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Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 01-11-2010 18:18:47

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

sudo"clou&suot;

Bonjour, pour ma première énigme je vais rester simple.

Imaginons un plateau carré de 9 cases , tenant en équilibre posé sur un clou à la verticale exacte du centre de sa case centrale.

Comment répartir dessus des poids de 1,2,3,4,5,6,7,8 et 9 Kg aux centres exacts des 9 cases, de façon que le plateau soit toujours équilibré ?

Je ne sais pas combien il existe de solutions, mais il y en a au moins 2.
Le plus dur n'a pas été de les trouver mais de définir les conditions à respecter pour obtenir cet équilibre.

Bon courage et bonne chance à ceux qui vont chercher.

Edit, oui, je ne voyais que 9 cases, pas 81.



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 #2 - 01-11-2010 18:28:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

sudo&suot;clou"

9 cases ? Un sudoku en fait 81, non ?

De toute façon, je ne vois pas... mais alors pas du tout lol désolé hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 01-11-2010 20:10:47

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Sudo"c;lou"

Code:

9 6 1
4 2 7
3 5 8

Ça me semble être une solution... Mais je me garderai bien de chercher toutes les solutions !


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #4 - 01-11-2010 22:30:26

Hilare
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 35
Messages : 3

dudo"clou"

Pour ma première énigme, je vous propose 4 réponses :
169
823
754

195
762
384

249
681
735

273
984
165

 #5 - 01-11-2010 22:32:50

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

sudo&qyot;clou"

Soit une configuration d'équilibre de la forme:
m1 -- m2 -- m3
|       |       |
m4 -- m5 -- m6
|       |       |
m7 -- m8 -- m9

La condition d'équilibre est donnée par le fait que la somme des moments des poids par rapport à l'axe est nulle. On obtient alors le système suivant:
[TeX]\begin{cases}
m_1+m_2+m_3=m_7+m_8+m_9 \\
m_3+m_6+m_9=m_1+m_4+m_7
\end{cases}[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow \begin{cases}
(m_6-m_4)=(m_1-m_9)+(m_7-m_3) \\
(m_8-m_2)=(m_1-m_9)-(m_7-m_3)\end{cases}[/TeX]
Cela fait deux équations à huit inconnues auxquelles on peut ajouter:
[TeX]m_1+m_2+m_3+m_4+m_6+m_7+m_8+m_9=45-m_5[/TeX]
Cette dernière servant uniquement à déterminer m5, qui n'a d'ailleurs aucune incidence sur l'équilibre.

Bref, deux équations pour 8 inconnues, c'est un peu juste! hmm
J'essaye donc des valeurs qui vont bien, par exemple:
[TeX]\begin{cases}
3=2+1 \\
1=2-1
\end{cases}[/latex] (à associer avec le dernier système ci-dessus)
Puis, je passe aux masses, et ça peut donner:
9 -- 1 -- 3
|     |     |
5 --(6)-- 8
|     |     |
4 -- 2 -- 7

Une autre:
[latex]\begin{cases}
4=3+1 \\
2=3-1
\end{cases}[/TeX]
Qui peut donner:
7 -- 6 -- 2
|     |     |
5 --(1)-- 9
|     |     |
3 -- 8 -- 4

Une autre:
[TeX]\begin{cases}
5=4+1 \\
3=4-1
\end{cases}[/TeX]
Qui peut donner:
7 -- 5 -- 1
|     |     |
4 --(6)-- 9
|     |     |
2 -- 8 -- 3

Une dernière:
[TeX]\begin{cases}
6=4+2 \\
2=4-2
\end{cases}[/TeX]
Qui peut donner:
5 -- 2 -- 6
|     |     |
3 --(7)-- 9
|     |     |
8 -- 4 -- 1

Etc... Ca se fait assez bien en fait! smile Huit masses auraient été largement suffisant!

Bien entendu, pour des raisons de symétrie, chaque configuration peut être déclinée, sauf erreur, en sept autres (le nombre total de configurations est multiple de huit).

Une fois de plus, je ne vois guère d'autres solutions que de créer un code informatique pour trouver l'ensemble des solutions... J'ai la flemme!

J'ai bien aimé l'idée du problème, merci. smile

 #6 - 01-11-2010 22:35:05

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Sudo"clou&qquot;

Bravo à tous les trois. Rien de bancal dans quelque sens que ce soit.

