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 #1 - 06-07-2009 10:12:02

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×7×223

pSirale de nombres entiers

Soit la série des nombres entiers disposés en forme de spirale, par exemple voici la spirale des 16 premiers :

Code:

10  9  8  7
11  2  1  6
12  3  4  5
13 14 15 16

On note chaque nombre par un couple (x,y) de coordonnées cartésiennes en prenant pour origine le nombre 1 (0,0), puis 2 (-1,0), 3 (-1,-1), 4 (0,-1), 5 (1,-1) etc.

Quelles seront les coordonnées du nombre 1 000 000 ?

--

Après le succès de papiauche au MMM#35, WildAboutMaths nous propose son exercice mathématique #36 toujours avec $10 à la clé.

Modalité du concours : http://wildaboutmath.com/2009/07/05/mmm … l-numbers/



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#0 Pub

 #2 - 06-07-2009 13:32:18

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Spirle de nombres entiers

on a 4(0;-1); 16(1;-2);36(2;-3) d 'où (2n)² a pour coordonnée(n-1;-n)

Montrons le par récurrence

n=1 4=(2*1)² a pour coordonnée (1-1;-1)=(0;-1)

Supposons vrai au rang n montrons le au rang n+1

Les (2n)² nombres qu'il y a sont disposés dans un carré de côté 2n.

On forme le carré suivant.

On ajoute 2 à chaque fois à la taille du côté du côté précédent donc le côté sera 2n+2
Donc le point de coordonnée (n;-(n+1)) aura l'entier suivant:le nombre précédent +le périmètre du carré suivant dont

(2n)²+4*(2n+1)=4n²+8n+4=4(n²+2n+1)=4(n+1)²=(2(n+1))²

Donc (2(n+1))² a pour coordonnée (n;-(n+1)) 

Donc on vient de le montrer au rang n+1

Donc c'est vrai pour tout n>0 le nombre (2n)² a pour coordonnées (n-1;-n)

1 000 000=(2*500)² donc 1 000 000 a pour coordonnée (499;-500)

 #3 - 06-07-2009 15:02:11

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

spirale de nombres enriers

pour mon raisonnement, j'ai eu l'idée que la spiral est formé de 2 partie distincts:

le corp, formé du carré,
et de la queue, qui s'enroule autour du corp.
lorsque la queue fait tout le tour du corp, on concidere alors qu'ils forme a eux deux un nouveau corp, "plus grand".

voici une representation de mon idée.:

http://img40.imageshack.us/img40/9507/enigmemathspiral.jpg

on remarque alors que le corp est un carré de longeur pair.
conciderons le 1er carré celui en 2*2, c'est le carré de rang N.
alors la taille du carré est : (2n)²
et le dernier chiffres ecrit etant celui en "bas a droite" il a pour coordonné :
(n-1, -n), en effet a chaque nouveau carré on va se "decaler" d'un cran vers le bas et vers la droite.

pour trouver les coordonnés du dernier chiffre, il faut trouver le plus grand chiffre pair qui élevé au carré est inférieur, puis chercher la queue....
pas beaucoup plus dur, mais nous n'en avons même pas besoin ici puisque (2*500)² = 1 000 000, il s'agit donc du "corps de rang 500"
et les coordonnées du dernier chiffres sont donc :
(499,-500)

cqfd.

 #4 - 06-07-2009 17:23:09

Antonio0034
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 45

Spirae de nombres entiers

Salut,

Tout les résultats énoncés sont valables pour n différent de 0.

Je suis parti de l'origine, et j'ai cherché comment calculer le nombre appartement à (-n,0) :
Tout d'abord la dfférence entre (-n,0) et (-n+1,0) --> 1+8(n-1)
Ensuite la Valeur de (-n,0) --> n[1+4(n-1)]+1

Puis la même chose avec (n,0) :
Différence entre (n,0) et (n-1,0) --> 5+8(n-1)
Valeur de (n,0) --> n[5+4(n-1)]+1

Puis la même chose avec (0,n) :
Différence entre (0,n) et (0,n-1) --> 7+8(n-1)
Valeur de (0,n) --> n[7+4(n-1)]+1

Puis la même chose avec (0,-n) :
Différence entre (0,-n) et (0,-n+1) --> 3+8(n-1)
Valeur de (0,-n) --> n[3+4(n-1)]+1

Ainsi on doit résoudre l'équation n[1+4(n-1)]+1=1000000

La Réponse est comprise entre 500 et 501

On Applique donc n=500 pour chacune des hypothèses précédentes.

