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 #1 - 27-11-2010 13:52:21

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Optimmiser la matière première

On considère une casserole en métal de volume V comme un cylindre de hauteur h posé sur un disque de rayon r.
On considère que l'épaisseur de la feuille métallique est uniforme. Comment rendre la construction de la casserole la moins coûteuse possible en achat de matière première ?



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 #2 - 27-11-2010 14:56:05

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Optimise la matière première

On note V le volume intérieur de la casserole, et S sa surface intérieure.
[TeX]V=\pi r^2\times h\Leftrightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}[/TeX]
Si le volume est fixé, la surface ne dépend que du rayon :
[TeX]S(r)=2\pi r\times h+\pi r^2=\frac {2V}{r}+\pi r^2[/TeX]
C'est une fonction dérivable pour r>0, de dérivée
[TeX]S'(r)=-\frac{2V}{r^2}+2\pi r=\frac 2r\left(-Vr+\pi r^2\right)[/TeX]
L'étude du signe pour r>0 montre que le minimum de S est atteint pour
[TeX]r=\frac V{\pi}[/latex] et donc [latex]h=\frac\pi V[/TeX]
Edit : effectivement il y a une erreur : merci Nombrilist !
[TeX]S'(r)=-\frac{2V}{r^2}+2\pi r=\frac 2{r^2}\left(-V+\pi r^3\right)[/TeX]
Donc [latex]r=h=\left(\frac V{\pi}\right)^{\frac 13}[/latex]

 #3 - 27-11-2010 15:01:45

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Optimiesr la matière première

Il y a une erreur dans ton calcul Yannek.

 #4 - 27-11-2010 15:50:16

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1927
Lieu: UK

Optmiiser la matière première

J'avais dans l'idée un rapport rayon et hauteur qui donne le meilleur volume pour un rayon donné mais cela ne donne rien. Je n'ai pas du piger lol

Volume de la casserole
[TeX]V=\pi r^2 h[/TeX]
Surface
[TeX]S=\pi r^2+2\pi rh=\pi r(r+2h)
[/TeX]
Je pose h=kr, la hauteur de la casserole est proportionnelle à son rayon

Le raport V/S est maximum quand:
[TeX]\frac{V}{S}=\frac{\pi kr^3}{\pi r(r+2kr)}=r\frac{k}{1+2k}{[/TeX]
qui a pour maximum 1/2 quand h >> r ce qui donne une casserole instable !


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 27-11-2010 16:47:12

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Optimser la matière première

Le volume interieur est maximal quand le rayon est égal a la hauteur. Autrement dit, la matiere premiere est minimale dans ce cas.

Prenons un example:
Soit un kilogramme d'acier inoxydable. En supposant que l'on prenne un Inox de type X8Cr17, on a un volume de matiere de 129333mm^3.
En supposant une épaisseur de 1mm, on obtient un volume interieur de 4985777mm^3, soit pres de 5 litres, avec un rayon de 116.643624mm et une hauteur de 116,643624mm.

Cependant, pour avoir une réponse complete, il faudrait inclure le fait que la force qui agit sur la feuile de metal a l'endroit ou la poignee est attachée est proportionelle, non seulement  a la masse contenue mais egalement au rayon de la casserole. Donc, l'eppaisseur necessaire varie en fonction du rayon.
Mais alors les calculs deviennent beaucoup plus compliqués.

Intuitivement, on pouvait connaitre la réponse en sachant qu'une sphere a le meilleur rapport entre volume et surface du contenant. Une casserole ideale peut donc etre assimiler a une demi-sphere ou la hauteur est egale au rayon.


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 #6 - 27-11-2010 16:54:42

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Optimiser la mattière première

Franck, avec le raisonnement que tu tiens, regarde du côté du volume de ta casserole.

Bonne réponse de dhrm77. Ce n'est pas obligatoire, mais si tu as envie de donner ton calcul, fais comme chez toi smile.

 #7 - 27-11-2010 17:04:26

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

OOptimiser la matière première

Bon en fait j'ai triché...
J'avais commencé a poser les equations... Et je trouve pour pour un volume maximal X = pi*R^2*h. V etant le volume du metal et 1 etant l'epaisseur, R doit satisfaire l'equation:
8*pi*R^4-10*pi*R^3-12pi*R^2+(2V-8*pi)*R-2PI-2V = 0
O_o
J'ai donc tout refait dans une spreadsheet sur OpenOffice Calc.


