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 #1 - 20-05-2011 20:43:55

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

remplissage su plan

Encore dans P. Halmos.

Peut-on remplir le plan par de vrais cercles disjoints (de rayon ni nul ni infini)?

Attention j'ai dis cercles pas disques!

Dois-je rappeler qu'il faut réfléchir par soi-même et ne pas se ruer sur le net!



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 #2 - 20-05-2011 22:22:00

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

remplissage dy plan

Si les cercles sont concentriques, il reste un "trou" au centre du fait de la condition "non nul et non infini"
S'ils ne le sont pas il reste un "trou" au milieu. A un moment ou à un autre, 2 cercles seront forcément tangents. Cela crée au point de tangence une espèce de "point de rebroussement" impossible à combler avec un rond.

Je vote pour pas possible ça reviendrait un peu à inventer la quadrature du cercle non ?

 #3 - 20-05-2011 22:51:03

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Remplissag du plan

Je dirais "oui" s'ils sont concentriques et de rayons allant de 0 à l'infini (exclus).
Mais comme j'ai trouvé très vite, je suis peut-être passé à côté de quelque chose.

 #4 - 21-05-2011 01:00:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Rempplissage du plan

Le plan non mais l'espace oui smile

Vasimolo

 #5 - 21-05-2011 01:04:10

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

remplissage du olan

C'est pô possible!

Démo par l'absurde:
On suppose qu'on a le plan remplis par de vrais cercles disjoints.
J'en prend un de cercle et je le nomme 1er cercle.
Je nomme 2ème cercle celui qui passe par le centre du 1er cercle.
Ainsi de suite, je nomme (n+1)-ème cercle celui qui passe par le centre du n-ième cercle.
A chaque fois le (n+1)-ème cercle est à l'intérieur du n-ième cercle et son rayon est au moins 2 fois plus petit. On en déduit que la suite constituée des centres des cercles est convergente. Le cercle qui passe par le point limite est de rayon nul sinon il croise un autre cercle... contradiction!

Elles sont sympas les énigmes de ton bouquin.

 #6 - 21-05-2011 01:14:54

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

remplisszge du plan

Bonne réponse de tout le monde. Gwen le pourquoi de ta deuxième alternative serait le bienvenu et Vasimolo prouve ce que tu annonces.
Loozer tu es sur la bonne piste.

Quand au livre de Paul Halmos  "problèmes pour mathématiciens petits et grands" il est super et contient pas loin de 200 problèmes du genre...


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 #7 - 21-05-2011 01:40:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

rempliqsage du plan

Je connais parfaitement le livre dont tu parles ( je l'ai déjà conseillé sur ce forum )smile

C'est une des raisons pour lesquelles je laisse participer les autres car recopier une solution connue depuis longtemps n'est pas vraiment passionnant .

Un livre à ne recommander toutefois qu'aux vrais amateurs de belles maths ( c'est parfois un peu théorique ) .

Amicalement smile

Vasimolo

 #8 - 21-05-2011 16:46:26

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

eRmplissage du plan

fait, même si ça reste assez intuitif.

 #9 - 21-05-2011 19:11:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Remplissage du pplan

Pour moi la réponse est nette: on ne peut pas passer d'une dimension n à une dimension n+1 avec des objets de dimension n.
On ne peut pas construire une droite continue avec des points, ni un plan avec des lignes (droites ou courbes) ni un espace avec des plans.

 #10 - 21-05-2011 19:23:52

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

rrmplissage du plan

Je signale à nodgim que l'on peut même remplir un carré avec une seule courbe continue!


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 #11 - 21-05-2011 21:59:39

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Remplissaeg du plan

Je signale à nodgim que l'on peut même remplir un carré avec une seule courbe continue!

Je dirai donc oui rollcool


http://enigmusique.blogspot.com/

 #12 - 21-05-2011 22:14:06

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Remplissage du paln

Je crois que Kosmogol tente une feinte : selon ma réponse à son post il aurait pu deviner La réponse.
Quoiqu'il en soit j'attends une preuve!


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 #13 - 22-05-2011 09:51:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Remplissage du pla

J'attends avec impatience qu'on me dise au bout de combien de temps on arrive, avec la courbe de Péano par exemple, à remplir une partie epsilon, (epsilon aussi petit que l'on veut mais différent de zéro) du plan avec un trait aussi long que l'on veut.......

 #14 - 23-05-2011 10:55:47

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

remplossage du plan

Je somme une infinité de cercle de centre (0,0) et de rayons allant continument de limite de zéro à R. J'obtiens ainsi un disque troué en son centre. J'ajoute un cercle de rayon r < R/2 passant par le centre du disque. J'obtiens un disque plein de rayon R.

Je construis d'autres disques de la même façon en chaque point du réseau périodique (i V2 R, j V2 R) avec i et j entiers.

J'ai ainsi rempli le plan avec des cercles de rayon non nul et non infini.

