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 #1 - 22-05-2011 22:07:44

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-cc)(a+c-b)(b+c-a)

Montrer que pour tous réels [latex]a,b,c>0[/latex] on a :

[latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Bon courage.



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 #2 - 23-05-2011 12:40:21

racine
Elite de Prise2Tete
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Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-)

C'est vrai si les longueurs a,b et c ne permettent pas de former un triangle, l'un des trois termes étant négatif.

 #3 - 24-05-2011 09:03:54

debutant1
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Démonsstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

la somme des facteurs  des produits est a+b+c.
prenons a>=b>=c
a+b-c >= a
c>=b+c-a

pour une même somme, le produit est maximum pour des facteurs s'approchant de la moyenne arithmétique.

 #4 - 24-05-2011 17:44:37

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Démonstration ed l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Est-il besoin de démontrer que l'égalité est vraie pour a = b = c ?

Posons [latex]b' = b/a[/latex] et [latex]c' = c/a[/latex]. Il ne reste plus qu'à démontrer que la fonction :
[TeX]f(b', c') = (1+b'-c')*(1+c'-b')*(b'+c'-1)-(b'*c')[/TeX]
admet un maximum de pour b' = c' = 1.

Soient  [latex]b' = 1-e[/latex]  et  [latex]c' = 1+e[/latex].

En développant il vient :
[TeX]f(b', c') = (1-4*e^2) - (1-e^2) = -3*e^2 \leq 0[/TeX]
Avec b' =  c' = 1+e ou 1-e , on obtient   [latex]f(b', c') = -e^2 \leq 0[/latex]

Bref, que b ou/et c s'éloignent en positif ou en négatif de la valeur a, on obtient toujours :

     [latex]abc \geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex].

Oui, je sais que la démonstration n'est pas très rigoureuse ... neutral
Il faudrait généraliser avec   [latex] b' = 1+e1[/latex] et [latex]c' = 1+e2[/latex] , e1 et e2 pouvant être positifs ou négatifs.
Mais je n'ai jamais été très doué pour les développement compliqués sad .

 #5 - 24-05-2011 18:29:42

Franky1103
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Démonstration de l'inégalité abc >= (a+bc-)(a+c-b)(b+c-a)

Bonjour,
Soit la fonction f(a,b,c) = abc + (a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
Mon intention est de déterminer le (ou les) minimum local de f(a,b,c) et de vérifier que f(a,b,c) est positif sur ces points, mais je ferai tout ça demain.
Bonne soirée.
Frank

Edit: Je suis de bonne volonté, mais je me perds dans les dérivées partielles; ma méthode n'est pas la bonne, mais je n'en ai pas d'autre sous la main.

 #6 - 25-05-2011 07:22:07

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+-cb)(b+c-a)

Jack je pense que tu as oublié que divisant par a abc on a bc ...


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 #7 - 25-05-2011 09:11:55

gwen27
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Démonsttration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Je me dis que pour une somme donnée, a+b+c , le produit de trois nombres est maximum quand a=b=c. Plus l'intervalle entre les 3 nombres est petit, plus le produit est grand, le maximum étant atteint pour un cube.

De là, on voit que (a+b-c)+(a+c-b)+(c+b-a)=a+b+c

Cas 1 : a=b=c : on est dans le cas =abc
cas 2 : a<b < c

Alors (a+b-c) < a  et (b+c-a) >c
Les 3 nombres étant plus "dispersés" pour la même somme, le produit est moindre.
Le cas ou a+b-c<0 aurait pu fausser la donne si a,b et c n'étaient pas >0 mais ce n'est pas le cas.
( on peut mettre une égalité a=b<c ou a<b=c, ça ne change presque rien )

Par contre, je ne sais pas si cette démonstration est valable. smile

 #8 - 25-05-2011 09:36:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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démonstratuon de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Gwen je pense (mais je peut-être pas compris) que dans ta première phrase les termes du produit considéré doivent être les mêmes que ceux de la somme mais pas simplifiée. Si je suis peu clair dis moi le...