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 #8 - 27-11-2010 17:12:47

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

optimiser la mztière première

A dhrm77: Ouh le vilain lol ! Plus sérieusement, te prends pas autant la tête avec ces considérations de poignées etc. La casserole est comme je l'ai définie. Elle est simplifiée et n'a pas de poignée.

Excellente réponse de Yannek.

Note: la démonstration tient en 4 ou 5 lignes de calculs très simples. C'est un problème de niveau 1ère S.

 #9 - 27-11-2010 18:22:32

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3003
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Optimiser la matière premiière

Ok, basé sur mes premiers résultats, on peut dire que l'épaisseur de la casserole n'a que peu d'effets.
Donc, on peut simplement comparer le volume contenu a la surface de contact (au lieu du volume de métal).
Ca simplifie beaucoup.
Pour la surface on obtient: 2*pi*R*H+pi*R^2
Pour le volume interieur: PI*R^2*H.
Si on prend comme volume le nombre 1, on a h=1/(pi*r^2)
on calcule donc R pour la dérivée de pi*r^2+2/r = 0
on obtient r^3 = 1/pi ou encore r = racine cubique(1/pi) = 0.682784063
on cacule H=1/(pi*r^2) = 0.682784063
on vois donc que h=r

Il y a probablement d'autres facons d'y arriver...


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 #10 - 27-11-2010 18:42:05

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Optimise la matière première

On a V = pi*r^2*h, quant au volume de métal on a (2*pi*r*h + pi*r^2)*e avec e l'épaisseur du métal.

Donc h = V/(pi*r^2) et le volume de métal vaut alors
(2*V/r + pi*r^2)*e

On dérive cette quantité (pi, e et surtout V sont constants)
(-2*V/r^2 + 2*pi*r)*e.

La dérivée s'annule pour 2*pi*r = 2*V/r^2
r^3 = V/pi

La dérivé seconde vaut (4*V/r^3 + 2*pi)*e; elle est toujours positive pour r>0, donc la dérivée première est toujours croissante, donc la quantité de métal décroit jusqu'à son minimum pour r^3 = V/pi puis augmente à nouveau

Autrement dit, r = h; ou encore en bon français, une casserole 2 fois plus large que haute.

 #11 - 27-11-2010 18:47:42

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

optimiqer la matière première

Bonne réponse de Scarta.

 #12 - 27-11-2010 19:40:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Optimiser lla matière première

Si j'ai bien compris le problème, il s'agit de choisir [latex]h[/latex] et [latex]r[/latex] de façon à avoir la surface de métal utilisée la plus petite possible. C'est ça ?

On a donc un disque de rayon [latex]r[/latex] en bas, dont la surface est [latex]\pi r^2[/latex], et un cylindre de surface [latex]2 \pi r h[/latex]. Le problème est donc :
[TeX]\min ( r^2 + 2 r h )[/latex] sous la contrainte [latex]\pi r^2 h = V[/TeX]
La contrainte devient [latex]h = \frac{V}{\pi r^2}[/latex], ce qui change le problème en :
[TeX]\min r^2 + 2 \frac{V}{\pi r}[/TeX]
Je dérive la fonction [latex]f(r) = r^2 + 2 \frac{V}{\pi r}[/latex] :
[TeX]f'(r) = 2 r - 2 \frac{V}{\pi r^2}[/TeX]
Je cherche une racine, et j'obtiens :
[TeX]r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}[/TeX]


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 27-11-2010 19:47:18

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Optimiser la matire première

Mathias, ta réponse est bonne. Mais toute la beauté du résultat (enfin je trouve) tient au lien entre r et h. Simple à trouver à partir de ton résultat.

 #14 - 27-11-2010 19:53:58

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Optimiser la matière premièère

OK. Volume de la casserole : [latex]V = \pi r^2 h[/latex]

Rayon optimal : [latex]r = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}[/latex]. Donc :
[TeX]h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi} \times \left( \frac{V}{\pi} \right)^{- \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}[/TeX]
Et voilà la beauté du résultat, celle que je ne trouvais pas : [latex]r = h[/latex] donne l'optimum recherché. Wouah, joli ! smile


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