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#1 - 20-05-2011 20:43:55
- Yanyan
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Rempllissage du plan
Encore dans P. Halmos.
Peut-on remplir le plan par de vrais cercles disjoints (de rayon ni nul ni infini)?
Attention j'ai dis cercles pas disques!
Dois-je rappeler qu'il faut réfléchir par soi-même et ne pas se ruer sur le net!
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#2 - 20-05-2011 22:22:00
- gwen27
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Reemplissage du plan
Si les cercles sont concentriques, il reste un "trou" au centre du fait de la condition "non nul et non infini" S'ils ne le sont pas il reste un "trou" au milieu. A un moment ou à un autre, 2 cercles seront forcément tangents. Cela crée au point de tangence une espèce de "point de rebroussement" impossible à combler avec un rond.
Je vote pour pas possible ça reviendrait un peu à inventer la quadrature du cercle non ?
#3 - 20-05-2011 22:51:03
- looozer
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remplissage su plan
Je dirais "oui" s'ils sont concentriques et de rayons allant de 0 à l'infini (exclus). Mais comme j'ai trouvé très vite, je suis peut-être passé à côté de quelque chose.
#4 - 21-05-2011 01:00:11
- Vasimolo
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remolissage du plan
Le plan non mais l'espace oui 
Vasimolo
#5 - 21-05-2011 01:04:10
- irmo322
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rrmplissage du plan
C'est pô possible!
Démo par l'absurde: On suppose qu'on a le plan remplis par de vrais cercles disjoints. J'en prend un de cercle et je le nomme 1er cercle. Je nomme 2ème cercle celui qui passe par le centre du 1er cercle. Ainsi de suite, je nomme (n+1)-ème cercle celui qui passe par le centre du n-ième cercle. A chaque fois le (n+1)-ème cercle est à l'intérieur du n-ième cercle et son rayon est au moins 2 fois plus petit. On en déduit que la suite constituée des centres des cercles est convergente. Le cercle qui passe par le point limite est de rayon nul sinon il croise un autre cercle... contradiction!
Elles sont sympas les énigmes de ton bouquin.
#6 - 21-05-2011 01:14:54
- Yanyan
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remplissafe du plan
Bonne réponse de tout le monde. Gwen le pourquoi de ta deuxième alternative serait le bienvenu et Vasimolo prouve ce que tu annonces. Loozer tu es sur la bonne piste.
Quand au livre de Paul Halmos "problèmes pour mathématiciens petits et grands" il est super et contient pas loin de 200 problèmes du genre...
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#7 - 21-05-2011 01:40:30
- Vasimolo
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rempmissage du plan
Je connais parfaitement le livre dont tu parles ( je l'ai déjà conseillé sur ce forum )
C'est une des raisons pour lesquelles je laisse participer les autres car recopier une solution connue depuis longtemps n'est pas vraiment passionnant .
Un livre à ne recommander toutefois qu'aux vrais amateurs de belles maths ( c'est parfois un peu théorique ) .
Amicalement 
Vasimolo
#8 - 21-05-2011 16:46:26
- gwen27
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Remplisage du plan
fait, même si ça reste assez intuitif.
#9 - 21-05-2011 19:11:10
- nodgim
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Remplissage du lpan
Pour moi la réponse est nette: on ne peut pas passer d'une dimension n à une dimension n+1 avec des objets de dimension n. On ne peut pas construire une droite continue avec des points, ni un plan avec des lignes (droites ou courbes) ni un espace avec des plans.
#10 - 21-05-2011 19:23:52
- Yanyan
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Remplissage du lan
Je signale à nodgim que l'on peut même remplir un carré avec une seule courbe continue!
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#11 - 21-05-2011 21:59:39
- kosmogol
- Banni
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remplissafe du plan
Je signale à nodgim que l'on peut même remplir un carré avec une seule courbe continue!
Je dirai donc oui  
http://enigmusique.blogspot.com/
#12 - 21-05-2011 22:14:06
- Yanyan
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remplisqage du plan
Je crois que Kosmogol tente une feinte : selon ma réponse à son post il aurait pu deviner La réponse. Quoiqu'il en soit j'attends une preuve!
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#13 - 22-05-2011 09:51:19
- nodgim
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rempmissage du plan
J'attends avec impatience qu'on me dise au bout de combien de temps on arrive, avec la courbe de Péano par exemple, à remplir une partie epsilon, (epsilon aussi petit que l'on veut mais différent de zéro) du plan avec un trait aussi long que l'on veut.......
