Bonjour,
Ça ressemble beaucoup à un devoir…

Si AH, AM, AI sont respectivement la hauteur, la médiane et la bissectrice intérieure, la construction est possible si et seulement si
AH ≤ AI ≤ AM
Si deux valeurs sont égales, la troisième doit l'être aussi, et le triangle est isocèle (AB = AC, et BC a une longueur arbitraire).

Construction :

1) On place A et H, et on construit la droite D perpendiculaire en H à AH (cette droite sera le support du côté BC)

2) On place le point M sur D (d'un côté ou de l'autre de H), car on connaît AM

3) On trace la doite E, perpendiculaire à D en M (ce sera la médiatrice du côté BC)

4) On place le point I sur D (entre H et M), car on connaît AI

5) On prolonge AI, qui coupe la droite E en P

6) La médiatrice de AP coupe la droite E en C

7) On trace le cercle de centre C et de rayon CA (cercle circonscrit au triangle ABC cherché), qui coupe la droite D en B et C

Ajouté : Complément de réponse dans le cas du triangle isocèle

Bonjour, la longueur de la hauteur et de la médiane suffisent.

Corycos a écrit:

Mais pour qu'elle soit plus claire il faut expliquer
la propriété du point 'P' (point d'intersection du prolongement de 'AI' et de la droite 'E')

Les notations sont en #2.

AI, bissectrice de l'angle A, coupe le cercle circonscrit au triangle ABC au milieu de l'arc sous-tendu par BC, donc sur la médiatrice de BC (droite E). C'est le point P.

Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est l'intersection de la droite E et de la médiatrice de AP.

@halloduda : Bravo pour la bonne réponse.
Une petite remarque:Comme vous le savez; la droite opposée au  sommet "A" supporte H,M,E.Alors,elle devrait être "BC " non "AB".

L'idée de la construction mérite quand même d'être explicitée :


Si la médiatrice d'une corde [BC] d'un cercle coupe ce cercle en un point F et que A est un point du cercle alors (AF) est une bissectrice de l'angle BÂC .

Vasimolo