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 #1 - 12-10-2010 17:21:39

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Le s3 nombres

Je prends 3 CHIFFRES.
Je les aditionne et je trouve X
Je multiplie le premier par le 2eme, puis j'enlève au resultat le 3eme chiffre et je trouve X
Quels nombres ai-je pris?



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 #2 - 12-10-2010 17:44:08

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3820
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

lzs 3 nombres

Bof...

Tu veux qu'on cherche 3 chiffres [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] et [latex]c[/latex] tels que [latex]a + b +c = ab - c.[/latex]
Donc [latex]ab = a + b + 2c[/latex]

On voit que [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] sont tous les deux forcément pairs.
Il suffit alors de lister tous les couples pairs, tels qu'il existe un chiffre [latex]c[/latex] obéissant à l'équation.
Par exemple [latex]a = 2[/latex], [latex]b = 4[/latex] et [latex]c= 1[/latex].
Mais il y en a d'autres....


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 12-10-2010 19:17:54

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Les nombres

Je ne sais pas, je ne suis pas devin! big_smile
Je commence par raisonner avec trois entiers positifs ou nuls... Je trouve que les solutions sont de la forme:
[latex](2p, \quad 2q, \quad 2pq-p-q)[/latex], avec [latex](p, \quad q)\in\mathbb{N}^2[/latex].
Pour que les trois entiers ne soient composés que d'un chiffre, il faut résoudre un système d'inéquations... Vu la symétrie du problème, pour alléger, on peut imposer:
[latex]p\le q[/latex].
on trouve alors
[latex](p, \quad q)\in \left\{(0,0); (1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(2,2);(2,3)\right\}[/latex].

 #4 - 12-10-2010 19:30:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Les 3 nnombres

Trouver les solutions entières de [latex]x+y+z=xy-z[/latex], donc. Sont-ce des chiffres ou des nombres ?

(Plus exactement, sont-ce des nombres à un chiffre ou à plusieurs ? On rappelle que le chiffre est au nombre ce que la lettre est au mot : le caractère permettant de l'écrire. Et de la même manière qu'on ne peut pas additionner la lettre A et la lettre Q, on ne peut pas calculer la somme de deux chiffres, mais des deux nombres représentés respectivement par un de ces chiffres écrit seul. Je commence à en avoir marre de radoter...)

On peut d'ores et déjà virer la solution [latex](0;0;0)[/latex], la plus triviale de toutes...
On peut aussi constater que :
- si x vaut 0, on obtient [latex]y+z=-z[/latex] soit [latex]y=-2z[/latex] soit [latex]y=z=0[/latex], et que
- si z vaut 0, alors on obtient [latex]x+y=xy[/latex] qu'on peut écrire, si x est différent de zéro (ça nous ferait retomber sur le triplet nul), [latex]y = \frac{x}{x-1}[/latex]. Seule solution entière avec [latex]x=2[/latex] et [latex]y=2[/latex].

Donc, s'il existe des solutions différentes de [latex](0;0;0)[/latex] et [latex](2;2;0)[/latex], elles sont telles que x, y et z sont tous les trois non nuls. Une bonne chose de faite.

On modifie l'équation : [latex]x+y+2z=xy[/latex], donc [latex]x+y[/latex] et [latex]xy[/latex] doivent avoir la même parité, ce qui est le cas seulement si x et y sont tous les deux pairs.

J'ai réussi à me planter sur la suite, donc on va plutôt prendre chaque paire de nombres pairs et calculer [latex]z = \frac{xy-x-y}{2}[/latex]. Et vu que [latex]xy[/latex] est plus grand que [latex]x+y[/latex] quand x et y se mettent à grandir, "sky's the limit". Sauf si on veut des nombres à un seul chiffre, auquel cas on s'arrête à [latex](x,y)=(2,4)[/latex] ou [latex](x,y)=(4,2)[/latex].