Luthin, tu as raison, C'est un peu léger pour trouver toutes les solutions et je n'y pense même pas... Pour amener à une solution unique, j'aurais du les trouver d'abord et déterminer une condition suffisante et ça dépasse mes capacités.

Mais il y a plus de 2 équations ...

 #7 - 02-11-2010 07:10:02

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Sudo&quuot;clou"

soit un plateau avec 9 cases numérotées de la façon suivante:

Code:

a b c
d e f
g h i

nous avons les équations suivantes
Eq1: a+d+g = c+f+i (cotes gauche et droite ont le même poids)
Eq2: a+b+c = g+h+i (cotes haut et bas ont le même poids)

on peut noter que Eq1+Eq2 => 2a+d+d=2i+f+h
qui est la condition d’équilibre de la diagonale a vers i
et Eq1-Eq2 donne l'autre diagonale.

partant de Eq 1 les solutions sont relativement faciles à trouver et il y en a beaucoup:

Code:

3 7 4   1 8 4   1 5 6
6 9 2   9 7 3   8 9 4  
5 1 8   2 6 5   3 7 2

cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 02-11-2010 11:02:06

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

sudo"clou&suot;

Notons a,b,c,d,e,f,g,h,i les 9 poids dans l'ordre de lecture.
Le système est :
a+b+c=g+h+i
a+d+g=c+f+i
Il suffit de résoudre avec le fameux site DCODE le cryptarithme suivant :
a+b+c+100*(a+d+g)=g+h+i+100*(c+f+i)

Tiens, le site refuse qu'un nombre soit nul...

Il y aurait 760 solutions ???
En les regroupant par paquets de 8 (aux rotations et symétries près), cela donnerait 95 solutions réellement différentes.

Dans le détail :
8 avec le 1 ou le 9 au centre,
14 avec le 2 ou le 4 ou le 6 ou le 8,
10 avec le 3 ou le 7
et 3 avec le 5.
Curieuse distribution !

Voici par exemple les 3 solutions pour un poids central de 5 :

Code:

1 7 6     2 7 6     4 3 9
8 5 4     9 5 1     6 5 2
3 9 2     4 3 8     8 1 7

J'aime beaucoup celui du milieu : les 4 pairs aux coins, 9+7=2*8, 3+1=2*2, 9+3=2*6 & 7+1=2*4. C'est magique !


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 02-11-2010 17:50:03

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Sudo"clou&quo;

Je trouve qu'il n'y a pas de solution avec un équilibre au centre du carré.
Mon idée est que si j'ai un équilibre au centre du carré, alors toute coupe du carré passant par le centre coupe le carré en deux morceaux de même poids.
Si je ne dis pas de bêtise alors il n'y a pas de solution.

Si on nomme les cases du plateau de la manière suivante :

a b c
d e f
g h i

Si je coupe au milieu de la ligne d, e, f, alors j'ai des morceaux de masse a+b+c+d/2+e/2+f/2 et g+h+i+d/2+e/2+f/2 il faut donc a+b+c=g+h+i

Si maintenant je découpe en passant toujours par le centre et uniquement par les cases e,f et g mais en inclinant un peu, j'obtiens deux morceaux de masse a+b+c+d*x+e/2+f*(1-x) et g+h+i+d*(1-x)2+e/2+f*x, pour un x dans [0, 0.5]  (en fait dans un intervalle plus restreint car on coupe pas les autres cases)
Soit d=f ce qui est impossible

 #10 - 02-11-2010 22:54:54

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Sudo"clou"

Si on note sous forme de matrice [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]] les poids affectés aux centres des cases, on obtient trois conditions :
-a+c-d+f-g+i=0
a+b+c-g-h-i=0
a+b+c+d+e+f+g+h+i=45
Soit un ev de solution de dimension 4 si on fait abstraction la condition sur les valeurs des poids.

Un petit programme, et sauf erreur voici les solutions (telles que a<c, a<g, a<i et c<g pour éviter les symétries. En ai-je oublitées ?)