On trouve ainsi
(-500,0) = 998501
(500,0) = 1000501
(0,500) = 1001501
(0,-500) = 999501

Ainsi à l'aide de ce tableau on peut facilement calculer la position (500,-500) en rajoutant 500 à (0,-500) : 999 501+500 = 1 000 001
ou en enlevant 500 à (500,0) : 1 000 501 -500 = 1 000 001

La case contenant le nombre 1 000 000 est donc la précédente, soit (499,-500)

 #5 - 06-07-2009 19:15:00

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Spirale de nombress entiers

J'ai écrit rapidement un programme ce matin et j'ai trouvé x=499, y=-500.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 07-07-2009 15:29:41

Golfc
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 803

Spirale de nmobres entiers

1 000 000  sera en coordonnées {+499,-500}


Le temps est sage, il révèle tout. (Θαλής)

 #7 - 07-07-2009 16:51:06

Saymonnlakiff
Visiteur

Spirale de nombres enntiers

j'ai trouvé (499;-500)

En effet, en regardant le début de la spirale, on peut noter que sur la diagonale qui passe par les nombres 2, 4 et 16 (puis ensuite 36, 64, 100...) on ne trouve que les carrés des nombres pairs. en notant (Xn,Yn) les coordonnées du nombre n (qui rappelons-le est un carré d'un nombre pair), on vérifie par récurrence que les coordonnées des nombres sur cette diagonale vérifient :

2Xn+2=racinecarrée(n)
Yn=-racinecarrée(n)/2

D'où le résultat !

Simon

 #8 - 07-07-2009 17:22:42

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Spiale de nombres entiers

1 000 000 se situe normalement en ( 499,-500 ) wink

 #9 - 07-07-2009 17:27:47

lefredj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 115

Spirale d enombres entiers

On peut remarquer que lorsque le carré de nxn chiffres est terminé, dans la construction de la spirale, le dernier chiffre écrit est n². D'autre part, n est toujours pair par construction. notons le n=2p.
Les coordonnées de (2p)² sont alors ((p-1),p) (en bas à gauche du carré, c'est  facilement montrable par récurrence).

Ensuite, on résoud (2p)²= 1 000 000. Ça nous donne p = 500.
les coordonnées de 1 000 000 sont donc (499,-500).

 #10 - 07-07-2009 19:21:45

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Spirale de nombres enntiers

On s'aperçoit tres rapidement que les entiers carrés pairs forment les coins inférieurs droits des formes carrées de coté pair à peu près centrées en (0,0).
[TeX]
4 \maps (0,-1)
16 \maps (1, -2)
36 \maps (2, -3)
64 \maps (3, -4)
\ldots
[/TeX]
On en déduit directement que les coordonnées des carrés pairs sont
[TeX](2x)^2 \maps (x-1, -x)[/TeX]
Comme 1000000 est le carré de 1000 ses coordonnées sont (499, -500)

Sinon a propos de spirale d'entier, il y a qques années un copain m'avait parlé d'une observation déconcertante.
Si on coche les nombres premiers sur une vaste spirale d'entiers alors on voit apparaitre des forme a peu pres régulieres ( des diagonales si je me souviens bien). On a meme reussi a retrouver des fonctions célèbres pseudo génératrice de nombres premiers en identifiant les formes les plus régulieres.
Mais aucun vrai résultats n'a été trouvé a ma connaissance a part ces surprenante observations

 #11 - 07-07-2009 21:56:22

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

spirale de nombres entuers

J'attends d'avoir touché mon prix pour le faire suivre au ch'Ef. lol

Le colimaçon inscrit les carrés successifs sur deux diagonales.
Celle partant de (0,0) vers le Nord Ouest (de pas (-1,+1)) pour les impairs et celle partant de (0,-1) vers le Sud Est pour les pairs (de pas (+1,-1)).
[TeX]1000000= 1000^2[/TeX]
Question de poteaux et d'intervalles:
On décrit le [latex](1000/2) -1 = 499[/latex] ème nombre pair.

