 #5 - 24-05-2011 18:29:42

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

démondtration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Bonjour,
Soit la fonction f(a,b,c) = abc + (a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
Mon intention est de déterminer le (ou les) minimum local de f(a,b,c) et de vérifier que f(a,b,c) est positif sur ces points, mais je ferai tout ça demain.
Bonne soirée.
Frank

Edit: Je suis de bonne volonté, mais je me perds dans les dérivées partielles; ma méthode n'est pas la bonne, mais je n'en ai pas d'autre sous la main.

 #6 - 25-05-2011 07:22:07

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-)

Jack je pense que tu as oublié que divisant par a abc on a bc ...


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 #7 - 25-05-2011 09:11:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
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démonsteation de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Je me dis que pour une somme donnée, a+b+c , le produit de trois nombres est maximum quand a=b=c. Plus l'intervalle entre les 3 nombres est petit, plus le produit est grand, le maximum étant atteint pour un cube.

De là, on voit que (a+b-c)+(a+c-b)+(c+b-a)=a+b+c

Cas 1 : a=b=c : on est dans le cas =abc
cas 2 : a<b < c

Alors (a+b-c) < a  et (b+c-a) >c
Les 3 nombres étant plus "dispersés" pour la même somme, le produit est moindre.
Le cas ou a+b-c<0 aurait pu fausser la donne si a,b et c n'étaient pas >0 mais ce n'est pas le cas.
( on peut mettre une égalité a=b<c ou a<b=c, ça ne change presque rien )

Par contre, je ne sais pas si cette démonstration est valable. smile

 #8 - 25-05-2011 09:36:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

Démnostration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Gwen je pense (mais je peut-être pas compris) que dans ta première phrase les termes du produit considéré doivent être les mêmes que ceux de la somme mais pas simplifiée. Si je suis peu clair dis moi le...


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 #9 - 25-05-2011 10:28:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Démonstratiion de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Oublions la situation particulière de ton énoncé

abc est un triplet quelconque de nombres.

pour la même somme tu prends un triplet def tel que d<=a et f>=c

4 cas :

1) d=a et f=c donc e=b abc = def
2) d<a et f=c def =(a-n)(b+n)c or (a-n)(b+n)<ab donc def<abc
3) d=a et f>c def = a(b-m)(c+m) or (b-m)(c+m)<bc donc def<abc
4) d<a et f>c def = (a-n)(b+n-m)(c+m) avec a-n=d et c+m=f

(a-n)(b-m+n) <(a(b-m) donc (a-n)(b+n-m)(c+m)<a(b-m)(c+m)
(b-m)(c+m)<bc donc def<abc

Avec maintenant la situation particulière de l'énoncé, on pose :

si a=b=c  abc =(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a) c'est le cas n°1
si a=b<c (c+a-b) = c  (c+b-a)=c (a+b-c)< a C'est le cas n°2
si a<b=c (c+b-a) >c  (a-b+c) =a (a+b-c)=a c'est le cas n°3
si a<b<c (a+b-c)<a (c+b-a)>c C'est le cas n°4

 #10 - 25-05-2011 22:20:31

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= a(+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Merci pour vos réponses.
Ma preuve est la suivante :
Les cas où il y des termes négatifs sont facilement traitable.

Ensuite si on pose [latex]A=a+b-c\geq 0 \ B=a+c-b\geq 0\ C=b+c-a\geq 0[/latex]

alors il faut montrer [latex](A+B)(B+C)(C+A)\geq 8ABC[/latex].

Or [latex]A+B\geq 2\sqrt{AB} \ B+C\geq 2\sqrt{BC} \ C+A\geq 2\sqrt{CA}[/latex]

car [latex](x-y)^2 \geq 0[/latex] d'où [latex]x^2+y^2\geq 2xy[/latex],

on a ce qu'on veut en posant [latex]x=\sqrt{A} \ y=\sqrt{B}[/latex]...


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 #11 - 25-05-2011 22:26:00

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

Démonstration de l'inégalité abc > =(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Je ne trouve pas le résultat demandé mais je m'en approche.
Méthode à raffiner.

On va d'abord poser [latex]0<a<b<c[/latex] (qui ne change rien au raisonnement)

On voit que: [latex]a<b \Rightarrow a<b+c[/latex] et [latex]b<c \Rightarrow b<a+c[/latex]

D'où [latex]0<b+c-a[/latex] et [latex]0<a+c-b[/latex]

Se présente maintenant deux cas.

