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 #1 - 06-08-2010 17:50:45

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Gateau 3

Pour feter la fin de mes vacances (et bien oui je rentre demain en france) mon patissier m'a fait un beau gateau. Comme je suis généreux j'ai donné trois partie de mon gateau aux amis qu'ils m'ont accueillis:
3 gateaux ronds de rayons 4 cm; [latex]5\over 3[/latex] cm et 1 cm qui sont tangents l'un a l'autre et au gateau initial
http://www.prise2tete.fr/upload/gabrielduflot-tarte.jpg

Quel est le rayon du gateau initial?



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 #2 - 06-08-2010 19:27:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gtaeau 23

Théorème de Descartes smile

Vasimolo

 #3 - 06-08-2010 19:59:09

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Gaateau 23

Il y a Descartes derrière ces gâteaux cool
[TeX]k_4=k_1+k_2+k_3-\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}=\frac14+\frac35+\frac11-2\sqrt{\frac3{20}+\frac35+\frac14}=-\frac3{20}[/TeX]
Le gâteau initial aurait un rayon de [latex]\frac{20}3[/latex] centimètres.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 08-08-2010 18:57:37

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Gatau 23

J'ai nommé les centres des gâteaux ainsi :
- I1 est le centre du gâteau de rayon 4
- I2 est le centre du gâteau de rayon 5/3
- I3 est le centre du gâteau de rayon 1

J'ai relié ensuite ces centres, pour obtenir un joli triangle de côtés 4+5/3 = 17/3 ; 4+1 = 5 ; 5/3+1 = 8/3 :

http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-gateau23-1.PNG

Et ooohhh, merveilleuse magie du hasard big_smile
Il se trouve que  5² + (8/3)²  =  (17/3)²  est que notre triangle est donc rectangle en I3 ! (merci Pythagore)


Soient J1, J2 et J3 les points d'intersection entre nos trois gâteaux et le gâteau principal.
Je trace les perpendiculaires des tangentes au gâteau en ces trois points. Elles se croisent en O, centre du gâteau.
Et comme notre triangle I1 I2 I3 est rectangle, on obtient un joli rectangle O I1 I3 I2 smile

http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-gateau23-2.PNG


Ainsi, le rayon O J3 de notre gâteau est égal à O I3 + I3 J3, soit 17/3 + 1  =  [latex]20/3[/latex] !


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #5 - 08-08-2010 21:08:44

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

ateau 23

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-GATO23.png

Je propose un rayon de 20/3, le centre se trouvant sur le  point manquant du rectangle formé à partir des trois centres.

La résolution a ete effectue sans trop de finesse par la methode algebrique avec les centres suivants: (0,0), (5,0), (5,8/3) ce qui pour centre (5,20/3)


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 09-08-2010 04:36:11

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Gateauu 23

Bonne réponses de toute le monde mais Vasimolo et scrablor ont trouvé celle qui se faisait en une ligne. bon pour les autres un indice

Spoiler : [Afficher le message] http://melusine.eu.org/syracuse/metapost/vrac/cartes/cartes-2.png ou http://www.tamriel.fr/images/oblivion/cartes/cartes_tamriel.jpg ou http://www.ucciani-dessins.com/docs/11-21-cartes.jpg ou http://www.rmc.fr/blogs/public/images/Blog_de_test/cartes-paiement-credit-revolving.jpg

 

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