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 #1 - 26-10-2014 18:35:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtezu 83

Bonjour à tous .

Vu le peu de succès du gâteau précédent (http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=12144 )

En voici un autre que j'espère plus attrayant et plus simple smile

Le pâtissier s'apprête à fermer boutique quand il voit arriver deux clients qui demandent à se partager les 9 gâteaux encore exposés .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-moitie.png

Le pâtissier prend alors un couteau , tranche l'un des gâteaux et chacun peut partir avec la même quantité de gâteaux répartie en 5 morceaux .

Est-ce vraiment toujours possible et comment fait-il ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 26-10-2014 18:48:37

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

gâteay 83

Je ne vois pas trop la difficulté... J'  "aligne" les gâteaux en fonction de leur quantité.

Il y a bien un milieu à cette ligne qui peut parfois coincider avec une séparation, mais il suffit d'échanger le plus petit d'un côté avec le plus grand de l'autre.

Et je coupe au milieu :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-10gateaux.PNG

PS ton gâteau précédent, je n'ai même pas compris le problème big_smile et je ne le trouve pas très ludique.

 #3 - 26-10-2014 18:51:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtzau 83

Le problème avec ta solution , Gwen , c'est qu'elle ne garantit pas que chacun ait le même nombre de parts .

Vasimolo

 #4 - 26-10-2014 18:57:03

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

gâyeau 83

Ah, oui... Faut lire l'énoncé ! big_smile

Va juste falloir que je les répartisse en cercle. Il y a bien une limite qui coupera le gateau d'en face. Je reviens plus tard.

 #5 - 26-10-2014 22:24:58

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Gteau 83

Oui c'est toujours possible :

On note p1, p2, ... , p9 les poids des différents gâteaux dans l'ordre décroissant et x=p2-p3+p4-p5+p6-p7+p8-p9=p2-(p3-p4)-(p5-p6)-(p7-p8)-p9

On montre que 0 <= x <= p2 - p9 < p1

Le premier client prend les gateaux 2, 4, 6 et 8, et une part du gâteau 1 de poids (p1-x)/2

Le deuxième client prend les gateaux 3, 5, 7 et 9 et ce qu'il reste du gâteau 1.

On verifie que les deux clients ont ainsi la même quantité de gâteau.

 #6 - 26-10-2014 23:29:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteai 83

Bravo Titoufred , j'avais eu la même approche smile

Vasimolo

 #7 - 27-10-2014 22:18:35

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Gâteau 8

Je vais numéroter mes 9 gâteaux G1 à G9, de taille croissante t1 à t9. La taille totale de mes 9 gâteaux est TT.

Je regroupe G1, G3, G6 et G8 dans un groupe A : la taille cumulée de ce groupe est TA = t1+t3+t6+t8.

t1<t2, t3<t4, t6<t7 et t8<t9, donc (t1+t3+t6+t8)/2 < (t2+t4+t7+t9)/2
donc TA = t1+t3+t6+t8 < (t2+t4+t7+t9)/2+(t1+t3+t6+t8)/2 < (t2+t4+t7+t9)/2+(t1+t3+t6+t8)/2 + t5/2 = TT/2
Soit TA < TT/2

De même TB (où B regroupe G2, G4, G5 et G7) vérifie TB < TT/2, or TA + TB + T9 = TT, donc TB = TT - TA - T9, soit  TT/2 <TA + T9

On a donc TA < TT/2 < TA + T9, on pourra ainsi toujours trouver un découpage de G9 en G9A et G9B pour que TA + T9A = TB + T9B = TT/2.

Ainsi le groupe A + G9A est formé de 4 gâteaux plus un bout de G9 (5 morceaux) et pèse la moitié du total des 9 gâteaux, tout comme le groupe B + G9B.

cqfd

nota : les inégalités sont larges, mais c'est déjà assez lourd écrit comme ça pour ne pas remplacer < par <=.

 #8 - 28-10-2014 11:30:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gââteau 83

Ca marche Dylasse . On peut faire un peu plus simple smile

Vasimolo

 #9 - 28-10-2014 21:07:33

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 144

Gâteauu 83

Le pâtissier choisit un des 9 gâteaux.

Puis il distribue les 8 gâteaux restants de la manière la plus équitable possible ; autrement dit il fait en sorte que la différence de quantité de gâteau entre les 2 clients soit la plus petite possible :

- Il distribue arbitrairement le plus gros gâteau et le second plus gros gâteau aux 2 clients.

- Il donne le plus gros gâteau suivant au client ayant le moins de quantité gâteau jusqu'à ce que tous les gâteaux aient étés distribués.

La différence de quantité de gâteau entre les 2 clients est alors comprise entre 0 (inclus) et le second plus petit des 8 gâteaux restants (exclus).

Chaque client possède alors 4 morceaux : le pâtissier n'a donc plus qu'à découper le gâteau choisi au départ en 2 morceaux.

Pour respecter l'équité il découpe une part équivalente à la différence de quantité de gâteau entre les 2 clients plus la moitié de ce qu'il reste du gâteau, qu'il donne au client ayant le moins de gâteau, et donne le reste au client ayant le plus de gâteau.

Cette découpe est toujours réalisable si le pâtissier ne choisit pas le plus petit ou le second plus petit des 9 gâteaux au départ.

smile

Edit : Cette méthode n'assure en fait pas les 5 morceaux chacun roll

 #10 - 29-10-2014 06:13:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâtau 83

Salut Vasimolo,
On pèse les 8 plus faibles parts, poids P. On en met 4 sur une balance poids P1. Si P1<P/2, alors on échange 1 par 1 les parts jusqu'à ce que P1>P/2. A ce moment, la différence de poids qui concerne une différence entre 2 parts peut être compensée par la part la plus grosse. Si équilibre à un moment donné, la part la plus grosse sera coupée en 2 parts égales.