Ma réponse:

(499,-500)


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #12 - 09-07-2009 17:26:53

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 724
Lieu: 37

Spirale dee nombres entiers

Si on se déplace dans la grille en diagonale du 1 vers le 5, 17 ....

On a la suite Uo=1
Un=Un-1 + 4 + (n-1) * 8
pour l'indice 500 on obtient U500 = 1 000 001

Le nombre 1 000 001 se situe donc aux coordonnées (500,-500)
donc le nombre 1 000 000 se situe donc aux coordonnées (499,-500)

il y a surement un moyen plus élégant (et surtout plus généraliste) de trouver la réponse ...


When i was a child i was a jedi

 #13 - 10-07-2009 22:17:08

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Spirale de nombres enties

1.000.000 est aux coordonnées (499;-500) si je ne me suis trompé nulle part. Pas de preuve de deux pages cette fois-ci smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 10-07-2009 22:37:51

doum37
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 17
Lieu: sur la Loire

Spirale de nombres entierrs

Les nombres de 1 à 1000000 vont s'inscrire dans un carré de côté 1000. Le nombre 1000000 sera en bas à droite, il aura donc pour coordonnées (499,-500)

 #15 - 19-07-2009 12:17:08

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×7×223

Spiirale de nombres entiers

big_smile vous allez ruiner le créateur du jeu. Bravo MthS, et quelle belle écriture anglaise wink

http://wildaboutmath.com/2009/07/18/mmm … rs-winner/

 #16 - 19-07-2009 14:00:45

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Spirale de nombres netiers

Excellent et félicitations à Mathias lollollol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #17 - 20-07-2009 09:22:59