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 #9 - 25-05-2011 10:28:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
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démonstratipn de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Oublions la situation particulière de ton énoncé

abc est un triplet quelconque de nombres.

pour la même somme tu prends un triplet def tel que d<=a et f>=c

4 cas :

1) d=a et f=c donc e=b abc = def
2) d<a et f=c def =(a-n)(b+n)c or (a-n)(b+n)<ab donc def<abc
3) d=a et f>c def = a(b-m)(c+m) or (b-m)(c+m)<bc donc def<abc
4) d<a et f>c def = (a-n)(b+n-m)(c+m) avec a-n=d et c+m=f

(a-n)(b-m+n) <(a(b-m) donc (a-n)(b+n-m)(c+m)<a(b-m)(c+m)
(b-m)(c+m)<bc donc def<abc

Avec maintenant la situation particulière de l'énoncé, on pose :

si a=b=c  abc =(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a) c'est le cas n°1
si a=b<c (c+a-b) = c  (c+b-a)=c (a+b-c)< a C'est le cas n°2
si a<b=c (c+b-a) >c  (a-b+c) =a (a+b-c)=a c'est le cas n°3
si a<b<c (a+b-c)<a (c+b-a)>c C'est le cas n°4

 #10 - 25-05-2011 22:20:31

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)a+c-b)(b+c-a)

Merci pour vos réponses.
Ma preuve est la suivante :
Les cas où il y des termes négatifs sont facilement traitable.

Ensuite si on pose [latex]A=a+b-c\geq 0 \ B=a+c-b\geq 0\ C=b+c-a\geq 0[/latex]

alors il faut montrer [latex](A+B)(B+C)(C+A)\geq 8ABC[/latex].

Or [latex]A+B\geq 2\sqrt{AB} \ B+C\geq 2\sqrt{BC} \ C+A\geq 2\sqrt{CA}[/latex]

car [latex](x-y)^2 \geq 0[/latex] d'où [latex]x^2+y^2\geq 2xy[/latex],

on a ce qu'on veut en posant [latex]x=\sqrt{A} \ y=\sqrt{B}[/latex]...


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 #11 - 25-05-2011 22:26:00

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 91

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+bb-c)(a+c-b)(b+c-a)

Je ne trouve pas le résultat demandé mais je m'en approche.
Méthode à raffiner.

On va d'abord poser [latex]0<a<b<c[/latex] (qui ne change rien au raisonnement)

On voit que: [latex]a<b \Rightarrow a<b+c[/latex] et [latex]b<c \Rightarrow b<a+c[/latex]

D'où [latex]0<b+c-a[/latex] et [latex]0<a+c-b[/latex]

Se présente maintenant deux cas.

Premier cas : [latex]c\ge a+b[/latex]
Alors [latex]a+b-c\le 0[/latex] et donc [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\le 0[/latex]
Ainsi [latex]abc>0\ge (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)[/latex]

Second cas : [latex]c<a+b[/latex]
On aura donc un triplet [latex]{a,b,c}[/latex] qui respecte l'inégalité triangulaire.
Il existe donc un triangle dont les trois longueurs ont pour valeur les valeurs de ce triplet.

Nommons [latex]S[/latex] la surface dudit triangle et [latex]p[/latex] son périmètre.
D'après la formule de Héron: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4^2*S}{p}[/latex]

En prenant [latex]\gamma[/latex] l'angle opposé au côté [latex]c[/latex], on a: [latex]S=\dfrac{1}{2}a.b.\sin(\gamma)[/latex]

Ainsi: [latex](a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=\dfrac{4a^2b^2\sin^2(\gamma)}{a+b+c}<\dfrac{4a^2b^2}{3a}<\dfrac{4}{3}\times abc[/latex]

C'est le mieux que je puisse faire avec cette méthode...sad

EDIT: J'aurai répondu quelques minutes trop tard.hmm


There's no scientific consensus that life is important

 #12 - 25-05-2011 22:39:43

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonnstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Al Kashi donne [latex]c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)[/latex] d'où

[latex]sin^2(\gamma)=1-\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{4(ab)^2}[/latex]...

Peut-être cela  marchera ainsi...
ou on tourne juste en rond...


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 #13 - 26-05-2011 12:56:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)a+c-b)(b+c-a)

La preuve donnée par Yanyan est juste diaboliquement simple. J'adore ce genre de solutions, tellement frustrantes quand on ne les a pas trouvé soi-même lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 26-05-2011 14:19:09

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Démonstration de l'inégalité abc >= (a+bc-)(a+c-b)(b+c-a)

Très belle démo en effet. Belle démo pour moi étant synonyme de simple et efficace.