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 12-10-2010 20:43:48

bluefox8
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 11

Les 3 nmbres

a+b+c=ab-c
a+b-ab=-2c
il faut a+b-ab pair
cela ne marche que si a et b sont pairs

pour tout couple a,b pairs on troue une valeur de c
par exemple a=6, b= 4 c=7

 #6 - 12-10-2010 22:17:34

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1927
Lieu: UK

les 3 nombreq

La solution n'est pas unique 241, 283, 456


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 12-10-2010 22:27:50

piode
Cacografe de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 1680
Lieu: Sur le dos d'une autruche

Le s3 nombres

Si [latex]u+y+z=X[/latex] et si [latex]u*y-z=X [/latex] alors
[TeX]u+y+z=u*y-z[/TeX]
=>[latex]0=u*y-2z-u-y[/latex]
... et apres bonne nuit.


"Être une enzyme avec fonction hydrolyse, mais ne pas savoir comment si prendre ..."

 #8 - 13-10-2010 08:07:23

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Les nombres

Soient a, b et c les trois chiffres recherchés.

On a :
a + b + c  =  x
et
a.b - c  =  x

Donc :
a + b + c  =  a.b - c
a + b + 2c  =  a.b

En testant les différentes valeurs de c (de 0 à 9), je trouve les couples (a;b) (ou (b;a) ) possibles :
c = 0        a + b  =  a.b        (0;0) (2;2)
c = 1        a + b + 2  =  a.b        (2;4)
c = 2        a + b + 4  =  a.b        (2;6)
c = 3        a + b + 6  =  a.b        (2;8)
c = 4        a + b + 8  =  a.b        (4;4)
c = 7        a + b + 10  =  a.b        (4;6)


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #9 - 13-10-2010 08:26:33

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3071
Lieu: Au sud du Nord

les 3 nomnres

421    241
444   
622    262
647    467
823    283


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #10 - 13-10-2010 09:30:33

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

LLes 3 nombres

a+b+c = a*b-c <=> a*b = a+b-2c

Si a ou b est impair, la parité est différente de chaque coté de l'égalité donc a et b sont pairs.
Il reste a lister les couples a,b de {0, 2, 4, 6, 8}² pour lesquels il existe un c dans [0,9]

2, 2, 0
2, 4, 1
2, 6, 2
2, 8, 3
4, 2, 1
4, 4, 4
4, 6, 7
6, 2, 2
6, 4, 7
8, 2, 3

 #11 - 13-10-2010 09:33:09

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Les 3 onmbres

Pourquoi pas 2, 6 et 2 ?
2+6+2 = X (en chiffres romains) 2*6-2 = 10 aussi

 #12 - 13-10-2010 10:00:57

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

les 3 nimbres

Bonjour à tous,

Soit a,b,c trois chiffres (ou nombres entiers).

L'énoncé nous indique que : a+b+c = a*b-c = X

Nous avons donc les deux égalités suivantes :

X+c = a*b et X-c = a+b   (1)

On additionne membre à membre ces deux égalités :

2X = a*b + a + b soit X = (ab+a+b)/2   (2)

Si on s'impose que X doit être un nombre entier, cela implique que 2X est pair et donc les nombres a et b sont pairs aussi.

En remplaçant dans (1) X par l'expression trouvée en (2) on obtient :

c = (ab-a-b)/2

Donc, quelque soit a et b entiers pairs, si c = (ab-a-b)/2 alors a+b+c = a*b-c

Exemple avec a=2 et b=4 :

c = (2*4-2-4)/2 = 1

2+4+1 = 2*4-1 = 7

Si on considère que a,b,c sont des chiffres, alors l'ensemble des solutions est le suivant :

(2,2,0)
(2,4,1)
(2,6,2)
(2,8,3)
(4,4,4)
(4,6,7)

(a et b sont bien sûr permutables) wink

 #13 - 13-10-2010 19:17:33

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2214

les 3 nombrzs

0 0 0
2 2 0
2 4 1
2 6 2
2 8 3
4 2 1
4 4 4
4 6 7
6 2 2
6 4 7
8 2 3

 #14 - 15-10-2010 10:35:12

daftpunk
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1109
Lieu: Around the world

leq 3 nombres

Je prends 3 CHIFFRES.

Quels nombres ai-je pris?