 #15 - 23-05-2011 12:41:52

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

remplissage fu plan

Milou_le_viking a l'air d' avoir oublié la condition : disjoints.


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 #16 - 23-05-2011 13:44:43

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Remplissage du pan

Ben ouais! Avec dix joins, c'est encore plus facile. big_smile

Non, mais alors, je pense que c'est impossible, car, même à supposer qu'on puisse faire tendre le rayon du disque troué vers l'infini (ce qui est exclu par l'énoncé), tout le plan est rempli sauf l'origine où l'on trouve un trou circulaire de rayon non nul arbitrairement petit.

Donc impossible.

 #17 - 23-05-2011 13:55:23

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Remplissage du pla

Un peu plus d'explications pour Milou serait comment dire...


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 #18 - 23-05-2011 14:28:07

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Remplissage duu plan

Je n'ai rien à dire de plus. Il y a au moins un point qui n'est pas recouvert puisque tu ne peux pas faire tendre le rayon d'un cercle vers 0.

 #19 - 24-05-2011 00:58:20

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

remplissage dy plan

La réponse était non, en effet supposons que le plan soit réunion disjointe de cercles.
Alors considérons un de ces cercles et notons D son diamètre, les cercles à l'intérieur de ce cercle (il en faut) ne peuvent tous avoir un diamètre >d/2 car sinon il y en aurait deux qui s'intersecteraient.
En reconsidérant un cercle de diamètre inférieur ou égal à D/2 comme notre premier cercle, on trouve un cercle de rayon au plus D/4 ...
Maintenant il y a un point qui est à l'intérieur de tous ces cercles.
Ce dernier n'appartient à aucun cercle car il aurait  une intersection avec un des cercles considérés.


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 #20 - 24-05-2011 14:05:38

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Remplisssage du plan

nodgim a écrit:

Pour moi la réponse est nette: on ne peut pas passer d'une dimension n à une dimension n+1 avec des objets de dimension n.
On ne peut pas construire une droite continue avec des points, ni un plan avec des lignes (droites ou courbes) ni un espace avec des plans.

Ben si on peut! Il faut faire une somme continue d'une infinité d'éléments. C'est le principe des intégrales.

 #21 - 24-05-2011 14:19:34

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

remplissage du pkan

Pour ceux qui voudraient en débattre il y a une conversation dans Blabla à ce sujet.


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 #22 - 24-05-2011 18:57:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

remplussage du plan

Milou_le_viking a écrit:

nodgim a écrit:

Pour moi la réponse est nette: on ne peut pas passer d'une dimension n à une dimension n+1 avec des objets de dimension n.
On ne peut pas construire une droite continue avec des points, ni un plan avec des lignes (droites ou courbes) ni un espace avec des plans.

Ben si on peut! Il faut faire une somme continue d'une infinité d'éléments. C'est le principe des intégrales.

Si tu sais tracer 2 cercles concentriques de telle qu'il soit impossible de tracer un 3 ème cercle entre eux, alors oui je dirais on peut remplir un plan avec des cercles. J'attends qu'on me dise comment tracer ces 2 cercles.....

 #23 - 24-05-2011 19:09:16

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Rempllissage du plan

Tu veux absolument que le procédé soit fini?


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 #24 - 25-05-2011 09:03:27

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Remplisssage du plan

Tu prends un cercle de rayon R et un cercle de rayon R-dr. Le problème est que le dr est un élément infinitésimale pas très beaucoup représentable avec un dessin. En intégrant (un genre de somme continue) dr de 0 à R, tu obtiens un disque de rayon R.
Le plus simple est que tu te renseignes sur le calcul intégrale.

En mathématiques, tu sais faire bien plus de chose que ce qui est possible avec un crayon et une feuille de papier:
- espace de dimension n>3 (easy game)
- espace de dimension infinie
- espace de dimension infinie - 1 (ou de codimension 1)
- espace de dimension pi (là je sais que ça existe mais j'y comprend rien =D)
- somme infinie
- limite vers l'infini
- limite vers zéro
- somme infinie de limite vers zéro
- ...

 #25 - 25-05-2011 18:34:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Remplissage d plan

Il est clair qu'à part Chuck Norris personne ne comprend rien à l'infini : Attention , Môssieu a compté jusqu'à l'infini , ... , deux fois !!!!

On fait une ligne continue de dimension 1 avec des points de dimension 0 et un carré de dimension 2 avec une ligne de dimension 1 mad

Avec la même idée on doit pouvoir remplir un cube avec une ligne . Moi je remplis sans problème une boîte d’allumette avec du fil de pêche lol

On touche là aux fondements des maths et ce n'est pas sur un forum d'énigmes que le problème sera tranché . On doit pouvoir continuer s'amuser sans faire appel à l'hypothèse du continu ou à l'axiome du choix cool

Vasimolo

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