Je sais que j'ai déjà rencontré ça mais je ne me souviens pas où, sans doute en taupe smile Je me souviens en avoir croisé pas mal de ce genre et avoir été bluffé à chaque fois par la simplicité et mon manque de recul à l'époque smile pour pouvoir les trouver.

On touche vraiment du doigt l'effet AHAH.

 #15 - 31-03-2013 23:47:25

Cronos-T.B.M
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 4

Démonstration de l'iéngalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Si a = b = c = 1

abc = 1

et (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) = 2*2*2 = 8

 #16 - 01-04-2013 08:16:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,549E+3

Démonstratio de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Reste juste à démontrer que 1+1-1=2 smile

 #17 - 04-07-2016 20:04:10

Vincelot
Visiteur

démonstration de l'inégalité abc >= (a+b-c)(a+v-b)(b+c-a)

Cet exercice est un classique des olympiades de mathématiques 😉
On effectue la transformation de Ravi en posant : [latex]a=x+y,b=y+z,c=z+x[/latex] L'inégalité se réécrit alors :
[TeX](x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz,[/TeX]
résultat évident puisque
[TeX]\prod_{cyc}(x+y)\ge\prod_{cyc}2\sqrt{xy}=8xyz[/TeX]

 #18 - 05-07-2016 18:28:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3325

Démonstration de l'inéglaité abc >= (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