[[1,7,3],[8,6,9],[5,4,2]]
[[2,8,3],[9,4,6],[5,1,7]]
[[1,7,3],[9,6,8],[5,2,4]]
[[1,8,3],[9,7,5],[2,6,4]]
[[1,8,3],[9,7,5],[4,2,6]]
[[1,7,3],[9,8,6],[4,2,5]]
[[2,5,4],[6,9,8],[7,1,3]]
[[3,6,4],[8,2,9],[7,1,5]]
[[1,8,4],[9,3,7],[6,2,5]]
[[1,8,4],[9,7,3],[2,6,5]]
[[3,6,5],[7,1,9],[8,2,4]]
[[3,6,5],[7,9,1],[4,2,8]]
[[1,6,5],[8,4,9],[7,3,2]]
[[3,7,5],[8,6,1],[4,2,9]]
[[2,4,5],[8,6,9],[7,1,3]]
[[1,7,5],[8,9,2],[4,3,6]]
[[1,8,5],[9,2,6],[4,7,3]]
[[1,7,5],[9,2,8],[6,4,3]]
[[1,7,5],[9,4,6],[3,8,2]]
[[1,8,5],[9,6,2],[4,3,7]]
[[1,7,5],[9,6,4],[2,8,3]]
[[1,7,5],[9,8,2],[3,4,6]]
[[1,6,5],[9,8,4],[2,7,3]]
[[4,7,6],[8,1,2],[5,3,9]]
[[3,7,6],[8,4,1],[5,2,9]]
[[1,7,6],[8,5,4],[3,9,2]]
[[1,5,6],[8,9,4],[3,7,2]]
[[2,8,6],[9,1,3],[5,4,7]]
[[3,4,6],[9,2,8],[7,1,5]]
[[1,8,6],[9,4,2],[3,7,5]]
[[1,8,6],[9,4,2],[5,3,7]]
[[1,5,6],[9,4,8],[7,2,3]]
[[2,7,6],[9,5,1],[4,3,8]]
[[2,4,7],[5,8,6],[9,1,3]]
[[4,6,7],[8,2,1],[5,3,9]]
[[5,4,7],[8,2,3],[6,1,9]]
[[4,5,7],[8,3,2],[6,1,9]]
[[2,3,7],[8,9,4],[6,1,5]]
[[2,6,7],[9,1,5],[4,8,3]]
[[1,6,7],[9,3,5],[4,8,2]]
[[3,4,7],[9,6,2],[5,1,8]]
[[1,5,7],[9,6,4],[3,8,2]]
[[1,5,7],[9,8,2],[3,6,4]]
[[3,2,7],[9,8,4],[5,1,6]]
[[3,1,7],[9,8,6],[5,2,4]]
[[1,3,7],[9,8,6],[5,4,2]]
[[6,4,8],[5,3,1],[7,2,9]]
[[3,4,8],[5,9,1],[7,2,6]]
[[1,5,8],[6,9,2],[7,3,4]]
[[3,4,8],[7,2,6],[9,1,5]]
[[5,4,8],[7,3,1],[6,2,9]]
[[1,6,8],[7,3,5],[9,2,4]]
[[1,5,8],[7,4,6],[9,2,3]]
[[1,4,8],[7,9,3],[5,6,2]]
[[3,4,8],[9,1,5],[7,2,6]]
[[1,6,8],[9,2,4],[5,7,3]]
[[1,6,8],[9,2,4],[7,3,5]]
[[1,5,8],[9,2,6],[7,4,3]]
[[2,6,8],[9,3,1],[5,4,7]]
[[3,2,8],[9,4,6],[7,1,5]]
[[2,4,8],[9,7,1],[3,6,5]]
[[1,4,8],[9,7,3],[6,2,5]]
[[5,3,9],[4,6,1],[8,2,7]]
[[5,2,9],[4,8,1],[7,3,6]]
[[3,4,9],[5,7,1],[8,2,6]]
[[4,5,9],[6,1,2],[8,3,7]]
[[5,4,9],[6,2,1],[7,3,8]]
[[5,3,9],[6,4,1],[7,2,8]]
[[3,5,9],[6,4,1],[8,2,7]]
[[5,2,9],[6,4,3],[8,1,7]]
[[4,3,9],[6,5,2],[8,1,7]]
[[1,5,9],[6,7,2],[8,3,4]]
[[2,4,9],[6,8,1],[5,7,3]]
[[2,4,9],[6,8,1],[7,3,5]]
[[4,1,9],[6,8,3],[7,2,5]]
[[1,4,9],[6,8,3],[7,5,2]]
[[2,6,9],[7,1,3],[8,4,5]]
[[1,6,9],[7,2,4],[8,5,3]]
[[2,6,9],[7,3,1],[5,8,4]]
[[1,6,9],[7,4,2],[8,3,5]]
[[3,2,9],[7,6,4],[8,1,5]]
[[1,4,9],[7,8,2],[6,5,3]]
[[2,5,9],[8,1,4],[6,7,3]]
[[3,5,9],[8,2,1],[6,4,7]]
[[1,6,9],[8,2,3],[7,5,4]]
[[1,6,9],[8,3,2],[7,4,5]]
[[1,5,9],[8,3,4],[6,7,2]]
[[5,1,9],[8,4,3],[6,2,7]]
[[4,2,9],[8,6,1],[5,3,7]]
[[1,4,9],[8,6,3],[5,7,2]]
[[3,1,9],[8,6,5],[7,2,4]]
[[1,3,9],[8,6,5],[7,4,2]]
[[4,1,9],[8,7,2],[5,3,6]]
[[1,4,9],[8,7,2],[5,6,3]]
[[1,3,9],[8,7,4],[6,5,2]]