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

spieale de nombres entiers

Merci, merci big_smile

20 au bac de maths et 940 au TOEIC, je savais que ça paierait un jour... Bon, "seulement" $10 cette fois-ci mais ce n'est qu'un début, un jour je conquerrai le monde lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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(1) — Devinette combien de 1 entre 1 a 999 (1) — Combien de fois peut on ecrire le chiffre 1 de 1 a 999 (1) — Combien de fois le chiffre 7 entre 1 et 1000 (1) — Nombre entiet inferieur a 1000 (1) — Conbien de 2 entre 0 et 1000 (1) — Combien de fois 1 jusqu a 1000 (1) — Comment trouver combien de 1 de 1 a 999 (1) — Combien de 1 dans 999 (1) — Combien faut il de mots differents pour ecrire les nombres jusqu a 100 (1) — Combien de fois 0 entre 1 et 999 (1) — Combien de fois utiliser le nombre 1 pour ecrire tout les nombe entier de 1 a 999 (1) — Combien de nombre naturel entre 10 et 100 (1) — Combien ecrira t on de chiffre si on ecrit tout les nombres de 1 a 100? (1) — Combien il y a de 5 dans la serie de 1 a 500 (1) — Combien de fois utiliser un pour ecrire entier de 1 a 999 (1) — Combien y a t il de chiffres entre 1 et (1) — Pour ecrire les naturels de 1 a 999 combien de fois le chiffre 1 est il utilise? (1) — Je suis le plus grand nombre inferieur a30 000 ecrit seulement avec des chiffres pairs (1) — Cobien de fois 1 entre 1 et 999 (1) — Le nombre entier inferieur a 10 000 (1) — De1a999 combien ya t il de chiffres sans 0 (1) — Couple d entier relatifs dont le produit donne -24 (1) — Combien de fois le nombre 1 de 0 a 999 (1) — Combien y a-t-il de nombre pairs entre (1) — Entier naturel comprise entre 1 et 999 (1) — Combien il y a t il de 1 en comptant jusqu a 999 (1) — Nombres entiers inferiere a 1000 avec les chiffres 1-2-3 et 4 (1) — Combien de fois trouve-t-on le chiffre 1 dans la serie de nombres entiers de 0 a 999 (1) — Quel est le nombre entier leplus pres 72 (1) — Combien de paire de nombres naturels peut-on former dont la difference est 100 (1) — Combien il y a de 4 entre 0 et 1000 (1) — Combien de fois trouve t on le chiffre 9 dans la serie d entier naturel de 1 a 100 (1) — Trouver un nombre inferieur a 1000 (1) — Spirale de chiffre (1) — Explication combien de fois 1 entre 1 et 999 (1) — Quelle est la difference entre la somme des 1000 premiers nombres pairs et la somme des 1000 premiers nombre impairs (1) — Quelle est la nombre qui se trouve entre 100 et 999 (1) — Combien de fois est utilise le chiffre 1 entre 1 et 500 (1) — Comment trouver 1000 en prennant 8 fois le chiffre 8 (1) — Quel est la difference entre la somme des 1000 premiers nombres pairs et la somme des 1000 premiers nombres impairs (1) — Quels sont nombres entiers inferieurs a 1000 ecrits (1) — Combien faut il de 1pour aller a 999 (1) — Nombre entier inferieur a 1000 a l aide de 3 (1) — Combien de paires de nombre naturels peux-t-on former dont la somme est 23 (1) — Calcul le plus efficacement les entiers de 1 a 999 (1) — Tous les nombres entiers inferieur a 1000 comprenant le chiffre 3 (1) — Combien de nombre entier de 1 a 100 (1) — Combien de fois le nombre 5 apparait dans 100 (1) — Combien de9 entre 0 et 999 (1) — Chiffre en spiral (1) — Combien de 9 entre 1 et 999 (1) — Calculer le plus efficacement la somme des entiers de 1 a 999 (1) — Combien de chiffre 1 entre 1 et 500 (1) — Combien de 1 ya til entre 0 et 999 (1) — Combien de fois utilise 1 dans les nombres entiers de 1 a 999 (1) — Les nombres naturels inferieurs a 1.000.000 (1) — Nombres entiers inferieurs a 10 000 ecrits uniquement avec 1234 (1) — Combien faut il de mots differents en france pour ecrire tous les nombres de 1 a 100 ? (1) — Spirale des nombres de 0 a 999 (1) — Combien de 1 jusqu a 999 (1) — En comptant jusqu a 100 quel chiffre apparait (1) — Combien de mot utilisee pour de crire le nombe plus petit que 100 (1) — Donner tous les nombres entiers inferieures a 1000 ecrit uniquement a l aide du chiffre 3 (1) — Cobien de 1 jusqu a 999 (1) — Peut on ecrire 2014 comme la somme de 3 entiers consecutifs? et 2015 et 2016? y a t il une regle? (1) — Nombres entiers ecrit uniquement avec le chiffre 3 (1) — Combien de fois le nombre 9 (1) — De 1 a 999 combien y a t il de 1 (1) — Combien de fois le chiffre 3 apparait il jusqu a 1285 (1) — Combien utilise t-on le chiffre 9 entre 1 et 999 (1) — 1 2 3 4 quel sont les