Enigme Gateau 23 @ Prise2Tete

gabrielduflot · #1

Pour feter la fin de mes vacances (et bien oui je rentre demain en france) mon patissier m'a fait un beau gateau. Comme je suis généreux j'ai donné trois partie de mon gateau aux amis qu'ils m'ont accueillis:
3 gateaux ronds de rayons 4 cm; [latex]5\over 3[/latex] cm et 1 cm qui sont tangents l'un a l'autre et au gateau initial

Quel est le rayon du gateau initial?

Vasimolo · #2

Théorème de Descartes

Vasimolo

scrablor · #3

Il y a Descartes derrière ces gâteaux
[TeX]k_4=k_1+k_2+k_3-\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}=\frac14+\frac35+\frac11-2\sqrt{\frac3{20}+\frac35+\frac14}=-\frac3{20}[/TeX]
Le gâteau initial aurait un rayon de [latex]\frac{20}3[/latex] centimètres.

LeSingeMalicieux · #4

J'ai nommé les centres des gâteaux ainsi :
- I1 est le centre du gâteau de rayon 4
- I2 est le centre du gâteau de rayon 5/3
- I3 est le centre du gâteau de rayon 1

J'ai relié ensuite ces centres, pour obtenir un joli triangle de côtés 4+5/3 = 17/3 ; 4+1 = 5 ; 5/3+1 = 8/3 :

Et ooohhh, merveilleuse magie du hasard
Il se trouve que 5² + (8/3)² = (17/3)² est que notre triangle est donc rectangle en I3 ! (merci Pythagore)

Soient J1, J2 et J3 les points d'intersection entre nos trois gâteaux et le gâteau principal.
Je trace les perpendiculaires des tangentes au gâteau en ces trois points. Elles se croisent en O, centre du gâteau.
Et comme notre triangle I1 I2 I3 est rectangle, on obtient un joli rectangle O I1 I3 I2

Ainsi, le rayon O J3 de notre gâteau est égal à O I3 + I3 J3, soit 17/3 + 1 = [latex]20/3[/latex] !

franck9525 · #5

Je propose un rayon de 20/3, le centre se trouvant sur le point manquant du rectangle formé à partir des trois centres.

La résolution a ete effectue sans trop de finesse par la methode algebrique avec les centres suivants: (0,0), (5,0), (5,8/3) ce qui pour centre (5,20/3)

gabrielduflot · #6

Bonne réponses de toute le monde mais Vasimolo et scrablor ont trouvé celle qui se faisait en une ligne. bon pour les autres un indice

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#1 - 06-08-2010 17:50:45

GGateau 23

#0 Pub

#2 - 06-08-2010 19:27:08

hateau 23

#3 - 06-08-2010 19:59:09

gateai 23

#4 - 08-08-2010 18:57:37

Gateau 223

#5 - 08-08-2010 21:08:44

Gteau 23

#6 - 09-08-2010 04:36:11

gzteau 23

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