 #11 - 02-11-2010 23:05:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Sudo"clouu"

Yannek, je ne tente même pas de vérifier  mad  , en tout cas, tu as les deux miennes big_smile

 #12 - 03-11-2010 14:39:04

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Sudo"clou&quto;

J'ai trouvé ces 2 là (ils sont complémentaires à 10) :

2    4    9        8    6    1
5    7    3        5    3    7
6    8    1        4    2    9

ainsi que celui-ci (auto-complémentaire à 10) :

2    7    6
9    5    1
4    3    8

 #13 - 03-11-2010 14:51:41

moicestmoi
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1617
Lieu: Avec vous :-)

Sudo&quo;clou"

J'ai beau chercher, pas moyen de trouver... mais les maths et moi, c'est loin d'être ça.
http://clabedan.typepad.com/photos/uncategorized/2007/07/29/gm02.gif


L'angle droit bout à 90 degrés.

 #14 - 04-11-2010 13:32:39

FifiCalin
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 5
Messages : 5

sydo"clou"

2  7  6
9  5  1
4  3  8


toutes les lignes, colonnes et diagonales font 15

 #15 - 04-11-2010 18:58:28

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Sudo"clou"

Je me suis bien cassé la tête sur ce problème, sans pour autant y trouver de solution.

Maintenant que celles de tous les z'amis sont dévoilées, je pense qu'elles sont toutes erronées.
Bien entendu, tout le monde s'est appliqué à faire l'équilibre selon les deux axes de symétrie horizontaux et verticaux.
Mais, pour que ce Sudo"clou" tienne debout, je pense qu'il faille également respecter l'équilibre selon les deux axes des diagonales...
Aucune solution proposée ne respecte cette condition.

Me trompe-je ?


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #16 - 04-11-2010 19:18:10

supercab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 20

sudo&quit;clou"

Je suis d'accord avec Le Singe Malicieux.

Ce qui est bizarre c'est que Yanneck a dit:

Si on note sous forme de matrice [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]] les poids affectés aux centres des cases, on obtient trois conditions :
-a+c-d+f-g+i=0
a+b+c-g-h-i=0
a+b+c+d+e+f+g+h+i=45
Soit un ev de solution de dimension 4 si on fait abstraction la condition sur les valeurs des poids.

Or tu as 3 formes linéaires sur [latex]\R^{9}[/latex] donc tu devrais avoir comme ensemble de solutions un espace vectoriel de dimension 6.

C'est en rajoutant les conditions:
a+b+d-f-h-i=0
b+c+f-d-g-h=0

que l'on obtient 5 formes linéraires sur [latex]\R^{9}[/latex] et donc un ensemble de solutions qui est une espace vectoriel de dimension 4.

Dites moi si je me trompe.

 #17 - 04-11-2010 19:31:32

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

sufo"clou"

@Lesingemalicieux, oui, je pense que tu te trompes.
Le système est décrit en trois dimensions (jusque là, tout va bien!)
La condition d'équilibre est que la somme des moments des poids (/au clou) soit nulle.
Or, tous les moments sont dans le plan du plateau. En projetant ces moments sur nos axes de référentiel, on obtient alors deux équations (aucune force tend à faire tourner le plateau sur le clou).
On a le choix pour le système d'axes. Soit on prend l'horizontale et la verticale (plus simple), soit on prend les diagonales. On est libre du choix des axes d'ailleurs, il y a une infinité de possibilités, mais le fait de prendre les axes de symétrie, simplifie les équations.