Premier cas : [latex]c\ge a+b[/latex]
Alors [latex]a+b-c\le 0[/latex] et donc [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\le 0[/latex]
Ainsi [latex]abc>0\ge (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex]

Second cas : [latex]c<a+b[/latex]
On aura donc un triplet [latex]{a,b,c}[/latex] qui respecte l'inégalité triangulaire.
Il existe donc un triangle dont les trois longueurs ont pour valeur les valeurs de ce triplet.

Nommons [latex]S[/latex] la surface dudit triangle et [latex]p[/latex] son périmètre.
D'après la formule de Héron: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4^2*S}{p}[/latex]

En prenant [latex]\gamma[/latex] l'angle opposé au côté [latex]c[/latex], on a: [latex]S=\dfrac{1}{2}a.b.\sin(\gamma)[/latex]

Ainsi: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4a^2b^2\sin^2(\gamma)}{a+b+c}<\dfrac{4a^2b^2}{3a}<\dfrac{4}{3}\times abc[/latex]

C'est le mieux que je puisse faire avec cette méthode...sad

EDIT: J'aurai répondu quelques minutes trop tard.hmm


There's no scientific consensus that life is important

 #12 - 25-05-2011 22:39:43

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

démobstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Al Kashi donne [latex]c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)[/latex] d'où

[latex]sin^2(\gamma)=1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4(ab)^2}[/latex]...

Peut-être cela  marchera ainsi...
ou on tourne juste en rond...


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 #13 - 26-05-2011 12:56:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-v)(b+c-a)

La preuve donnée par Yanyan est juste diaboliquement simple. J'adore ce genre de solutions, tellement frustrantes quand on ne les a pas trouvé soi-même lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 26-05-2011 14:19:09

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

Démonstratio nde l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Très belle démo en effet. Belle démo pour moi étant synonyme de simple et efficace.

Je sais que j'ai déjà rencontré ça mais je ne me souviens pas où, sans doute en taupe smile Je me souviens en avoir croisé pas mal de ce genre et avoir été bluffé à chaque fois par la simplicité et mon manque de recul à l'époque smile pour pouvoir les trouver.

On touche vraiment du doigt l'effet AHAH.

 #15 - 31-03-2013 23:47:25

Cronos-T.B.M
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 4

Démonstrtaion de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Si a = b = c = 1

abc = 1

et (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) = 2*2*2 = 8

 #16 - 01-04-2013 08:16:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,780E+3

Démonstration de l'inégalité abc >=; (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Reste juste à démontrer que 1+1-1=2 smile

 #17 - 04-07-2016 20:04:10

Vincelot
Visiteur

Démonstration de l'inégalité abc >= a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Cet exercice est un classique des olympiades de mathématiques 😉
On effectue la transformation de Ravi en posant : [latex]a=x+y,b=y+z,c=z+x[/latex] L'inégalité se réécrit alors :
[TeX](x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz,[/TeX]
résultat évident puisque
[TeX]\prod_{cyc}(x+y)\ge\prod_{cyc}2\sqrt{xy}=8xyz[/TeX]

 #18 - 05-07-2016 18:28:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-x)(a+c-b)(b+c-a)

