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 #1 - 01-01-2018 18:11:28

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3473

Année 2018 aec des 1

Bonne année 2018 @ tous.

Une question ludique avec ce millésime :

En se servant uniquement des opérations + , - , * , / et ( ), concaténation interdite :
- combien de 1 doit on utiliser au minimum pour obtenir 2018 ?
- Quel nombre maximum peut on obtenir avec 2018 as ?

Pour la seconde question, une justification sera bonus.

Bonne recherche.



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 #2 - 02-01-2018 11:17:47

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1453
Lieu: Coutiches

Année 2018 aveec des 1

Salut !
Pour la première je propose : ((3x3x3+1)x2x2x3x3+1)x2 où chaque chiffre s'obtient par la somme de uns.

J'ai donc besoin de 23 uns...

Pour la deuxième, je suppose qu'on peut au maximum atteindre : 16x3^670 où 16 s'obtient avec 8 uns et 3^670 avec 670 paquets de 3 uns.

 #3 - 02-01-2018 12:43:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3473

année 2018 avec dzs 1

Salut Golgot.

Je n'ai pas fait mieux pour la question 1. En revanche, j'ai un chouïa mieux pour la question 2.

 #4 - 02-01-2018 14:19:09

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,801E+3

année 2018 zvec des 1

Bonjour,

Question 1   3^7 - 3^4 *2 - 3*2 - 1 donc je dirais 21 +(12+2) + (3+2) +1 = 51

EDIT : 81 * 25 - 7 fonctionne mieux... Soit 12 + (9+2) + 7 = 30 fois le chiffre 1

et de fil en aiguille, avec la base 3 , une chaine d'opérations uitilisant 1,2 ou 3 chiffres:

3 *3 -1 *3 +1 *3 *3  -1 *3 +2 soit 23 chiffres 1 .

Question 2 : 3^672 * 2 si mes souvenirs du compte est bon sont corrects. On les groupe par 3 tant que l'on peut

 #5 - 02-01-2018 15:19:28

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 734

Année 201 8avec des 1

Salut nodgim,

sans trop de conviction, je dirais :
* 23, par exemple avec (2*2*2*2*3*3*(2*3+1)+1)*2, en remplaçant les 2 par (1+1) et les 3 par (1+1+1).
* [latex]2*3^{672}[/latex]

 #6 - 02-01-2018 15:47:36

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1453
Lieu: Coutiches

année 2018 avec ses 1

Ah ben oui, évidemment ! On peut faire 18 avec 8 uns au lieu de 16. Bien vu ! (ou plutôt mal vu de ma part ! smile )

Donc : 2x3^672

 #7 - 02-01-2018 16:16:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3473

Année 0218 avec des 1

Oui c'est bien ça Golgot, bravo à toi !

Une justification de ce choix ?

 #8 - 02-01-2018 20:55:39

red-dhalsim-
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 2

annéz 2018 avec des 1

43

 #9 - 02-01-2018 22:49:25

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 663

Année 22018 avec des 1

pour la question 2, je dirais 2 * 3^672 (je regroupe les 1 par paquet de 3)
pour la question 1, je n'ai pas encore optimisé, je commence avec

((1+1+1+1+1)*(1+1+1+1+1)*(1+1+1)*(1+1+1)-1)*(1+1+1)*(1+1+1)+1+1

ça me fait 25 un.

deuxième essai

(1+1)*(1+(1+1+1)*(1+1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1+1+1+1+1+1))

24 un ... y a une marge de progression là smile

troisième essai

(1+1)*(1+(1+1+1)*(1+1+1)*(1+1)*(1+1)*((1+1+1)*(1+1+1)*(1+1+1)+1)

23 un !

 #10 - 03-01-2018 07:04:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3473

Année 2018 avec dse 1

@ Gwen, Ebichu, Godisdead: c'est OK pour vous 3, bravo !

@ Red-dhalsim : on peut faire moins.

Pour la question 1, vous aurez tous vu que ce n'est pas évident de prouver l'optimisation, on tâtonne. En revanche, pour la question 2, il y a une justification mathématique sous jacente.

