Le problème avec ta solution , Gwen , c'est qu'elle ne garantit pas que chacun ait le même nombre de parts .

Vasimolo

Oui c'est toujours possible :

On note p1, p2, ... , p9 les poids des différents gâteaux dans l'ordre décroissant et x=p2-p3+p4-p5+p6-p7+p8-p9=p2-(p3-p4)-(p5-p6)-(p7-p8)-p9

On montre que 0 <= x <= p2 - p9 < p1

Le premier client prend les gateaux 2, 4, 6 et 8, et une part du gâteau 1 de poids (p1-x)/2

Le deuxième client prend les gateaux 3, 5, 7 et 9 et ce qu'il reste du gâteau 1.

On verifie que les deux clients ont ainsi la même quantité de gâteau.

Je vais numéroter mes 9 gâteaux G1 à G9, de taille croissante t1 à t9. La taille totale de mes 9 gâteaux est TT.

Je regroupe G1, G3, G6 et G8 dans un groupe A : la taille cumulée de ce groupe est TA = t1+t3+t6+t8.

t1<t2, t3<t4, t6<t7 et t8<t9, donc (t1+t3+t6+t8)/2 < (t2+t4+t7+t9)/2
donc TA = t1+t3+t6+t8 < (t2+t4+t7+t9)/2+(t1+t3+t6+t8)/2 < (t2+t4+t7+t9)/2+(t1+t3+t6+t8)/2 + t5/2 = TT/2
Soit TA < TT/2

De même TB (où B regroupe G2, G4, G5 et G7) vérifie TB < TT/2, or TA + TB + T9 = TT, donc TB = TT - TA - T9, soit  TT/2 <TA + T9

On a donc TA < TT/2 < TA + T9, on pourra ainsi toujours trouver un découpage de G9 en G9A et G9B pour que TA + T9A = TB + T9B = TT/2.

Ainsi le groupe A + G9A est formé de 4 gâteaux plus un bout de G9 (5 morceaux) et pèse la moitié du total des 9 gâteaux, tout comme le groupe B + G9B.

cqfd

nota : les inégalités sont larges, mais c'est déjà assez lourd écrit comme ça pour ne pas remplacer < par <=.

Le pâtissier choisit un des 9 gâteaux.

Puis il distribue les 8 gâteaux restants de la manière la plus équitable possible ; autrement dit il fait en sorte que la différence de quantité de gâteau entre les 2 clients soit la plus petite possible :

- Il distribue arbitrairement le plus gros gâteau et le second plus gros gâteau aux 2 clients.

- Il donne le plus gros gâteau suivant au client ayant le moins de quantité gâteau jusqu'à ce que tous les gâteaux aient étés distribués.

La différence de quantité de gâteau entre les 2 clients est alors comprise entre 0 (inclus) et le second plus petit des 8 gâteaux restants (exclus).

Chaque client possède alors 4 morceaux : le pâtissier n'a donc plus qu'à découper le gâteau choisi au départ en 2 morceaux.

Pour respecter l'équité il découpe une part équivalente à la différence de quantité de gâteau entre les 2 clients plus la moitié de ce qu'il reste du gâteau, qu'il donne au client ayant le moins de gâteau, et donne le reste au client ayant le plus de gâteau.

Cette découpe est toujours réalisable si le pâtissier ne choisit pas le plus petit ou le second plus petit des 9 gâteaux au départ.



Edit : Cette méthode n'assure en fait pas les 5 morceaux chacun

@Sydre : je ne suis vraiment convaincu par la méthode .
@Nodgim : ça marche mais il y a bien plus simple .

Je croyais le problème trop facile pour le site ( à vrai dire je l'ai proposé pour relancer la série "gâteaux" après l'échec cuisant du précédent )

L'astuce ne doit pas être si simple car à part Titoufred qui a vu le truc tout de suite les autres solutions proposées sont un peu lourdes à digérer .

Vasimolo

PS : j'ajoute un peu de temps .

Je cherche depuis le début, mais je ne trouve rien d'intéressant.

Alors je propose la réponse "évidente" : On classe les gâteaux par poids croissant :
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

On pèse le plus gros gâteau 9, puis on fait 2 paquets 1; 3; 5; 7 d'un côté et 2; 4; 6; 8 de l'autre, ensuite on coupe 9 suivant le secteur angulaire qui équilibre les 2 paquets... ce qui est toujours possible.

Ben on a forcément 2+4+6+8 =< 3+5+7+9

On enlève 1+3+5+7 à chaque membre :

(2+4+6+8)-(1+3+5+7) =< 9-1

Donc (2+4+6+8)-(1+3+5+7) < 9

Donc la différence entre les 2 côtés est toujours compensable par une partie du gâteau 9, le reste du gâteau 9 étant partagé également.

N'est-il pas amusant et rassurant de voir que les solutions les plus bêtes sont parfois les plus performantes

Vasimolo

Seconde démo:
Les 9 parts sont 9 secteurs d'un disque. On fait tourner au centre un diamètre qu'on arrêtera à chaque fois qu'on franchira un secteur. Si au départ on a x parts entières d'un coté du diamètre, on aura 8-x parts entières de l'autre coté. Si x=4 c'est fini, sinon, en faisant tourner ce diamètre, on obtiendra nécessairement x=4 au cours de la rotation d'un demi tour.

Non, relis bien ce que j'ai écrit. "Chaque fois que le diamètre franchira un secteur".