Enigme Angle mystère @ Prise2Tete

Migou · #1

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur cette question de géométrie sur un réseau social.

Elle paraît simple mais elle déroute pas mal de gens.

ABCD est un carré, trouvez l'angle x.

gwen27 · #2

Sans trop de mal , je mise sur 65°
Ce sont juste de bêtes somme d'angle à 90 ou 180.

Migou · #3

Salut gwen,

C'est la bonne réponse, mais je ne m'en suis pas sorti avec des simples sommes d'angles.

Du coup je veux bien le détail de ton calcul.

gwen27 · #4

En rajoutant juste un petit morceau, et en utilisant le fait que AB=AD, on voit vite que AE est la bissectrice de FAH et donc de FEH. puisqu'elle est la médiatrice de FH.
Reste les petits calculs d'angles.

Vasimolo · #5

Ces problèmes paraissent toujours mystérieux parce qu'ils sont présentés à l'envers . Qu'à fait le concepteur , il est parti d'un triangle dont les angles sont 45° , 65° et 70 ° . Il fait ensuite basculer le triangle autour d'un des côtés de l'angle de 45° et ainsi de suite jusqu'à fermer la boucle . Le carré apparait ensuite de façon évidente .

Sinon la valeur de l'angle se révèle bêtement avec un logiciel de géométrie dynamique .

Vasimolo

Vasimolo · #6

Une illustration :

Vasimolo

aunryz · #7

Les mesures rajoutées sur la figure sont le résultat de calculs utilisant la somme des angles d'un triangle a pour mesure 180°

Rotation du carré ABCD, de centre A et d'angle 20°
suivi d'une homothétie de rapport AF/AD
on obtient le carré AFHG dont (AH) est un axe de symétrie (20+25 = 45 ; AG=AF)
d'où mesure de Angle(AEG) = mesure de Angle (AEF) = 65°

Franky1103 · #8

115-atan((1-tan(20))/(1-tan(25)))=65
mais je ne m'en sors pas autrement

nodgim · #9

On a l'angle Y, juste à droite de X, qui vaut Arc tg Y :

tg Y = (1-sin20°)/(1-sin25°)

Et donc X = 180°-(90°-25°)-Y

Migou · #10

Bonjour,

On fait le plein de bonnes réponses !

En effet on peut procéder par un calcul avec une arctangente. Mais on peut aussi procéder avec une approche plus géométrique (sommes d'angles, quite à sortir de la feuille).

Cela évite d'avoir recours à une approximation pour la valeur l'angle. Meme si je constate que ceux qui ont choisi le calcul tombent juste.

gwen27 · #11

Comme dit vasimolo, la plupart des problèmes de ce genre a une solution simple et une conception simple.

Le truc est de trouver l'astuce... Ou de savoir manier les formules trigonométriques.
(je sais faire, mais je suis fainéant.)

Migou · #12

Bonsoir à tous,

En conclusion, les différentes solutions géométriques proposées consistaient d'une façon ou d'une autre à exploiter la symétrie par rapport à l'axe (AE), pour montrer que l'angle x est égal à l'angle (AEB).

La morale est qu'il fallait sortir légérement du carré pour pouvoir constater cette symétrie.

Quant à moi, ma solution a, si l'on peut dire, exploité la troisième dimension, puisque j'ai procédé par pliage selon les axes (AE) et (AF)...

Ci-dessous ma version. Je conclus que B et D se rejoignent par pliage (par symétrie axiale) en un point unique B' et par conséquent, x = (AEB') = (AEB) = 65°

Vasimolo · #13

@Migou

Il faut se méfier des biais quand on connait le résultat . Ta démonstration est acceptable à condition d'expliquer pourquoi B et D se retrouvent en B' . En fait ça marche car B' est le deuxième point d'intersection des cercles de diamètre [AE] et [AF] . La simplicité n'est qu'apparente

Vasimolo

Migou · #14

Coucou Vasimolo,

J'avais écrit une démonstration sérieuse, dont les grandes lignes disaient :

si on calcule les symétriques AEB' et AFD' de ces deux triangles,

1) les droites (AB') et (AD') sont identiques car elles passent par A et elles ont la même pente (en coordonnées polaires centrées sur le point A.

2) de plus AB' = AD' (en longueur) donc B' = D'

3) ensuite, les angles étant droits, A B' F sont alignés.

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