Confère post 10 smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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(1) — A =(a=b=c)(a=b-c) (1) — Ab+bc+ac+a/b/c+/ab/c+/a/bc (1) — (1) — Montrer que (a+b)(a+c)=a+bc (1) — A.b <3 c.b (1) — Prouver que a+b/c+b+c/a+c+a/b=-3 (1) — A<3 b<3 et c<3 montrer que ac+ab+bc<abc (1) — (a+b+c) ( a+b-c) (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-d)<abc (1) — Si a+c=d a*b=c c-b=b et a*4=d (1) — Demontrer l inegalite de (1) — 1/a+1/b+1/c+1/d=1/abc (1) — Montrer que si a/b = c/d alors a+c/b+d = a/b (1) — Demontrer l egalite a bc+ab c+abc +abc=bc+ac+ab (1) — A(b-1)+c(a-1)+b(c-1) (1) — A/b=c/d=a+c/b+d (1) — 8(a%2bb-c)(a-b%2bc)(-a%2bb%2bc) (1) — (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) solution (1) — Demontrer que si a< b et c < d alors a+c< b+d (1) — A/b+b/c+c/a>=3 (1) — Demontrer que ab + bc + ca = 0 (1) — Demontrer que l on a : ab/c + ca/b + bc/a >= a + b + c (1) — Demontrer que 1=2 (1) — Demostration de 2=1 (1) — (1) — Demonstration de ac/bc=a/b (1) — Montrer que abc(a+b+c)> (1) — Montrer le maximum et le minimum par a*c-b*b (1) — Ba/a/b ab/c > a b c montrer l inegalite (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=<abc (1) — A/b/c = a/bc (1) — A=(a+b+c)(a-b+c)((a+b-c)(-a+b+c (1) — Bc+ab+ac=(cb+a)..2 (1) — Montrer que a b c sont positifs (1) — A b c d de l egalite (1) — Enigmes page 1 a b c (1) — S (abc) = 1/2 |det( abac)| (1) — Abc = a! + b! + c! (1) — A/b+b/c+c/a>=3 demonstration (1) — Max a/(1+bc)+b/(1+ac)+c/(1+ab) (1) — Demontrer que (a+b+c+d)/4 (1) — Montrer l inegalite : (a/b) +(b/c)+(c/d)+(d/a) >4 (1) — 1. f(a bc) = a b c + a bc + abc (1) — A*b<c alors a+b<c demonstration (1) — ???? (a+b-c)(a+c-b) (1) — Inegalite demonstration maths (1) — (1) — Ab ac bc abc (1) — Demonstration abc`\2 (1) — Abc en a c? i(b-a) + a (1) — A+b+c=1 et abc=1 (1) — Montrer que si a/b<1 alors a+c/b+c>a/b (1) — Montrer l egalite suivante: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — Comment prouver que 1= a 1/a+1/b+1/c+1/d (1) — A+c=d;a*b=c;c-b=b;a*4 (1) — Si a/b=3 et b/c=4 alors a+c/b+c=? (1) — (b-a)(a-b+c)(a-b-c) (1) — (ab^ac).bc (1) — 1/a+b+1/b+c+1/c+a-(ab/a+b+bc/b+c+ca/c+a) (1) — (a%2bb-c)(a%2bb-c)(a%2bb-c) (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c (1) — On dit que a=bc que c=a/b (1) — Inegalite a/(b+c)+b/(c+d)+c/(d+a)+d/(a+b) (1) — (1) — I = (a+c)(abc+b)+a (1) — (a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a) (1) — Abc/(ab+ac+bc) (1) — A+b<c+d demonstration (1) — A/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — Demonstration moteur abc (1) — A/b+b/c+c/a>=3 inegalite (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=a*b*c (1) — Inegalite a b c cubes (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b-c) (1) — Si a=bxc et ab = dxe (1) — Ab<c a+b<c (1) — Demontrer que ab+bc+ca<a*a+b*b+c*c (1) — <3 a.b <3 c.b <3 (1) — Demontrer que (a+b)(c+d) < a^2 + (1) — Math inegalite triangulaire canada (1) — A/b+c + b/a+c +c/b+a < 2 (1) — Abc +a bc+ab c+a b c (1) — Abc>a+b+c (1) — Si (a+b+c)=1 alors abc< (1) — F(c)=ab et f(b)=ac et f(a)=bc trouver f(a+b+c) (1) — Demontrer ab<((a+b)/2)^2 (1) — A*b-c*b (1) — Abc(a+b+c) (1) — Montrer que a<b<c (1) — (1) — (a-b) (c-b) (1) — ? = 1/2(ab^2+ac^2-cb^2)=0 (1) — Montrer que b+c et b-c (1) — A+b+c+ab+bc+ca+abc=x (1) — Demonstration de inegalite a+c b+c (1) — A=bc b=ca et c=ab sont les trois (1) — (a-b+c)(a-b-c) (1) — Demontrer que (a+b)^3<=(a^3+b^3)/2 (1) — Ab/c+bc/a (1) — Les inegalites mathematiques a b c=1 (1) — Demontrer que a/(a-b)(a-c)+b/(b-a)(b-c)+c/(c-a)(c-b)=a+b+c (1) — A +b (1) — (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — Reponse pour a+c=a*b=c c-b=b*4=d (1) — S a c +b et a+c +b. (1) — Si a+b=1 montrer que (1+1/a)(1+1/b) (1) — A/(1+bc)+ b/(1+ac) + c/(1+bc) <=2 (1) — Comment demontrer que ( a? c )?