Confère post 10 smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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(2) — (ab-1)(bc-1)(ca-1) alors a+b+c+1/abc (2) — (a+b+c) (a-b+c) (2) — A/(a-b)(a-c)+b/(b-c)(b-a)+ca)(c-b)=0 (2) — A+b+c=axbxc=17 (2) — (a+b+c)(a+b-c) = a+b-c (2) — (a+b)^3 demonstration (2) — A-(b+c)=a-b-c (2) — Abc=a+b+c (2) — (a + b ? c) (b + c ? a) (c + a - b) ? abc (2) — (a+b+c)(a-b-c) (2) — X=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (2) — Montrer que (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>9 (2) — Bc b (2) — (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) abc (2) — A/bc+b/ac+c/ab =2/b + 2/a - 2/c (2) — (2) — Abc > (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (2) — Abc(a+b+c-3)>0 (2) — Demontrer cette egalite a/b=a+c/b+d (2) — Demontrer une inegalite (a+b)(b+c)(c+a)=8abc (2) — Si a b alors 1/a 1/b (2) — Reponce pour a+c=d a*b=c c-b=b a*4=d (2) — (2) — A+b=c c-b=a (2) — Abc>(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) (2) — Demontrer que a=b=c=d (2) — Montrer que a+b+c <2 (1+bc) (2) — Demonstration (a ? b) ? c = (a ? c) ? (b ? c) (a ? b) ? c = (a ? c) ? (b ? c) (2) — A> 3 b> 3 c> 3 montrer que ab+bc+ac<abc (2) — Montrer que (2a/(a+b))+ (2b/(b+c))+ (2 c/(c+a)) <=3 (2) — (a+b+c)(a+b-c)(c+b-a)(c-b+a) (2) — Abc%e2%89%a5(a%2bb-c)(a-b%2bc)(-a%2bb%2bc) (2) — Si a*b<c prouver que a+b<c (2) — Demontrer que (a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c)<abc (2) — Abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (2) — (a-b)(c-b)-a+b (2) — A-b/c + b-c/a + c-a/b = (2) — (a+b)(b+c)(a+c)/abc >=8 (2) — Abc>=(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (2) — E= a+b/c +b+c/a +c+a/b sachant que ab+bc+ca=0 demontrer que e=-3 (2) — (x-a)(c-b)+(y-1/a)(1/c-1/b) (2) — A+b+c=1 (2) — Prouver a/c + c/b+b/a >3 (2) — Abc >= (a + b - c ) (a + c - b) (b + c - a ) (2) — Demonstration (a+b)^3 (2) — 0<a<b<c ab+ac+bc=abc (2) — Montrer l inegalite avec abc=1 (2) — (a+b+c)/(a+b-c) (2) — Cb abc (2) — Abc> (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (2) — Montrer que (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) inferieur a abc (2) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c) (2) — (a+b-c)(a+c-b) (2) — A=-b-c (-b-c)-b+c=-4 (2) — Demontrer que a/b * c/d = a*c/b*d (2) — Demontrer (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>8(a+b)(b+c)(a+c) (2) — A^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<3abc solutions forum (2) — (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<ou=abc (2) — Axbxc=a+b+c (2) — Yoyotorpedo (2) — Ab+ac+bc=abc (2) — Sachant que a x b x c =1 (2) — Montrer que (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<abc (2) — Abc ac (2) — Abc+ab+ac (2) — (a+b+c) ( a+b-c) (1) — Ab+bc+ac+a/b/c+/ab/c+/a/bc (1) — Montrer que (a+b)(a+c)=a+bc (1) — 2?????????????0;1? ?????????????????c ??b ?? a???? ? 1 1 1 a b c bc ac ab ? ? ? (1) — Demontrer l egalite a bc+ab c+abc +abc=bc+ac+ab (1) — Ba/a/b ab/c > a b c montrer l inegalite (1) — Montrer que si a/b = c/d alors a+c/b+d = a/b (1) — 1/a+1/b+1/c+1/d=1/abc (1) — A b c d de l egalite (1) — A.b <3 c.b (1) — Prouver que a+b/c+b+c/a+c+a/b=-3 (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-d)<abc (1) — (1) — Demontrer l inegalite de (1) — Demontrer que l on a : ab/c + ca/b + bc/a >= a + b + c (1) — (1) — A/b=c/d=a+c/b+d (1) — A=(a+b+c)(a-b+c)((a+b-c)(-a+b+c (1) — 8(a%2bb-c)(a-b%2bc)(-a%2bb%2bc) (1) — Bc+ab+ac=(cb+a)..2 (1) — A =(a=b=c)(a=b-c) (1) — A/b+b/c+c/a>=3 (1) — Demonstration de ac/bc=a/b (1) — Montrer le maximum et le minimum par a*c-b*b (1) — Montrer que abc(a+b+c)> (1) — Demostration de 2=1 (1) — Demontrer que 1=2 (1) — Montrer que a b c sont positifs (1) — A(b-1)+c(a-1)+b(c-1) (1) — Demontrer que ab + bc + ca = 0 (1) — (a%2bb-c)(a%2bb-c)(a%2bb-c) (1) — S (abc) = 1/2 |det( abac)| (1) — 1. f(a bc) = a b c + a bc + abc (1) — Demontrer que ab+bc+ca<a*a+b*b+c*c (1) — Enigmes page 1 a b c (1) — Demonstration -(a+b) (1) — (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) solution (1) — Comment demontrer une inegalite (1) — Montrer que si a/b<1 alors a+c/b+c>a/b (1) — Ab<c implique a+b<c demonstration (1) — 1/a+b+1/b+c+1/c+a-(ab/a+b+bc/b+c+ca/c+a) (1) — Abc en a c? i(b-a) + a (1) — A<3 b<3 et c<3 montrer que ac+ab+bc<abc (1) — Max a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab) (1) — Si a+c=d a*b=c c-b=b et a*4=d (1) — A/b+b/c+c/a>=3 demonstration (1) — Si a/b=3 et b/c=4 alors a+c/b+c=? (1) — (b-a)(a-b+c)(a-b-c) (1) — (ab^ac).bc (1) — A*b<c alors a+b<c demonstration (1) — Demontrer que si a< b et c < d alors a+c< b+d (1) — A+c=d;a*b=c;c-b=b;a*4 (1) — A/b/c = a/bc (1) — Demontrer que (a+b+c+d)/4 (1) — A+b+c=1 et abc=1 (1) — ???? (a+b-c)(a+c-b) (1) — Demonstration abc`\2 (1) — Comment prouver que 1= a 1/a+1/b+1/c+1/d (1) — (1) — Inegalite demonstration maths (1) — Montrer l egalite suivante: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=<abc (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b-c) (1) — Abc/(ab+ac+bc) (1) — Inegalite a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) (1) — Demontrer ab<((a+b)/2)^2 (1) — A+b<c+d demonstration (1) — (1) — On dit que a=bc que c=a/b (1) — (a-b) (c-b) (1) — A/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — A=bc b=ca et c=ab sont les trois (1) — Montrer que a<b<c (1) — A/b+b/c+c/a>=3 inegalite (1) — Reponse pour a+c=a*b=c c-b=b*4=d (1) — ? = 1/2(ab^2+ac^2-cb^2)=0 (1) — Demonstration moteur abc (1) — Si (a+b+c)=1 alors abc< (1) — 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c (1) — (1) — Si a=bxc et ab = dxe (1) — I = (a+c)(abc+b)+a (1) — Comment demontrer que a/b =a/b c/d (1) — A*b-c*b (1) — (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc (1) — Prouver inegalite a b c d (1) — Resultat de (a+b+c)2>3(ab+bc+ca) (1) — Inegalite a b c cubes (1) — (a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a) (1) — Montrer que b+c et b-c (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=a*b*c (1) — F(c)=ab et f(b)=ac et f(a)=bc trouver f(a+b+c) (1) — Abc(a+b+c) (1) — Si a+b=1 montrer que (1+1/a)(1+1/b) (1) — A b c triangle (a/b+c) + (b/a+c) + (c/b+a) <2 (1) — Inegalite en a b c (1) — Demontrer que (a+b)^3<=(a^3+b^3)/2 (1) — Ab/c+bc/a (1) — Demontrer que a/(a-b)(a-c)+b/(b-a)(b-c)+c/(c-a)(c-b)=a+b+c (1) — A+b+c+ab+bc+ca+abc=x (1) — Abc>(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — S a c +b et a+c +b. (1) — Demonstration de inegalite a+c b+c (1) — (a-b+c)(a-b-c) (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — Demontrer que (a+b)(c+d) < a^2 + (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c (1) — <3 a.b <3 c.b <3 (1) — A +b (1) — Cela abc et a b c (1) — Les inegalites mathematiques a b c=1 (1) — Simplifier /c/b d+b/c ab+c/d/a b+ca/b (1) — A b c positifs exitent cotes ont pour longueur a b c (1) — Ac=bc donc c=bc/a (1) — A/(1+bc)+ b/(1+ac) + c/(1+bc) <=2 (1) — Comment demontrer que ( a? c )?