ça sent le piège...smile


Le bonheur est une vieille qui boite sur du verglas...

 #15 - 15-10-2010 14:29:42

ddpm
Visiteur

lrs 3 nombres

Bonjour,

3 CHIFFRES différents de zéro :
Dans l'ordre 2, 4, 1 => X=7

 #16 - 15-10-2010 16:38:28

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Les 3 nombers

On cherche a, b et c tels que: a+b+c=ab-c
On remarque tout de suite que a et b ont des roles symétriques, on peut donc supposer a<=b et ensuite dupliquer tous les triplets pour lesquels a < b.
Si (a,b,c) est solution, (b,a,c) est solution.

a+b+c=ab-c <=> (a-1)(b-1)=2c+1 sans oublier que a, b, et c sont des chiffres.
c=0: (a-1)(b-1)=1: a=b=2: (2,2,0)
c=1: (a-1)(b-1)=3: a-1=1 et b-1=3 (a<=b): (2,4,1)
c=2: (a-1)(b-1)=5: a-1=1 et b-1=5 (a<=b): (2,6,2)
c=3: (a-1)(b-1)=7: a-1=1 et b-1=7 (a<=b): (2,8,3)
c=4: (a-1)(b-1)=9:
   a-1=1 et b-1=9 (a<=b): (2,10,3): Impossible (10 n'est pas un chiffre)
   a-1=3 et b-1=3 (a<=b): (4,4,4)
c=5: (a-1)(b-1)=11: a-1=1 et b-1=11 (a<=b): Impossible
c=6: (a-1)(b-1)=13: a-1=1 et b-1=13 (a<=b): Impossible
c=7: (a-1)(b-1)=15: a-1=3 et b-1=5 (a<=b): (4,6,7) (1,15 Impossible)
c=8: (a-1)(b-1)=17: a-1=1 et b-1=17 (a<=b): Impossible
c=9: (a-1)(b-1)=19: a-1=1 et b-1=19 (a<=b): Impossible

Donc au total les solutions sont:
(2,2,0), (2,4,1), (2,6,2), (2,8,3), (4,4,4), (4,6,7)
et par symétrie:
(4,2,1), (6,2,2), (8,2,3), (6,4,7)

Merci pour ce petit problème.

 #17 - 15-10-2010 17:12:49

lml-mike
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 179
Lieu: s'toi le Lieu >_<

Lees 3 nombres

Tu as pris trois 4 non ?

4+4+4=12
4*4-4=12


S'il y a bien une chose que je déteste, ce sont les gens qui finissent jamais leur

 #18 - 15-10-2010 17:45:38

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Les 3 nombrs

Il me manque la plus évidente: (0,0,0) qu'il semble que j'ai éliminé inconsciemment. smile

D'autre part, je ne peux que "plussoyer" Mathias: Il y a une différence entre nombre et chiffre et il est important de la respecter. Au dela d'un certain point, il n'est plus possible de progresser en mathématiques sans une certaine rigueur.
Cela me rappelle une anecdote que je vous livre: Lorsque j'étais en Terminale C (à mon époque ça s'appellait encore comme ça smile), mon prof de math m'a enlevé 5 points sur 20 à une interro parce que j'avais écrit: "la fonction f(x) est décroissante". J'ai eu 15/20 ce jour là et depuis je porte la plus grande attention à la précision de ce que j'écris...
Il était aussi très friand des équivalences pas équivalentes, toujours avec le même tarif... Genre: (x-1)(x-2)=(x-1)(2x-3) <=> x-2=2x-3  -> -5 points.
Avec le recul, je ne peux qu'approuver...

 #19 - 15-10-2010 18:13:45

Oslo
Visiteur

eLs 3 nombres

0,0,0
4,4,4
2,2,0

 #20 - 15-10-2010 20:51:09

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

les 3 nomnres

rivas a écrit:

Lorsque j'étais en Terminale C (à mon époque ça s'appellait encore comme ça smile), mon prof de math m'a enlevé 5 points sur 20 à une interro parce que j'avais écrit: "la fonction f(x) est décroissante".

Excellent cas d'école (justement) !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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