Enigme Périodicité entière @ Prise2Tete

Sydre · #1

Soit [latex](U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}[/latex] la suite [latex]6[/latex]-périodique de premiers termes [latex]1[/latex], [latex]2[/latex], [latex]3[/latex], [latex]4[/latex], [latex]3[/latex] et [latex]2[/latex]

Montrer que [latex]\forall k \in \mathbb{N}^*[/latex] il existe [latex](a, b, c) \in {\mathbb{N}^*}^3[/latex] tel que [latex]k = U_a + U_{a+1} + ... + U_{a+b}[/latex] et [latex]k+1 = U_{a+b+1} + U_{a+b+2} + ... + U_{a+b+c}[/latex]

Exemples :
[TeX]1 = U_1[/TeX]
[TeX]2 = U_2[/TeX]
[TeX]3 = U_3[/TeX]
[TeX]4 = U_4[/TeX]
[TeX]5 = U_5 + U_6[/TeX]
[TeX]6 = U_7 + U_8 + U_9[/TeX]
[TeX]...[/TeX]
PS : Je n'ai pas la réponse

golgot59 · #2

7=U10+U11
8=U12+U13+U14+U15
9=U16+U17+U18
10=U19+U20+U21+U22
11=U23+U24+U25+U26+U27
12=U28+U29+U30+U31+U32

C'est chaud ton truc ! Je ne vois pas de façon d'attaquer ça, car à priori, sans le terme précédent on ne peut pas trouver le suivant. Quant à trouver le terme général...

Bref, je vais voir mais je crois que ça me dépasse !

Edit : Après réflexion , on a :

1234321234321234321234321234321234321234321234321234321234321

Il s'agit de mettre les séparations au bon endroit :

1-2-3-4-32-123-43-2123-432-1234-32123-43212-34321-23432-123432-1234321-2343212

En fait, on remarque qu'arrivé à 16 (16=1+2+3+4+3+2+1), on repart pour un tour.

Par hasard (?), ça fonctionne jusque 15. Ensuite, à partir de 16, il s'agit de reprendre la suite précédente en ajoutant la série complète : 1+2+3+4+3+2=15
On obtient alors les 15 suivants. Puis arrivé à 30, on repart avec 2 séries complètes et ainsi de suite. On obtient une récurrence qui fonctionne...

Ce n'est pas une démo très rigoureuse mais voila l'idée de sa construction. J'espère que ça suffira.

Sydre · #3

Bien vu, ça m'appendra à regarder seulement les tout premiers termes

nodgim · #4

ça marche en effet, sauf les qq premières valeurs où (a,b,c) doivent parfois être nulles.
Comme tu l'as dit dans le titre, c'est bien périodique et c'est modulo 15 puisque la somme des 6 valeurs fait 15. Donc si on trouve une solution pour k=1 à 15, alors on a toutes les solutions.

Voici les 15 solutions:
Pour chaque k, je donne les rangs 1 à 6 des solutions, et non pas la valeur du rang.
k=1--->1;2 triplet (a,b,c)=(1,0,1)
k=2--->6;12 (6,0,2)
k=3--->3;4 (3,0,1)
k=4--->4;56 (4,0,2)
k=5--->56;123 (5,1,3)
k=6--->123;45 (1,2,2)
k=7--->34;5612 (1,1,4)
k=8--->6123;456 (6,3,3)
k=9--->456;1234 (4,2,4)
k=10-->1234;56123 (1,3,5)
k=11-->56123;45612 (5,4,5)
k=12-->3456;12345 (3,3,5)
k=13-->34561;23456 (3,4,5)
k=14-->23456;123456 (2,4,6)
k=15-->123456;1234561 (1,5,7)

Pour tout nombre k > 15, il suffit de trouver sa valeur modulo 15, et le triplet (a,b,c) devient (a, b+6*[k/15], c+6*[k/15])

PS: tu aurais pu prendre pour b le nombre de termes pour k, au lieu du nombre de termes - 1, ça aurait éviter les 0.

gwen27 · #5

Ca marche jusqu'à 15, donc ça marche modulo 15 puisqu'on peut faire précéder la première partie et faire succéder à la seconde autant de fois 15 que l'on veut.

1 1
2 2
3 3
4 4
3
2 5
1
2
3 6
4
3 7
2
1
2
3 8
4
3
2 9
1
2
3
4 10
3
2
1
2
3 11
4
3
2
1
2 12
3
4
3
2
1 13
2
3
4
3
2 14
1
2
3
4
3
2 15

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#1 - 12-12-2015 20:38:44

Périodicité enière

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#2 - 12-12-2015 21:17:50

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#3 - 13-12-2015 00:59:41

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#5 - 13-12-2015 11:14:38

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