(b?c)?((a?b)?c) (1) — Abc>(a+b-c) (1) — Abc = a! + b! + c! (1) — In%c3%a9galit%c3%a9+a/(b%2bc) (1) — Demontrer que a/b + c/b = a+b-c (1) — (a+b+c)(bc+ca+ab)-(b+c)(c+a)(a+b) (1) — Ab ac bc abc (1) — Si a>3 b>3 c>3 montrer que ab+ac+bc<= abc (1) — Math x6+x5+x4+x3+x2+x+1 (1) — Montrer l inegalite : (a/b) +(b/c)+(c/d)+(d/a) >4 (1) — Montrer que a+bc=(a+b)(a+c) (1) — C +ca (1) — (a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — A>3 b>3 c>3 montrer que ab+bc+ac<abc (1) — (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) (1) — Inegalite mathematique (1) — Abc (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) (1) — 2b=a+c montrer que (1) — Inegalite entre a b et c (1) — Inegalite( a ^2+1)(b^2+1)>a+b forum (1) — (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) =9 (1) — A/b=c/d montrer que (1) — Montrer que si a+b+c=0 alors a^2+b^2+c^2=- 2(ab+bc+ca) (1) — Forum (a+b)(b+c)(c+a) > 8 abc (1) — Demonstration a/c+b/c = a+b/c (1) — Math demontrer quelque soit a b a=b alors axc=bxc (1) — /a+b/<c et /a bc /ab/<c^2 (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+a-c) (1) — Abc enigme (1) — Max(a b c) en maths (1) — A+b<ab et b+c<bc alors a+c<ac (1) — A/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c) =3 (1) — Demontrer inegalite (1) — A^b =1 montrer que a^bc =a^c (1) — Montrer que |a|*|b|=a*b (1) — A+b+c=ab+bc+ac abc>=1 (1) — En+c+(a+b)?2:1 (1) — A>1 et b>1 montre que &#8730;a (1+1/b)+&#8730;b (1+1/a)&#8805;4 (1) — A+b+c=1 montrer que abc (1) — Demonstration 1/a +1/b =1/a+b (1) — A+b=c a=c-b (1) — A+b+c=9 ab+bc+ca=24 (1) — A+b+c=1 ab/(c+1) +bc(a+1) + ca/(b+1)<=1/4 (1) — Prouver que a/(b+c)+b/(c+a)+c(a+b)<2 (1) — (a+b) (a-b)=25 (1) — Prouver que a^2+b^2+c^2 plus grand que ab +bc +ca (1) — Demontrer l inegalite a^n/(b+c)+b^n/(c+a)+c^n/(a+b)>=1/2(a^(n-1)+b^(n-1)+c^(n-1)) (1) — L``enigalite (1) — Ab et c des nombres reels tel que: abc=1 demonstration de l inegalite:1/(1+a+ab)+1/(1+b+bc)+1/1+c+ac)<1 (1) — Inegalite a/(a+b)+b/b+c (1) — (a+b-c) - [(a-c)-(a+b (1) — Abc=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) (1) — A/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c) (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)< =abc (1) — Solution de a/b+c + b/a+c +c/a+b>3/2 (1) — A.b.c+b.c+c.a+b.a reponse (1) — Montrer que (a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4) pour tout a b c et d positifs (1) — A?b==>(a\c)cb\c (1) — Montrer que (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < abc (1) — Enigme sur l inegalite (1) — Ab/c + ac/b bc/a > a+b+c (1) — Montrer sans developper que (a-b)(b-c)+(b-c)(b-a)(a-c)=0 (1) — A+b<ab et b+c<bc montrer que a+c<ac (1) — Simplification a/(a-b)(a-c) b/(b-a)(b-c) c/(c-a)(c-b) (1) — (a-b)*(c+d) (1) — A b c + cb = ba (1) — (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc (1) — Sachant que a3xbxc montrer (1) — A-(b+c)-b (a+c)+c (a-b)= (1) — [(abc ? a et c ? b) ? c ? a ? b] (1) — A+c-b-[b-(a+c)-(c-(b-a)] (1) — A/c et b/c implique ab/c (1) — Demontre que a^2+b^2+c^2=ab +ac +bc (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c) (1) — (a+b)(b+c)(a+c)>8(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — A+b+c=1 abc=1 1\ab+1\bc+1\ca=1 (1) — Montrer que (a-1+1/b). (b-1+1/c). (c-1+1/a)?1 avec abc =1 (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (1) — A+b b+c c+a 8 abc (1) — Demonstration 0=1 (1) — (a+b+c)(ab+ac+bc) -9abc>=0 (1) — A+bc +ca =0 a+b/ab (1) — On pose (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c) (1) — Ab/c+bc/a+ac/b?1 (1) — A+b=c alors a=c-b (1) — Abc > (a + b - c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — Enigme abc solution (1) — Demonstration de ac/bc=a/b (1) — Enigmes egalite (1) — Montrer que abc>=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) (1) — Ab<c montrer que a+b<c (1) — A/b/c+abc+abc+abc (1) — (1) — Comment montrer que a=b=c=d (1) — Abc+abc/+a/bc/+a/ (1) — A/b+b/c+c/a-3 (1) — Ab/bc=a/c (1) — A.b.c=1 et a+b+c=1/a + 1/b + 1/c (1) — Prouve que a+b/c+b+c/a+c+a/b=-3 (1) — A b c inegalites (1) — Demontrer que pour tous reels a et b (1) — 1=axbxc (1) — Montrer que si |a-b|<c et |a+b|<c alors |ab|<c^2 /2 (1) — Demonter que si ab<c alors a+b<=c (1) — A^b*c^a= abc (1) — Ab/c+abc+abc+abc (1) — (a+b+c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — Enigme a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b) >= 2 (1) — *;cb/b (1) — Comment prouver montrer a ? b?a+c ? b+c (1) — 1=2 demonstration (1) — A-b/c b-c/a+c-a/b (1) — Monter sans developper que (a-b)(b-c)(c-a)+(c-b)(b-a)(a-c)=0 (1) — Abc>a+b+c (1) — (1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)>sqrt(3)+(a/a+b)+(b/b+c)+(c/c+a) (1) — Si a+b+c=1 1\a+1\b+1\c a quoi= (1) — Montrer que:(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc (1) — Ab<c a+b<c (1) — A/b+c + b/a+c +c/b+a < 2 (1) — Abc +a bc+ab c+a b c (1) — F(abc) = a.b.c + a.b.c (1) — Demonstration a+c>b+c (1) — Montre que si a+b(racine de 2)=c+d(racine de 2) alors a=c et b=d (1) — A+b/(b-c)(c-a)+b+c/(c-a)(a-b) (1) — A/b=c/d a+c/b+d (1) — Enigme a=b (1) — Demontrer l egalite (a+b-c)(a+b+c) = (a+b) - c (1) — (a+b)(c+b)(a+c)= (a+b)(c+b)(c+a) montrer (1) — F(a.b.c)=a.b+b.c (1) — Abc=a(1+b+c) b (1) — Prouve for abc=1 and abc>0 that (a+b+c)>=3 (1) — Si a+b+c=0 (1) — A/(b+c-a) +b/(a+c-b)+c/(b+a-c) >3abc (1) — Enigme abc abc abc=abc math (1) — A<b+c b<a+c c<a+b triangle abc (1) — Monter si a+b+c=1 alors a^2+b^2+c^2<1/2 (1) — abc+ac+a b c+ a b= (1) — Math inegalite triangulaire canada (1) — A*b*c = abc (1) — Abc=1 montrer que a+b+c>3 (1) — Montrer que ab/c ac/b bc/a>=b (1) — Sachant que a+e = (a+b)+(d+e)-(b+d+c)+c il faut trouver que a+e = c (1) — Comment demontrer a^3+b^3+c^3=3abc (1) — Montrer que a+b+c>1/2 (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b (1) — Abc = ab + bc + ac si produit abc =1 (1) — Egalite a+b-c=a-b+c (1) — Inegalite de somme a*b (1) — Montrer l inegalite de produits (1) — ?a*a +?b*b + ?c*c =?(a+b+c)(a +b +c (1) — A/b+b/c+c/a>1/ab+1/bc+1/ca (1) — Demonstration a+b+c=0 (1) — Aops a+b+c +abc =4 (1) — Montrer cette egalite: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — Montrer que s=1/2r(ab+ac+bc) (1) — Abc = a + b + c (1) — A b c=0 demostration (1) — (a+b-c)(b+a-c)(c+a-b)<abc (1) — (a+b+c)(a+b+c+)(a+b+c):(demonstration) (1) — A/d + b/c + c/b + d/a >= 4 (1) — Ab+bc+ca>0 et a+b+c>0 et a b c >0 (1) — Demonstration de l inegalite (1) — Particularite du triangle isocele (1) — A-b/c+b-c/a+c-a/b)(c/a-b+a/b-c (1) — Montrons que a/b+b/c+c/d+d/a >2 (1) — Demontrer que a/b=c/d=(a+c)/(b+d) (1) — Montrer l?inegalite suivante (1) — Inegalite mathematiques exrcice enigme a/b + b/c (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/abc (1) — Si a>b et que axc =bxc (1) — Inegalite mathematiques + preuve (1) — (a+b+c)(a+b-c)= (1) — Montrer que s= a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+c) (1) — Verifier