#14 - 23-05-2011 10:55:47
- Milou_le_viking
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Remplisage du plan
Je somme une infinité de cercle de centre (0,0) et de rayons allant continument de limite de zéro à R. J'obtiens ainsi un disque troué en son centre. J'ajoute un cercle de rayon r < R/2 passant par le centre du disque. J'obtiens un disque plein de rayon R.
Je construis d'autres disques de la même façon en chaque point du réseau périodique (i V2 R, j V2 R) avec i et j entiers.
J'ai ainsi rempli le plan avec des cercles de rayon non nul et non infini.
#15 - 23-05-2011 12:41:52
- Yanyan
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Remplisssage du plan
Milou_le_viking a l'air d' avoir oublié la condition : disjoints.
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#16 - 23-05-2011 13:44:43
- Milou_le_viking
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Remplissage du lan
Ben ouais! Avec dix joins, c'est encore plus facile. 
Non, mais alors, je pense que c'est impossible, car, même à supposer qu'on puisse faire tendre le rayon du disque troué vers l'infini (ce qui est exclu par l'énoncé), tout le plan est rempli sauf l'origine où l'on trouve un trou circulaire de rayon non nul arbitrairement petit.
Donc impossible.
#17 - 23-05-2011 13:55:23
- Yanyan
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Remplssage du plan
Un peu plus d'explications pour Milou serait comment dire...
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#18 - 23-05-2011 14:28:07
- Milou_le_viking
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eRmplissage du plan
Je n'ai rien à dire de plus. Il y a au moins un point qui n'est pas recouvert puisque tu ne peux pas faire tendre le rayon d'un cercle vers 0.
#19 - 24-05-2011 00:58:20
- Yanyan
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Remplissage duu plan
La réponse était non, en effet supposons que le plan soit réunion disjointe de cercles. Alors considérons un de ces cercles et notons D son diamètre, les cercles à l'intérieur de ce cercle (il en faut) ne peuvent tous avoir un diamètre >d/2 car sinon il y en aurait deux qui s'intersecteraient. En reconsidérant un cercle de diamètre inférieur ou égal à D/2 comme notre premier cercle, on trouve un cercle de rayon au plus D/4 ... Maintenant il y a un point qui est à l'intérieur de tous ces cercles. Ce dernier n'appartient à aucun cercle car il aurait une intersection avec un des cercles considérés.
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#20 - 24-05-2011 14:05:38
- Milou_le_viking
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Remplissage du pplan
nodgim a écrit:Pour moi la réponse est nette: on ne peut pas passer d'une dimension n à une dimension n+1 avec des objets de dimension n. On ne peut pas construire une droite continue avec des points, ni un plan avec des lignes (droites ou courbes) ni un espace avec des plans.
Ben si on peut! Il faut faire une somme continue d'une infinité d'éléments. C'est le principe des intégrales.
#21 - 24-05-2011 14:19:34
- Yanyan
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remplissafe du plan
Pour ceux qui voudraient en débattre il y a une conversation dans Blabla à ce sujet.
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#22 - 24-05-2011 18:57:50
- nodgim
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Remplissage du plann
Milou_le_viking a écrit:nodgim a écrit:Pour moi la réponse est nette: on ne peut pas passer d'une dimension n à une dimension n+1 avec des objets de dimension n. On ne peut pas construire une droite continue avec des points, ni un plan avec des lignes (droites ou courbes) ni un espace avec des plans.
Ben si on peut! Il faut faire une somme continue d'une infinité d'éléments. C'est le principe des intégrales.
Si tu sais tracer 2 cercles concentriques de telle qu'il soit impossible de tracer un 3 ème cercle entre eux, alors oui je dirais on peut remplir un plan avec des cercles. J'attends qu'on me dise comment tracer ces 2 cercles.....
#23 - 24-05-2011 19:09:16
- Yanyan
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remplissage dy plan
Tu veux absolument que le procédé soit fini?
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#24 - 25-05-2011 09:03:27
- Milou_le_viking
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remplissage su plan
Tu prends un cercle de rayon R et un cercle de rayon R-dr. Le problème est que le dr est un élément infinitésimale pas très beaucoup représentable avec un dessin. En intégrant (un genre de somme continue) dr de 0 à R, tu obtiens un disque de rayon R. Le plus simple est que tu te renseignes sur le calcul intégrale.
En mathématiques, tu sais faire bien plus de chose que ce qui est possible avec un crayon et une feuille de papier: - espace de dimension n>3 (easy game) - espace de dimension infinie - espace de dimension infinie - 1 (ou de codimension 1) - espace de dimension pi (là je sais que ça existe mais j'y comprend rien =D) - somme infinie - limite vers l'infini - limite vers zéro - somme infinie de limite vers zéro - ...
#25 - 25-05-2011 18:34:35
- Vasimolo
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