(b?c)?((a?b)?c) (1) — A b c positifs exitent cotes ont pour longueur a b c (1) — Resultat de (a+b+c)2>3(ab+bc+ca) (1) — Inegalite en a b c (1) — 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c (1) — Simplifier /c/b d+b/c ab+c/d/a b+ca/b (1) — Prouver inegalite a b c d (1) — (a+b+c)(bc+ca+ab)-(b+c)(c+a)(a+b) (1) — Si a>3 b>3 c>3 montrer que ab+ac+bc<= abc (1) — Ac=bc donc c=bc/a (1) — A b c triangle (a/b+c) + (b/a+c) + (c/b+a) <2 (1) — Abc>(a+b-c) (1) — Abc>(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — In%c3%a9galit%c3%a9+a/(b%2bc) (1) — Math x6+x5+x4+x3+x2+x+1 (1) — Cela abc et a b c (1) — (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) (1) — A/b=c/d a+c/b+d (1) — Comment demontrer que a/b =a/b c/d (1) — Math demontrer quelque soit a b a=b alors axc=bxc (1) — A+b<ab et b+c<bc alors a+c<ac (1) — Forum (a+b)(b+c)(c+a) > 8 abc (1) — Comment demontrer une inegalite (1) — A^b =1 montrer que a^bc =a^c (1) — A>3 b>3 c>3 montrer que ab+bc+ac<abc (1) — /a+b/<c et /a bc /ab/<c^2 (1) — Abc (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) (1) — Montrer que |a|*|b|=a*b (1) — A+b+c=ab+bc+ac abc>=1 (1) — Montrer que:(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ac)(a+b+c)-abc (1) — A+b+c=1 abc=1 1\ab+1\bc+1\ca=1 (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+a-c) (1) — Demontrer inegalite (1) — Montrer que a+bc=(a+b)(a+c) (1) — En+c+(a+b)?2:1 (1) — Monter sans developper que (a-b)(b-c)(c-a)+(c-b)(b-a)(a-c)=0 (1) — (1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)>sqrt(3)+(a/a+b)+(b/b+c)+(c/c+a) (1) — (a+b+c)(ab+ac+bc) -9abc>=0 (1) — (a+b)(b+c)(a+c)>8(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — Inegalite mathematique (1) — Abc enigme (1) — Max(a b c) en maths (1) — A/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c) =3 (1) — A+b=c a=c-b (1) — A+b+c=1 montrer que abc (1) — (a+b-c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — A>1 et b>1 montre que &#8730;a (1+1/b)+&#8730;b (1+1/a)&#8805;4 (1) — Simplification a/(a-b)(a-c) b/(b-a)(b-c) c/(c-a)(c-b) (1) — Ab et c des nombres reels tel que: abc=1 demonstration de l inegalite:1/(1+a+ab)+1/(1+b+bc)+1/1+c+ac)<1 (1) — A+b+c=9 ab+bc+ca=24 (1) — Enigme sur l inegalite (1) — A/b=c/d montrer que (1) — Demonstration 1/a +1/b =1/a+b (1) — Prouver que a/(b+c)+b/(c+a)+c(a+b)<2 (1) — Montrer que (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < abc (1) — (a+b) (a-b)=25 (1) — Prouver que a^2+b^2+c^2 plus grand que ab +bc +ca (1) — Ab/c + ac/b bc/a > a+b+c (1) — A+b<ab et b+c<bc montrer que a+c<ac (1) — Si a+b+c=1 1\a+1\b+1\c a quoi= (1) — Inegalite entre a b et c (1) — Demontrer l inegalite a^n/(b+c)+b^n/(c+a)+c^n/(a+b)>=1/2(a^(n-1)+b^(n-1)+c^(n-1)) (1) — 2b=a+c montrer que (1) — A b c + cb = ba (1) — C +ca (1) — (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) =9 (1) — Prouve for abc=1 and abc>0 that (a+b+c)>=3 (1) — Montrer que si a+b+c=0 alors a^2+b^2+c^2=- 2(ab+bc+ca) (1) — Demonstration a/c+b/c = a+b/c (1) — Inegalite( a ^2+1)(b^2+1)>a+b forum (1) — Montrer sans developper que (a-b)(b-c)+(b-c)(b-a)(a-c)=0 (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c) (1) — A+b+c=1 ab/(c+1) +bc(a+1) + ca/(b+1)<=1/4 (1) — (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc (1) — A+c-b-[b-(a+c)-(c-(b-a)] (1) — A/c et