l egalite (a+b+c)(bc+ca+ab)=(b+c)(c+a)(a+b)+abc (1) — Abc+ac+cb (1) — Demontrer que max (a b c) >1 (1) — Montrer que a + b + c = 2 abc = 1 (1) — C b cb b bc bc (1) — (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=abc (1) — (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) abc (1) — +ca (1) — Abc a bc abc (1) — Demontrer 3/2 < a/b+c +b/a+c +c/a+b triangle (1) — (a-b)/a +(b-c/b)+(c-a/c) (1) — Demontrer (a+b)(b+c)(a+c) (1) — Enigme 10 triangle inegalite (1) — Ab+bc+cb-abc (1) — Abc(a+b+c)> (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)?abc (1) — Demontrer a+b = b+c (1) — Ab+ac+bc-abc (1) — Egnime a b c (1) — Abc triangle a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)=>3(a+b+c)/a+b+c (1) — Ed+ba+dc+ea-bc (1) — (a+b-c) (a+c-b) (b+c-a) (1) — Montrer l inegalite x6+x5+x4+x3+x2+x+1>=1/2 (1) — Demontrer que a/c+b/c=(a+b)/c (1) — (1) — Montrer que [abc]= [ab] c+ b [ac] (1) — Demonstration 2=1 a+b =c (1) — Si a=bxc donc ab = dxe (1) — Montrer que a\(bc)=a\b a\c (1) — Developper (a-b).(c-b) (1) — Bc/a + ca/b + ab/c > a+b+c (1) — Simplifier ab+a bc+abc +a bc (1) — Enigme abc reponse (1) — Inegalite a-b (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+ (1) — Egualite a=bc .b= (1) — Demonstration d l enigalite (1) — Montrer l egalite suivante ab=bc (1) — Montrer que pour tout reels positifs a b c on a: (b+c)(c+a)(a+b)>8abc (1) — Montrer que a^3+b^3+c^3 (1) — Demontrer a+c < b+c (1) — Ab/c+bc/a= (1) — Prouver que: (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<ou=abc (1) — (a+b) (a-b) demonstration (1) — Demonstration f([a;b])c[a;b] (1) — Demontrer que c= 1-3 a/4 (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c)(a-b-c) (1) — Montrer que 1 < a/a+b+c < 2 (1) — Ab+bc+cb (1) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b) (1) — Montrer que (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc (1) — Demonstration a/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — Ab+ac+bc=0 demontrer (1) — Comment trouver que a sur ab + a+1 +b sur bc+b+1 + c sur ca +c+1=1 si abc= (1) — F(abc)=a +bc demonstration (1) — Montrer l inegalite a+b+c<= (ab)/c(bc)/a(ac)/b (1) — A/b+c b /a+c inegalite (1) — A/.b.c/+a.b.c/+b.c/.d (1) — Demonstration a/b=c/d=e/f implique (1) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0 (1) — (a+b-c) (a+b+c) (1) — A.b.c+a .b.c +a .b.c (1) — Demontrer que (a?b) ? c = (a ? c)?(b ? c) (1) — (1) — (1+a)(1+b)(1+c)-1 (1) — Si abc>0 (1) — Demontrer a/b=a+c/b+d (1) — Abc = 1 montrer que a+b+c/3 (1) — Montrer que :(a?b)=(a?c)et(b\a)=(c\a)?b=c. (1) — (a+b+c)(abc+abc+abc) (1) — (a+b+c)(d+e+f) developper (1) — Ab + ac + bc = abc (1) — Si a b c >0 et a<b+c on a (1) — Abc montrer que a+b<c (1) — Enigme la somme de a+b+c (1) — Ab/c+bc/a+ca/b (1) — A=b/c b=a/c (1) — On a a<b<c trouver abc (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c) (1) — Nombres croises (1) — Ab+bc+ac 0 (1) — Inegalites 1+abc (1) — -(-a+b-c)+(-a-b-c) (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) <= abc (1) — (a/b c) (b/a b) (c/c b) > 3/2 (1) — (1) — Demonstration a<b = 1/a > 1/b (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c) (1) — Montrer que (ab<c ==>a+b<c) (1) — A/b+b/c+c/a=>3 (1) — A*(b-c) (1) — A/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1) =1 demonstration (1) — Montrer l inegalite (1) — A-(b+c)= a-(b-c) (1) — A+bc +ca =0 (1) —

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