nombres entier inferieur a 1000 (1) — Paires naturel difference 100 (1) — Combien de fois utiliser le chiffre 1 pour ecrire les nombre de 1 a 999 (1) — Combien defois il ya t il le chiffre 1 entre 1 et 500 (1) — Combien de fois le chiffre 9 a 999 (1) — 0 a 1000 il ya combien de 9? (1) — Conbien de nombre entier de 1 a 100 (1) — Petit nombre entier sup?rieur a15 (1) — Trouver tout les nombres entiers inferieur a 1000 ecris uniquement a l aide du chiffre 3 (1) — Combiende fois 9 trouve ton le chiffre 9 dans la serie de nombres entiers 1 a 100 (1) — Combien y a t il de 9 entre 0 et 9 999 (1) — Combien de fois utilise-t-on le chiffre 1 dans la serie de nombres entiers de 1 a 10000 (1) — 0 a 999 combien de fois 1 (1) — Trois entiers relatifs ont pour produit ? 512 . combien y a-t-il de possibilites (1) — Nombres entiers inferieurs a 1000 uniquement a l aide du chiffre 3 (1) — Donner tous les nombres entiers inferieurs a 1000 ecrit uniquement a l aide du chiffre 3 (1) — Ecrit les mot differents utilises pour les nombre entiers de 0 a 100 (1) — Combien de fois le chiffre deux dans la liste des departements francais (1) — Combien de fois tu utilises le chiffre 1 pour ecrire de 1 a 999 (1) — Combien de chiffres difference faut il pour ecrire le carre de nombre 999999 (1) — Nombre entier inferieur a 1000 ecrit avec le chiffre 3 (1) — Si tu ecris les nombres entiers jusqu a 276 (1) — Quels sont les nombres entiers inferieurs a 100 (1) — Nombre 7 et spirale (1) — Chiffre premier entre 100 et 999 (1) — Comment faire pr savoir combien de fois on ecrit le chiffre 3 quand on ecrit les chiffres de 1 a 999 ? (1) — Detetminer le nombre d entier naturel se trouvant entre 1 et 999 y compris 1 et 999 (1) — Tous les nombres entiers inferieurs a 1000 a l aide du chiffre 3 (1) — Quelle est la difference entre la somme des 1000 premiers nombres pairs et la somme de 1000 premiers nombres impairs? (1) — Combien de 7 jusqu a 999 (1) — Combien trouve t on de 1 de 1 a 999 (1) — Pour ecrire tous les entiers de 1 a 1000 inclus combien de chiffre 1 sont ils necessaires (1) — Combien de nombres entiers inferieurs a 1000 en considerant les chiffres 12 3 (1) — Combien de fois le nombre 1 entre 1 et 179 (1) — Combien de nombres entiers a 1 chiffre (1) — Combien de paires de nombres naturels peut-on former dont la difference est 100 (1) — Combien a t il de nombre entier entre 100 et 999 (1) — La spirale des chiffres (1) — Combien de chifffre 1 entre 0 et 999 (1) — En comptant de 1 a 100 quel est le mot le plus prononce ? (1) — Nombres de trois chiffres entre 100 et 999 dont la somme est 4 (1) — Determiner le nombre entier naturel se trouvant entre 1 et 999 (1) — Donner tous les nombres entiers inferieurs a 1000 ecrit uniquement a l aide du chiffres 3 (1) — Serie de chiffre+spirale (1) — Enigme sur les coordonnee des nombres relatifs trouver 5 lettre pour ecrire un mot (1) — Programme de 10 nombre compris entre 1 et 100 quel est le plus petit parmi ces 10 nombre programme vba (1) — Nombre entiers inferieur 1000 du chiffre 8 (1) — Tous les nombre entier inferieur a 15 (1) — Spirale nombres premiers coordonnees 2010 (1) — Combien de nombres entiers avec 1234 inferieurs a 1000 (1) — Combien y a t il le chiffre 1 dans tous les nombres entier jusqu a 999 (1) — Combien il y a de 1 entre 1 et 999 (1) — Determiner entier naturel entre 1 et 999 (1) — Donner tout les nombres entier inferieur a 1000 ecrit uniquement avec le chiffre 3 (1) — Nombre entier jusqu a mille avec le chiffre 3 (1) — Calculer le plus efficacement les entiers de 1 a 999 (1) — Nombre entier inferieur a 1000 ecrit uniquement a l aide du chiffre 3 (1) — Combien de nombre entier precede le nombre 325 (1) — De 0 a 999 combien yatil de 1 (1) — +enigne en utilisant 5 fois le 5 comment trouver 100 (1) — Coment calculer rapidement 10 001x10 001-9 999x9 999 ? (1) — Combien de fois on ecrit 1 entre 1 et 999 (1) — Combien de fois ecrit on le chiffre 1 dans les nombres entiers de 0 a 999? (1) — Combien de fois 1 est utilise entre 0 et 999 (1) — Spirale (1) — Combien de fois y a t il? (1) — Combien y a tile de 1 pour aller jusqu a 999 (1) — Combien y a t il de 5 entre 0 et 1000 (1) — Le plus grand nombre entier inferieur a 15 est (1) — (? (999999)??(444444))? (1) — Christophe & co reponse enigme 12 (1) — Combien de fois ecrit on le chiffre 7 entre 0 et 999 (1) —

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