b/c implique ab/c (1) — (a+b)(b+c)(c+a)>= 8abc (1) — 1=2 demonstration (1) — Montrer que abc>=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c) (1) — A/b+b/c+c/a >3 (1) — Demonstration 0=1 (1) — Ab<c implique a+b<c demonstration (1) — Montrer que a^2+b^2=c^2=ab+bc+ac implique b-a=c-a=b-c (1) — Inegalite (a+b+b)/(1+abc)<2 (1) — Demontre a=b b-a est positif (1) — (a-b)(b-c)(c-a)-(b-a)(c-b)(a-c) (1) — Ab+bc+ac<abc (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (1) — Demonstration de ac/bc=a/b (1) — A+bc +ca =0 a+b/ab (1) — Enigme abc solution (1) — On pose (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c) (1) — Ab+bc+ac=0 x= a+b/a + b+c/b + a+c/c (1) — Enigmes egalite (1) — A<b+c b<a+c c<a+b triangle abc (1) — Abc+abc/+a/bc/+a/ (1) — Abc=a(1+b+c) b (1) — Enigme abc abc abc=abc math (1) — Enigme a=b (1) — A+b/(b-c)(c-a)+b+c/(c-a)(a-b) (1) — abc+ac+a b c+ a b= (1) — Demontrer que pour tous reels a et b (1) — Comment montrer que a=b=c=d (1) — A/b+b/c+c/a-3 (1) — A b c inegalites (1) — A.b.c=1 et a+b+c=1/a + 1/b + 1/c (1) — A/b/c+abc+abc+abc (1) — Ab<c montrer que a+b<c (1) — A+b b+c c+a 8 abc (1) — 1=axbxc (1) — Monter si a+b+c=1 alors a^2+b^2+c^2<1/2 (1) — Prouve que a+b/c+b+c/a+c+a/b=-3 (1) — Montrer que (a-1+1/b). (b-1+1/c). (c-1+1/a)?1 avec abc =1 (1) — (1) — Enigme a/(b+c) + b/(c+d) + c/(d+a) + d/(a+b) >= 2 (1) — Montrer que si |a-b|<c et |a+b|<c alors |ab|<c^2 /2 (1) — Abc > (a + b - c)(b+c-a)(a+c-b) (1) — Demonter que si ab<c alors a+b<=c (1) — Ab/c+abc+abc+abc (1) — *;cb/b (1) — F(abc) = a.b.c + a.b.c (1) — Demonstration -(a+b) (1) — Demontrer que a/b + c/b = a+b-c (1) — A-b/c b-c/a+c-a/b (1) — Comment prouver montrer a ? b?a+c ? b+c (1) — A^b*c^a= abc (1) — A+b=c alors a=c-b (1) — A+b=c a=c-b b=c-a (1) — Ab/bc=a/c (1) — Montrer que (a+b+c)3 abc (1) — Ab/c+bc/a+ac/b?1 (1) — (a+b+c)-(a-b-c)+(a+b+c) (1) — (a+b)(c+b)(a+c)= (a+b)(c+b)(c+a) montrer (1) — Montre que si a+b(racine de 2)=c+d(racine de 2) alors a=c et b=d (1) — Demonstration a+c>b+c (1) — A/(b+c-a) +b/(a+c-b)+c/(b+a-c) >3abc (1) — Si a+b+c=0 (1) — F(a.b.c)=a.b+b.c (1) — Demontrer l egalite (a+b-c)(a+b+c) = (a+b) - c (1) — Sachant que a3xbxc montrer (1) — Demontrer que a/c+b/c=(a+b)/c (1) — Bc/a + ca/b + ab/c > a+b+c (1) — A/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1) =1 demonstration (1) — (a+b-c) (a+c-b) (b+c-a) (1) — Demonstration de l inegalite (1) — Montrer que [abc]= [ab] c+ b [ac] (1) — Montrer que ab/c ac/b bc/a>=b (1) — Abc=1 montrer que a+b+c>3 (1) — Egalite a+b-c=a-b+c (1) — Si a>b et que axc =bxc (1) — Demonstration a+b+c=0 (1) — (1) — A*(b-c) (1) — Montrer l inegalite de produits (1) — Dans le triangle abc on appelle a=bc b=ca et c=ab (1) — (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=<abc (1) — Abc = a + b + c (1) — (a+b-c)(b+a-c)(c+a-b)<abc (1) — A/b+b/c+c/a>1/ab+1/bc+1/ca (1) — Aops a+b+c +abc =4 (1) — Montrer cette egalite: 1/a + 1/b + 1/c = (bc+ac+ab) / abc (1) — Montrer que a+b+c>1/2 (1) — Montrons que a/b+b/c+c/d+d/a >2 (1) — Montrer que s=1/2r(ab+ac+bc) (1) — A/b+b/c+c/a=3 montre que abc est (1) — A/b+b/c+c/a=>3 (1) — Inegalite de somme a*b (1) — ?a*a +?b*b + ?c*c =?