 #11 - 03-01-2018 11:58:37

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1569

Année 2018 aec des 1

Pour 2018=(1+1)*(((1+1)*(1+1+1)+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1)*(1+1+1)*(1+1+1)+1), ça fait 23 as

Pour le max, je dirais 844331840628942097442716551709264646570359882856660301642271023630200 085989185262694710794350774486045558469417927324960954751737438088168 637269166886446274857781852321087399410915728876269461091071193873208 744559844495902020084498327298704221506961905543494633009714001305514 881652358930506907253080223868246593936769282
(soit 3^672*2)

 #12 - 03-01-2018 12:17:27

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1569

Année 2018 avec de s1

Pour la démonstration du second:

Supposons que pour 3k (resp. 3k+1, 3k+2) as, le max soit de 3^k (resp, 3^(k-1)*4 et 3^k*2).
Cette hypothèse est vraie pour k = 1. Supposons la vraie pour tout k <= K
Par récurrence, on montre que

- 3K+3 donne, au plus, le produit A*B avec A et B les max atteints pour des nombres d'as C et D, tels que C+D = 3K+3
--- Si C = 3k', alors D aussi est multiple de 3 donc A*B = 3^(C+D) = 3^(K+1)
--- Si C = 3k'+1, alors D = 3k''+2 (ou inversement), A*B = 3^(K+1)*8/9 (inférieur au cas précédent)

- 3K+4 donne
--- Si C = 3k' et D = 3k''+1 (ou inversement), A*B = 3^K*4
--- Si C = 3k'+2 et D = 3k''+2, A*B = 3^K*4

- 3K+5 donne
--- Si C = 3k' et D = 3k''+2 (ou inversement) A*B = 3^(K+1)*2
--- Si C = 3k'+1 et D = 3k''+1, A*B = 3^(K-1)*16 = 3^(K+1)*16/9 (inférieur au cas précédent)

On retrouve donc les formules initiales

 #13 - 03-01-2018 16:13:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3473

Année 2018 avec ds 1

@ Scarta: ce sont les bonnes valeurs numériques, bravo à toi également.

En revanche, je reste un peu sur ma faim avec ta démonstration, surtout le tout début, où tu poses le chiffre idéal comme une évidence.

 #14 - 03-01-2018 21:26:52

Juju
Visiteur

année 2018 avrc des 1

42

 #15 - 04-01-2018 08:00:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3473

année 2018 avec fes 1

On peut faire mieux Juju.

 #16 - 05-01-2018 09:16:32

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1569

Année 2018 avec eds 1

Pour la 1ère question ? J'ai pas fait de démonstration, j'ai fait un algo en programmation dynamique.
Et si c'est pour la seconde, je ne comprends pas pourquoi. Oui j'ai tâtonné, j'ai remarqué que ça faisait toujours 3^n au mieux à la main. Mais bon une fois qu'on intuite le résultat on peut le poser comme hypothèse de récurrence.

 #17 - 05-01-2018 11:13:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3473

Année 208 avec des 1

@ Scarta: je ne suis pas encore vraiment convaincu, mais ça vient sûrement de moi....

Ce que je peux dire, c'est que si on découpe " n " en 2 parties à peu près égales, on aura le produit max, car on sait que pour 2 nombres à somme constante. le produit max intervient lorsque ces 2 nombres ont la différence la plus petite possible. Et effectivement, le meilleur découpage pour [n/2] est la puissance de 3. Ta démo indique la meilleure répartition modulo 3 et termine la démonstration. 
 
Maintenant d'où vient ce 3 ?

Pour un n donné, on peut chercher le meilleur découpage en posant :

a ^ ( n / a) > b ^ ( n / b) en supposant idéalement n divisible par a et b.
n/a ln a > n/b ln b
ln (a)/a  > ln (b)/ b

Ce qui amène à étudier la fonction ln (x)/x.

Sa dérivée vaut (1-lnx) / x².
C'est positif pour x < e, nul pour x = e et négatif au delà.
La fonction est donc décroissante à partir de e = 2,718...proche de 3.

Le meilleur résultat est donc e ^ ( n / e ).
Et donc tourne autour de 3 ^( n / 3) avec des entiers.

 

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