Bonne journée.

 #11 - 29-10-2014 11:29:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 83

@Sydre : je ne suis vraiment convaincu par la méthode .
@Nodgim : ça marche mais il y a bien plus simple .

Je croyais le problème trop facile pour le site ( à vrai dire je l'ai proposé pour relancer la série "gâteaux" après l'échec cuisant du précédent sad )

L'astuce ne doit pas être si simple car à part Titoufred qui a vu le truc tout de suite les autres solutions proposées sont un peu lourdes à digérer .

Vasimolo

PS : j'ajoute un peu de temps .

 #12 - 29-10-2014 11:46:04

7nyguita7
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 155
Lieu: Lognes

gâteay 83

ILLUMINATION ! lol

On pose tout les gâteaux pour former une pièce montée et on le coupe en deux pour obtenir deux parts. Puis on sépare et les gâteaux et on les donnes aux deux derniers clients.

Pas mal comme technique si à la fin, la pièce montée ressemble à ça :
http://www.prise2tete.fr/upload/7nyguita7-Piece.jpg
Ca va être dur de le couper lol

"Enigmes Mathématiques" est une classe trompeuse.


Même une feuille de papier est plus légère à deux (Proverbe coréen)

 #13 - 29-10-2014 11:55:36

golgot59
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Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

GGâteau 83

Je cherche depuis le début, mais je ne trouve rien d'intéressant.

Alors je propose la réponse "évidente" : On classe les gâteaux par poids croissant :
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

On pèse le plus gros gâteau 9, puis on fait 2 paquets 1; 3; 5; 7 d'un côté et 2; 4; 6; 8 de l'autre, ensuite on coupe 9 suivant le secteur angulaire qui équilibre les 2 paquets... ce qui est toujours possible.

 #14 - 29-10-2014 12:22:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtaeu 83

Ben oui Golgot , reste à dire pourquoi ?

Vasimolo

 #15 - 29-10-2014 13:00:24

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

âteau 83

Ben on a forcément 2+4+6+8 =< 3+5+7+9

On enlève 1+3+5+7 à chaque membre :

(2+4+6+8)-(1+3+5+7) =< 9-1

Donc (2+4+6+8)-(1+3+5+7) < 9

Donc la différence entre les 2 côtés est toujours compensable par une partie du gâteau 9, le reste du gâteau 9 étant partagé également.

 #16 - 29-10-2014 15:39:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Gâteau 38

Par ordre de taille, si je les pose sur les 2 plateaux d'une balance par ordre croissant:

Le plus petit posé à gauche fera pencher à gauche.
Le second, mis à droite fera pencher à droite.
Le troisième, mis à gauche fera à nouveau pencher à gauche.
...
...

le dernier et plus gros fera pencher la balance une dernière fois, il suffit de le couper.

Seule exception : un cas d'équilibre sur les 2 premiers gâteaux, puis les deux suivants.. bah, on les oublie....

 #17 - 29-10-2014 19:01:27

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteai 83

N'est-il pas amusant et rassurant de voir que les solutions les plus bêtes sont parfois les plus performantes lollollol

Vasimolo

 #18 - 29-10-2014 19:17:52

Franky1103
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Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Gâeau 83

Je classe mes gâteaux par ordre décroissant de taille (ou de poids):
g1 >= g2 >= g3 >= g4 >= g5 >= g6 >= g7 >= g8 >= g9
Je laisse de côté le gâteau g1 (le plus grand) car c'est celui que je vais couper en deux à la fin. Puis je mets g2 dans une boîte A et g3 dans une autre boîte B. Comme pour l'instant A >= B, je vais mettre g4 dans B. Puis je mettrai g5 dans la boîte la plus légère du moment (entre A et B), et ainsi de suite jusqu'à g9. L'écart de poids entre les deux boîtes à la fin de ce processus sera forcément inférieur à g2, et comme g1 >= g2, je pourrai toujours couper g1 en deux pour équilibrer le poids des boîtes contenant alors chacune un morceau de g1. CQFD.

 #19 - 29-10-2014 21:30:59

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâtau 83

Seconde démo:
Les 9 parts sont 9 secteurs d'un disque. On fait tourner au centre un diamètre qu'on arrêtera à chaque fois qu'on franchira un secteur. Si au départ on a x parts entières d'un coté du diamètre, on aura 8-x parts entières de l'autre coté. Si x=4 c'est fini, sinon, en faisant tourner ce diamètre, on obtiendra nécessairement x=4 au cours de la rotation d'un demi tour.

 #20 - 30-10-2014 10:44:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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gâteai 83

@Franky : oui smile
@Nodgim : oui , mais il faut faire attention car un diamètre peut ne couper aucune part .

Vasimolo

 #21 - 30-10-2014 19:17:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

GGâteau 83

Non, relis bien ce que j'ai écrit. "Chaque fois que le diamètre franchira un secteur".

 #22 - 31-10-2014 00:08:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâteay 83

Bon il y beaucoup de bonnes réponses .

L'idée qui me semble la plus simple est de classer les parts en ordre croissant et de les distribuer alternativement aux deux protagonistes . Il reste juste à voir que l'on peut couper la dernière part en deux pour égaliser le partage .

Merci à tous les participants smile

PS : @ Nodgim , j'avais bien compris mais lorsque tu vas faire tourner ton diamètre autour d'une telle fracture , tu vas changer simultanément le nombre de parts à droite et à gauche ( mais ça ne change rien au résultat ).

 

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