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 #1 - 05-01-2011 18:10:37

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Le mercredi, c'est géo pour les enfantss ?

Un point est situé dans un triangle équilatéral, de telle sorte que les distances du point aux trois sommets du triangle sont de 5, 12 et 13 cm respectivement.
Quelle est l'aire du triangle équilatéral?



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#0 Pub

 #2 - 05-01-2011 19:01:17

Nnf13
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 20

le lercredi, c'est géo pour les enfants ?

Salut !

C'est bon j'ai une Aire de 118.1795074 U² avec le point à l'intérieur ^^
Pour un triangle de cotés 16.5204U  (de hauteur 14.3071U)

C'est bon ? neutral

 #3 - 05-01-2011 21:12:39

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

le mercredi, c'est géo pour leq enfants ?

d'après Al Kashi, et après simplification, nous avons la formule :
3(5^4 + 12^4 + 13^4 + c^4) = (5² + 12² + 13² + c²)²
ou c représente la côté d'un triangle, l'aire étant alors égal à c²*3^0.5*4^-1,
soit en valeur exacte :
aire=[latex]\frac{sqrt3}{4} (169+60 sqrt3)[/latex],
ou en valeur approchée : 118.179 cm².


Les distances 57, 65 et 73 aurait été plus sympa tongue


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #4 - 05-01-2011 22:07:59

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Le mercredi, c'est géo pour les enafnts ?

[TeX]5^2+12^2=13^2[/TeX]
tongue

 #5 - 05-01-2011 22:44:44

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Le mercredi, c'est ggéo pour les enfants ?

je recommande l'utilisation de cette jolie formule: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 041#p94304


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 06-01-2011 01:34:30

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Le mercredi, c'est géo pour les enfant s?

Autre exemple d'un problème déjà posé.
La formule générale qui donne la solution est, en notant les distances de M aux sommets du triangle x,y,z avec x²+y²=z² :

A=z².sqrt(3)/4 + 3xy/4

Ce qui dans notre cas x=5,y=12,z=13 donne une aire de : 45 + 169V3/4

 #7 - 06-01-2011 20:50:27

azmaria
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

Le mercredi, c'est géo our les enfants ?

30 cm

 #8 - 07-01-2011 16:18:58

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Le mercredi, c'est géo pour les enfnats ?

Un problème très similaire à été posé récemment pour lequel j'ai partagé une formule que je trouve très belle et à laquelle je renvoie:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 041#p94304

Grâce à cette formule, on trouve rapidement le coté du triangle:
[TeX](5^2+12^2+13^2+d^2)^2=3(5^4+12^4+13^4+d^4)[/TeX]
[TeX]d=\sqrt{169+60\sqrt3}[/latex] ou [latex]d=\sqrt{169-60\sqrt3}[/TeX]
(Pour ceux qui ne connaissent pas Wolfram Alpha)
Et donc l'aire:
[TeX]A=\dfrac{169\sqrt3+180}2[/latex] ou [latex]A=\dfrac{169\sqrt3-180}2[/TeX]
Edit: La solution la plus petite correspond au cas où le point est à l'extérieur du triangle et ne convient donc pas pour cette énigme...

 #9 - 08-01-2011 19:01:09

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

le merxredi, c'est géo pour les enfants ?

Oui, désolé. Le problème était très classique.

Voici une solution:

Soit ABC le triangle équilatéral de côté a à l'intérieur duquel un point P est situé à des distances 5, 12 et 13 des sommets A, B et C. On constate que les trois entiers 5, 12 et 13 constituent un triplet pythagoricien tel que 5² + 12² = 13². Nous allons donner une solution valable pour tout point P situé respectivement à des distances entières p, q et r des trois sommets A, B et C telles que p² + q² = r².

On trace le triangle équilatéral APQ de côté p tel que AP = AQ = p avec Q et P situés de part et d'autre du côté AB. Les deux triangles ACP et ABQ sont égaux car ils ont le même angle au sommet A (CAP = BAQ = 60° - BAP) compris entre les côtés AC et AP d'une part et les côtés AB et AQ d'autre part qui sont égaux deux à deux. Il en résulte que BQ = r. Comme BP = q et que p² +  q² = r² (par hypothèse), le triangle BPQ est rectangle avec P sommet de l'angle droit.

Soit H la projection de A sur la droite BP. L'angle APH est égal à 180° - 90° - 60° = 30° et le triangle rectangle APH est un demi-triangle équilatéral. Le côté AH vaut p/2 et le côté PH vaut p×racine(3)/2. On en déduit que AB² = a² = AH² + BH² = p²/4 + (q + p×racine(3)/2)² = p² + q² + p×q×racine(3) = r² + p×q×racine(3). Soit S la surface du triangle équilatéral ABC. On a  S = a²×racine(3)/4. D'où S = (r²×racine(3) + 3×p×q)/4.

Application numérique: p = 5, q = 12 et r = 13. S = (169×racine(3) + 180)/4 = 118,179146...


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