on a 4(0;-1); 16(1;-2);36(2;-3) d 'où (2n)² a pour coordonnée(n-1;-n)

Montrons le par récurrence

n=1 4=(2*1)² a pour coordonnée (1-1;-1)=(0;-1)

Supposons vrai au rang n montrons le au rang n+1

Les (2n)² nombres qu'il y a sont disposés dans un carré de côté 2n.

On forme le carré suivant.

On ajoute 2 à chaque fois à la taille du côté du côté précédent donc le côté sera 2n+2
Donc le point de coordonnée (n;-(n+1)) aura l'entier suivant:le nombre précédent +le périmètre du carré suivant dont

(2n)²+4*(2n+1)=4n²+8n+4=4(n²+2n+1)=4(n+1)²=(2(n+1))²

Donc (2(n+1))² a pour coordonnée (n;-(n+1)) 

Donc on vient de le montrer au rang n+1

Donc c'est vrai pour tout n>0 le nombre (2n)² a pour coordonnées (n-1;-n)

1 000 000=(2*500)² donc 1 000 000 a pour coordonnée (499;-500)

Salut,

Tout les résultats énoncés sont valables pour n différent de 0.

Je suis parti de l'origine, et j'ai cherché comment calculer le nombre appartement à (-n,0) :
Tout d'abord la dfférence entre (-n,0) et (-n+1,0) --> 1+8(n-1)
Ensuite la Valeur de (-n,0) --> n[1+4(n-1)]+1

Puis la même chose avec (n,0) :
Différence entre (n,0) et (n-1,0) --> 5+8(n-1)
Valeur de (n,0) --> n[5+4(n-1)]+1

Puis la même chose avec (0,n) :
Différence entre (0,n) et (0,n-1) --> 7+8(n-1)
Valeur de (0,n) --> n[7+4(n-1)]+1

Puis la même chose avec (0,-n) :
Différence entre (0,-n) et (0,-n+1) --> 3+8(n-1)
Valeur de (0,-n) --> n[3+4(n-1)]+1

Ainsi on doit résoudre l'équation n[1+4(n-1)]+1=1000000

La Réponse est comprise entre 500 et 501

On Applique donc n=500 pour chacune des hypothèses précédentes.

On trouve ainsi
(-500,0) = 998501
(500,0) = 1000501
(0,500) = 1001501
(0,-500) = 999501

Ainsi à l'aide de ce tableau on peut facilement calculer la position (500,-500) en rajoutant 500 à (0,-500) : 999 501+500 = 1 000 001
ou en enlevant 500 à (500,0) : 1 000 501 -500 = 1 000 001

La case contenant le nombre 1 000 000 est donc la précédente, soit (499,-500)

1 000 000  sera en coordonnées {+499,-500}

1 000 000 se situe normalement en ( 499,-500 )

On s'aperçoit tres rapidement que les entiers carrés pairs forment les coins inférieurs droits des formes carrées de coté pair à peu près centrées en (0,0).
[TeX]
4 \maps (0,-1)
16 \maps (1, -2)
36 \maps (2, -3)
64 \maps (3, -4)
\ldots
[/TeX]
On en déduit directement que les coordonnées des carrés pairs sont
[TeX](2x)^2 \maps (x-1, -x)[/TeX]
Comme 1000000 est le carré de 1000 ses coordonnées sont (499, -500)

Sinon a propos de spirale d'entier, il y a qques années un copain m'avait parlé d'une observation déconcertante.
Si on coche les nombres premiers sur une vaste spirale d'entiers alors on voit apparaitre des forme a peu pres régulieres ( des diagonales si je me souviens bien). On a meme reussi a retrouver des fonctions célèbres pseudo génératrice de nombres premiers en identifiant les formes les plus régulieres.
Mais aucun vrai résultats n'a été trouvé a ma connaissance a part ces surprenante observations

Si on se déplace dans la grille en diagonale du 1 vers le 5, 17 ....

On a la suite Uo=1
Un=Un-1 + 4 + (n-1) * 8
pour l'indice 500 on obtient U500 = 1 000 001

Le nombre 1 000 001 se situe donc aux coordonnées (500,-500)
donc le nombre 1 000 000 se situe donc aux coordonnées (499,-500)

il y a surement un moyen plus élégant (et surtout plus généraliste) de trouver la réponse ...

Les nombres de 1 à 1000000 vont s'inscrire dans un carré de côté 1000. Le nombre 1000000 sera en bas à droite, il aura donc pour coordonnées (499,-500)

Excellent et félicitations à Mathias