(a+b+c)(a +b +c (1) — Inegalite mathematiques exrcice enigme a/b + b/c (1) — (a+b+c)(a+b+c+)(a+b+c):(demonstration) (1) — Ab+bc+ca>0 et a+b+c>0 et a b c >0 (1) — Particularite du triangle isocele (1) — Inegalite mathematiques + preuve (1) — Ab+ac+bc-abc (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+(a+b (1) — C b cb b bc bc (1) — Montrer l?inegalite suivante (1) — A/d + b/c + c/b + d/a >= 4 (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=abc (1) — Verifier l egalite (a+b+c)(bc+ca+ab)=(b+c)(c+a)(a+b)+abc (1) — Abc a bc abc (1) — Montrer que s= a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+c) (1) — +ca (1) — Montrer que a + b + c = 2 abc = 1 (1) — (1) — Abc+ac+cb (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/abc (1) — Egnime a b c (1) — Demontrer a+b = b+c (1) — Abc triangle a/(b+c-a)+b/(c+a-b)+c/(a+b-c)=>3(a+b+c)/a+b+c (1) — Demontrer (a+b)(b+c)(a+c) (1) — A-b/c+b-c/a+c-a/b)(c/a-b+a/b-c (1) — Ed+ba+dc+ea-bc (1) — Demontrer que a/b=c/d=(a+c)/(b+d) (1) — Enigme 10 triangle inegalite (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)?abc (1) — (a+b+c)(a+b-c)= (1) — Ab+bc+cb-abc (1) — Abc(a+b+c)> (1) — Demontrer que max (a b c) >1 (1) — Montrer l inegalite x6+x5+x4+x3+x2+x+1>=1/2 (1) — Si abc>0 (1) — (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) <= abc (1) — Enigme abc reponse (1) — Montrer que (ab<c ==>a+b<c) (1) — Developper (a-b).(c-b) (1) — Inegalite a-b (1) — A=b/c b=a/c (1) — Prouver que: (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<ou=abc (1) — Montrer l egalite suivante ab=bc (1) — (1) — Montrer que a^3+b^3+c^3 (1) — Demonstration d l enigalite (1) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0 (1) — Demontrer a+c < b+c (1) — Montrer que pour tout reels positifs a b c on a: (b+c)(c+a)(a+b)>8abc (1) — Comment trouver que a sur ab + a+1 +b sur bc+b+1 + c sur ca +c+1=1 si abc= (1) — Demonstration a/b=c/d=e/f implique (1) — F(abc)=a +bc demonstration (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c)(a-b-c) (1) — Demonstration a/d + b/c + c/b + d/a 4 (1) — Demontrer que c= 1-3 a/4 (1) — A(b-c)+b(c-a)+c(a-b) (1) — Montrer que (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)<=abc (1) — A/b+c b /a+c inegalite (1) — Montrer l inegalite a+b+c<= (ab)/c(bc)/a(ac)/b (1) — Demonstration f([a;b])c[a;b] (1) — Ab+bc+cb (1) — Egualite a=bc .b= (1) — Montrer que 1 < a/a+b+c < 2 (1) — A/.b.c/+a.b.c/+b.c/.d (1) — Ab+ac+bc=0 demontrer (1) — (a+b) (a-b) demonstration (1) — Ab/c+bc/a+ca/b (1) — Abc montrer que a+b<c (1) — Montrer que :(a?b)=(a?c)et(b\a)=(c\a)?b=c. (1) — (a-b)/a +(b-c/b)+(c-a/c) (1) — Demontrer que (a?b) ? c = (a ? c)?(b ? c) (1) — A.b.c+a .b.c +a .b.c (1) — Si a=bxc donc ab = dxe (1) — Si a b c >0 et a<b+c on a (1) — (a+b+c)(d+e+f) developper (1) — -(-a+b-c)+(-a-b-c) (1) — (a+b+c)(abc+abc+abc) (1) — Ab + ac + bc = abc (1) — Montrer que a\(bc)=a\b a\c (1) — Demonstration a<b = 1/a > 1/b (1) — Enigme la somme de a+b+c (1) — Abc = 1 montrer que a+b+c/3 (1) — On a a<b<c trouver abc (1) — Demontrer 3/2 < a/b+c +b/a+c +c/a+b triangle (1) — Ab/c+bc/a= (1) — A=(a+b-c)-(a-b-c)+ (1) — Simplifier ab+a bc+abc +a bc (1) — (a+b-c) (a+b+c) (1) — (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c) (1) — Developper (a+b+c)(a+b-c) (1) — Nombres croises (1) — Inegalites 1+abc (1) — (1) — (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) abc (1) — (1+a)(1+b)(1+c)-1 (1) — Demontrer a/b=a+c/b+d (1) — Demonstration 2=1 a+b =c (1) — E= a+b/c +b+c/a +c+a/b sachant que ab+bc+ca=0 (1) — A.b.a.b.b. (1) — Mathematique a+b+c=14 axbxc=36 (1) — (a-b-c)(a-b+c) (1) — (a+b)^4 demo (1) — A/d+b/c+c/b+d/a (1) — Abc?(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) (1) — (a+c-b)(a+b-c) (1) — Abc <= a^3+b^3+c^3 (1) — A.bc - a.cb (1) — Montrer l inegalite (1) — A et b et c reels positifs montrer que ab/c+1 +ac/b+1 +bc/a+1 <1/4 (1) — A-(b+c)= a-(b-c) (1) — A.b.c=1 montrer que (1) —

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