Franck en a parlé dans sa réponse.
soit une configuration d'équilibre:

m1 m2 m3
m4 m5 m6
m7 m8 m9

On a avec l'horizontale et la verticale:
m1+m2+m3=m7+m8+m9
m1+m4+m7=m3+m6+m9

Qui est équivalent à (suivant les diagonales):
m4+2*m1+m2=m8+2*m9+m6
m4+2*m7+m8=m2+2*m3+m6

J'espère avoir été assez clair. smile

 #18 - 04-11-2010 20:04:23

supercab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 20

Sudo"clou";

Pourquoi dans l'équilibre suivant les diagonales les poids m1, m9, m3 et m7 ont un facteur 2?

 #19 - 04-11-2010 20:23:56

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

sudo"clou&qyot;

Parce qu'elles sont deux fois plus loin (suivant les diagonales) du clou.

 #20 - 04-11-2010 20:38:39

supercab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 20

Sudo"c;lou"

La prochaine fois je réfléchirai avant de poser des question dans le genre roll. De toute façon j'ai toujours eu un problème avec les moments... (Je sais il y a d'autres manières de voir ça mais fallait bien que je trouve une excuse ^^)

 #21 - 04-11-2010 21:19:26

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

sudo"clou&qupt;

D'accord avec toi, supercab, l'espace des solutions est de dimension 6 :

supercab a écrit:

Je suis d'accord avec Le Singe Malicieux.

Or tu as 3 formes linéaires sur [latex]\R^{9}[/latex] donc tu devrais avoir comme ensemble de solutions un espace vectoriel de dimension 6.

Mais comme l'a dit luthin après, les deux équations que tu ajoutes son combinaisons linéaires des deux premières que je donne.

L'origine de ces deux équations est simple : on écrit que le barycentre des points
A(-1,1) B(0,1) C(1,1)
D(-1,0) E(0,0) F(0,1)
G(-1,-1) H(0,-1) I(1,-1)
affectés respectivement des poids a,b,c,d,e,f,g,h,i est (0,0). Ce qui donne deux équations, l'une pour l'abscisse et l'autre pour l'ordonnée.

 #22 - 04-11-2010 21:28:08

supercab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 20

Sudo"clou";

Oui oui, je retire ce que j'ai dis. Sauf que du coup les solutions forment un espace vectoriel de dimension 6 (et non 4)

Spoiler : [Afficher le message] (A moins que ça aussi je dois le retirer?)


EDIT: faut que j'arrête de dire n'importe quoi

 #23 - 04-11-2010 21:33:55

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Sudo"c;lou"

Merci pour ta réponse luthin smile
Mais deux choses m'interpellent :

1/

supercab a écrit:

Pourquoi dans l'équilibre suivant les diagonales les poids m1, m9, m3 et m7 ont un facteur 2?

luthin a écrit:

Parce qu'elles sont deux fois plus loin (suivant les diagonales) du clou.

Il me semble qu'elles ne sont pas deux fois plus loin, Pythagore et son célèbre théorème le démontre.

2/
Je prends une réponse au hasard :
2  7  6
9  5  1
4  3  8

Il me semble que l'équilibre doit être fait également suivant les deux axes des diagonales. Ainsi :
7+6+1 doit être égal à 9+4+3
et 2+7+9 doit être égal à 1+3+8

Dans ce cas précis :
7+6+1=14  et  9+4+3 = 16  :  le plateau penchera sur le côté bas-gauche
2+7+9 = 18  et  1+3+8 = 12  :  le plateau penchera sur le côté haut-gauche

Conclusion : le plateau penche sur le côté gauche, est n'est pas en équilibre.


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #24 - 04-11-2010 21:57:38

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

sudo"clou&quit;

@lesingemaliceux:

1) j'ai aussi ajouté entre parenthèses "suivant les diagonales". Il faut en fait projeter les distances sur les diagonales.
Dans ton exemple, la masse de 1Kg a la même action sur l'équilibre suivant la diagonale "4-6" qu'une masse identique placée sur la diagonale au milieu de "5-6".

2) Les masses dans les coins, sont plus loin du clou, "leur bras de levier" est donc plus important (si on se réfère aux diagonales). L'équilibre suivant les diagonales s'écrit pour ton exemple:
7+2*6+1= à 9+2*4+3
2+2*7+9 =1+2*8+3

 #25 - 04-11-2010 22:03:06

Yannek
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sido"clou"

Non, LeSingeMalicieux, l'important est que le barycentre des points affectés des poids soit le point du clou.

Que penses-tu de cet exemple d'équilibre (un peu hors sujet mais peut être convaincant) ?

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