gabrielduflot a écrit:

Sachant que $\sqrt a-{1\over \sqrt a} = \sqrt 5$ combien vaut $a - {1\over a}$

Facile : 5

Sinon, je le tourne dans tous les sens, et je trouve pas

Ca fait plus ou moins trois fois la racine carré de cinq.

bonne reponse de scarta et milou le wiking et enfin mathias
mauvaise reponse  et piode
ATTENTION (A-B)² n'est pas égal à A²-B²

Merci pour ton MP, qui m'a incité à utiliser les trois identités remarquables et pas seulement deux...

Première étape : $a^2-b^2 = (a - b)(a+b)$
$$\left( a - \frac{1}{a} \right) = \left( (\sqrt{a})^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2 \right) = \left( \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) = \sqrt{5} \left( \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} \right)$$
Deuxième étape : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ et $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$$\left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2 = a - 2 + \frac{1}{a} = 5[/latex] soit [latex]a + \frac{1}{a} = 7$$ [TeX]\left( \sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} \right)^2 = a + 2 + \frac{1}{a} = 9[/latex] soit [latex]\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{a}} = 3[/latex] (c'est forcément positif à cause des racines)

Conclusion :

[latex]a - \frac{1}{a} = 3 \sqrt{5}[/TeX]

soit Eq 1: $sqrt a-\frac{1}{sqrt a}=sqrt5$

Eq 1 multiplié par le binôme conjugué donne Eq 2
$$(a-\frac{1}{a})=sqrt5(sqrt a+\frac{1}{sqrt a})$$
Eq 1 élevé au carré
$$a-2+\frac{1}{a}=5$$
j'ajoute 4 de chaque coté
$$a+2+\frac{1}{a}=5+4=9$$
on reconnait une égalité de carrés
$$(sqrt a+\frac{1}{sqrt a})^2=3^2$$
ce qui donne avec Eq2
[TeX](a-\frac{1}{a})=3sqrt5[/latex]

CQFD

edit:
donc, pour finir
[latex]\{{a+\frac{1}{a}=7\atop~a-\frac{1}{a}=3sqrt5} \rm~ \Longrightarrow~ a=\frac{1}{2}(7+3sqrt5)[/TeX]

Les suspects habituels ont répondu J'apporte donc ma contribution pour ne pas être en reste.
[TeX](A-B)^2=A^2-B^2[/latex]. Je plaisante

La difficulté est le signe - car à partir de $sqrt{a}-\dfrac1{sqrt{a}}$ on obtient toujours un signe + en élevant aux puissances paires. Il faut donc passer par ailleurs.

$(sqrt{a}-\dfrac1{sqrt{a}})^2=a+\dfrac1{a}-2=5$ d'où $a+\dfrac1{a}=7 (1)[/TeX][TeX](a+\dfrac1{a})^2=a^2+\dfrac1{a^2}+2=49$ d'où $a^2+\dfrac1{a^2}=47[/TeX] Finalement: [TeX](a-\dfrac1{a})^2=a^2+\dfrac1{a^2}-2=45[/TeX] et donc: [latex]a-\dfrac1{a}=3sqrt{5}$.
On exclut la racine négative pour la raison suivante:
$$sqrt{a}>1[/latex] car [latex]sqrt{a}-\dfrac1{sqrt{a}}>0$$
Donc a>1 et donc $a-\frac1{a}>0$

A noter que $a-\dfrac1{a}=3sqrt{5}$ et (1): $a+\dfrac1{a}=7$
donnent directement 'a' sans avoir eu à résoudre l'équation de degré 2:
$$a=\dfrac{7+3sqrt{5}}2$$
Merci pour cette énigmette. Elle est amusante. Est-ce qu'on pourrait donner ça au collège en France???

P2T de peng you, ni men hao !

En multipliant de chaque côté de l'expression initiale par $sqrt a$

condition : $a > 0$

cela donne
$$a-1 = sqrt (5a)$$
avec une nouvelle condition : $a -1 > 0$
on peut élever au carré de chaque côté de l’égalité

soit $(a-1)^2 = 5a$
i.e $a^2 -7a +1 = 0$

équation du second degré en $a$ qui admet deux racines, dont une seule est positive et $> 1$ :
$${7+sqrt{45}}\over 2$$
alors $a-1/a$ = ${(5+sqrt{45})(9+sqrt{45} )} \over {2(7+sqrt{45})}$

soit  $a-1/a$ = ${90+14sqrt{45}} \over {14+2sqrt{45}}$

qui se simplifie en : $a-1/a=sqrt{45}$
$$\fbox{a-1/a=3sqrt{5}}$$
Xie Xie !

Il est vrai que j'ai été obligé d'utiliser le calcul du discriminant, qui est au programme de seconde en France. Même le meilleur des collégiens n'y arriverait pas (hors surdoué). Mais des collégiens de quel âge en Chine ?

On élève au carré les deux membres de
$$\sqrt a-\frac 1{\sqrt a}=\sqrt 5$$
et on trouve
$$a+\frac 1{a}-2=5\Leftrightarrow a+\frac 1 a+2=9\Leftrightarrow \left(\sqrt a+\frac 1{\sqrt a}\right)^2=9\Leftrightarrow \sqrt a+\frac 1{\sqrt a}=3$$
car ce qu'on élève au carré est positif. En multipliant la dernière équation par celle de départ, on trouve :
$$a-\frac 1{a}=3\sqrt 5$$

Sachant $\sqrt a-{1\over \sqrt a} = \sqrt 5$,
on peut déduire $( \sqrt a-{1\over \sqrt a})^2= 5$  et $( \sqrt a+{1\over \sqrt a})^2 = ( \sqrt a-{1\over \sqrt a})^2 + 4 = 9$

Comme ce dernier est positif :
$$\sqrt a+{1\over \sqrt a}=3$$
Il ne reste qu'à multiplier :
$$a - {1\over a}=( \sqrt a-{1\over \sqrt a})( \sqrt a+{1\over \sqrt a})= 3\sqrt 5$$
Il est d'ailleurs rapide de montrer en utilisant le cube :
$$a\sqrt a-{1\over {a\sqrt a}}= 8\sqrt 5$$
Il y a sûrement une suite classique derrière cela... 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377... Cf http://oeis.org/A001906

rac(alpha)= (rac(5) +3 ) /2

donc alpha -1/ alpha = 45+21rac(5) / 7+3rac(5) = 6,708203...

Nombrilist a écrit:

ça donne:
$$\frac{45+21sqrt5}{7+3sqrt5}$$
Je pensais que ça donnerait un chiffre rond ou un résultat surprenant. Où est la beauté là-dedans ?

$\frac{45+21 \sqrt{5}}{7+3 \sqrt{5}} = \frac{(3 \sqrt{5} - 7)(45+21 \sqrt{5})}{(3 \sqrt{5} - 7)(3 \sqrt{5} + 7)} = \frac{-12 \sqrt{5}}{-4} = 3 \sqrt{5}$

(*sifflote*)