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 #1 - 26-05-2015 14:25:38

Corycos
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 25

comment cinstruir ce triangle ?

Bonjour à tous !

C'est ma première "énigme".J'éspère d'avoir de bonnes réponses.Le sujet de mon énigme est la construction d'un triangle mais ce n'est pas un devoir.
La voilà:
Peut-on construir un triangle quelconque dont on connait les longueurs de la hauteur,de la médiane et de la bissectrice abaissées du même sommet,par exemple du sommet (A)?
Si vous dites "Oui" alors veuiiez écrire la construction.
Si vous dites "Non" alors veuillez expliquer "pourquoi"
Merci beaucoup !

(J'éspère qu'on me pardonne mes fautes car il y a  peu de temps que j'ai commencé à apprendre le français)



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 #2 - 26-05-2015 16:59:47

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

colment construir ce triangle ?

Bonjour,
Ça ressemble beaucoup à un devoir…

Si AH, AM, AI sont respectivement la hauteur, la médiane et la bissectrice intérieure, la construction est possible si et seulement si
AH ≤ AI ≤ AM
Si deux valeurs sont égales, la troisième doit l'être aussi, et le triangle est isocèle (AB = AC, et BC a une longueur arbitraire).

Construction :

1) On place A et H, et on construit la droite D perpendiculaire en H à AH (cette droite sera le support du côté BC)

2) On place le point M sur D (d'un côté ou de l'autre de H), car on connaît AM

3) On trace la doite E, perpendiculaire à D en M (ce sera la médiatrice du côté BC)

4) On place le point I sur D (entre H et M), car on connaît AI

5) On prolonge AI, qui coupe la droite E en P

6) La médiatrice de AP coupe la droite E en C

7) On trace le cercle de centre C et de rayon CA (cercle circonscrit au triangle ABC cherché), qui coupe la droite D en B et C

Ajouté : Complément de réponse dans le cas du triangle isocèle

 #3 - 27-05-2015 12:32:49

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

comment cinstruir ce triangle ?

On a une condition nécessaire: L(médiane) > L(bissectrice) > L(hauteur). En cas d'égalité de ces trois valeurs, le triangle est isocèle en A, mais on ne peut pas déterminer ses côtés. Pour l'instant je sèche sur la construction du cas général. Affaire à suivre ...

 #4 - 27-05-2015 21:11:05

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

comment xonstruir ce triangle ?

Bonjour, la longueur de la hauteur et de la médiane suffisent.

 #5 - 28-05-2015 08:16:32

Corycos
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 25

Comment construir ce trianle ?

@enigmatus:
Bravo pour la bonne réponse.Mais pour qu'elle soit plus claire il faut expliquer
la propriété du point 'P' (point d'intersection du prolongement de 'AI' et de la droite 'E')

@Franky1103:On attend votre réponse.

@gilles355:Vous auriez raison s'il s'agissait d'un triangle rectangle et que ces éléments étaient abaissés du sommet de l'angle droit.

 #6 - 28-05-2015 10:21:21

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Comment construir ce triagnle ?

Corycos a écrit:

Mais pour qu'elle soit plus claire il faut expliquer
la propriété du point 'P' (point d'intersection du prolongement de 'AI' et de la droite 'E')

Les notations sont en #2.

AI, bissectrice de l'angle A, coupe le cercle circonscrit au triangle ABC au milieu de l'arc sous-tendu par BC, donc sur la médiatrice de BC (droite E). C'est le point P.

Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est l'intersection de la droite E et de la médiatrice de AP.

 #7 - 28-05-2015 14:02:38

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

comment consrruir ce triangle ?

Soit ABC le triangle, A "le" sommet.
M milieu de AB
H pied de la hauteur issue de A.
On sait construire le triangle rectangle AHM.
EDIT
La droite BC contient H et M. (AB était un lapsus)
/EDIT
On sait construire le pied E de la bissectrice sous réserve que AH < AE < AM.
La droite AE coupe en F la parallèle à AH passant par M.
F est le milieu de l'arc AB du cercle circonscrit au triangle ABC.
La médiatrice de AF coupe MF en O, centre du cercle circonscrit à ABC.
OA = OB = OC termine la construction.

 #8 - 28-05-2015 18:40:10

Corycos
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 25

Comment ocnstruir ce triangle ?

@halloduda : Bravo pour la bonne réponse.
Une petite remarque:Comme vous le savez; la droite opposée au  sommet "A" supporte H,M,E.Alors,elle devrait être "BC " non "AB".

 #9 - 01-06-2015 22:19:55

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Comment construir ce triange ?

Je viens de comprendre cette astucieuse construction proposée par enigmatus et halloduda sur laquelle j'ai séché. Le cercle circonscrit, hormis A, B et C, passe aussi par le point P ou F. Bravo.

 #10 - 07-06-2015 19:22:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Comment construir c etriangle ?

L'idée de la construction mérite quand même d'être explicitée :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-mediane.png
Si la médiatrice d'une corde [BC] d'un cercle coupe ce cercle en un point F et que A est un point du cercle alors (AF) est une bissectrice de l'angle BÂC .

Vasimolo

 

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