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 #1 - 20-01-2011 22:22:25

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

atmospjère, atmosphère !

Soient S1 et S2 deux sphères avec des rayons distincts et qui se touchent extérieurement. Les sphères se trouvent dans un cône C et chaque sphère touche le cône en un cercle entier. A l'intérieur du cône se trouvent n sphères solides rangées en un anneau de telle façon que chaque sphère touche le cône C, S1 et S2 extérieurement et les deux sphères solides voisines.

Quelles sont les valeurs possibles de n ?



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 #2 - 20-01-2011 22:32:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Atmosphère, atmospèhre !

J'ai pas encore fait de dessin ni même réfléchit mais je pense que n peut appartenir à [1;4]


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 20-01-2011 22:41:50

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Atomsphère, atmosphère !

Ga !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 20-01-2011 23:40:37

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Atomsphère, atmosphère !

(Les n petites sphères se touchent-elles entre elles ?

Je suppose que c'est le cas ...autant que possible)

Appelons R1 et R2 les rayons des sphères S1 et S2, r le rayon des petites sphères s. R1 est pris comme unité.

Envisageons deux cas :
1) R2 tend vers 0 : le cône tend vers un plan.
r tend vers R2, donc on peut mettre 6 sphères s autour de la sphère S2, toutes tangentes entre elles.

2) R2 tend vers R1 : le cône tend vers un cylindre de révolution.
r tend vers 0.25. Les centres des spres s se situent sur un cercle de rayon 0.75.
On peut loger  int (pi / Asin (0.25/(1-0.25)) soit jusqu'à 9 sphères s autour de S1 et S2 et il reste un peu de place.

La fonction n = f(R2) m'ayant tout l'air d'une fonction régulière dont la dérivée n'a aucune raison de changer de signe j'en conclue que les valeurs possibles de n sont donc 6, 7, 8 ou 9tongue

 #5 - 07-02-2011 17:29:55

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

atmosphère, atmpsphère !

Notons r et R les rayons, A et B les centres des sphères S1 et S2 respectivement et supposons r < R. Notons s le rayon commun des sphères solides et soit C le centre de l'une d'elles. Soit D le pied de la perpendiculaire issue de C à la droite passant par A et B. Les centres des sphères solides forment un polygone régulier à n côtés avec côtés 2s et centre D; le rayon de son cercle circonscrit est CD.
Il s'ensuit que:

sin (π/n)  = s/CD        (1)

En utilisant la formule de Héron pour le triangle ABC, on a:

CD(r+R) = 2√((r+R+s)rRs)

A partir de ça, on obtient:

s²/CD² = s(r+R)² / 4rR(r+R+s)        (2)

On peut maintenant choisir l'unité de longueur de sorte que r + R = 2. Alors (1) et (2) impliquent 1/sin²(π/n) = rR(1+ 2/s)       (3)

La droite passant par le sommet du cône et le point de rencontre du cône et la sphère solide de centre C rencontre la droite AB au sommet du cône. Soit w l'angle entre ces deux droites. Alors, comme cette droite est aussi tangente à S1 et S2, on a :

R-r = (R+r)sin w = 2 sin w

Ceci implique: r = 1- sin w, R = 1 + sin w et alors rR = cos²w      (4)

De (3) et (4), on a:

1/sin²(π/n) = (1 + 2/s) cos²w        (5)

Soit E le pied de la perpendiculaire de A à la perpendiculaire de B à L. Soit E1 le pied de la perpendiculaire de C à la droite passant par A et E. Soit F le pied de la perpendiculaire de C à la perpendiculaire de B à L. Donc: CF = E1E.

En appliquant le théorème de Pythagore pour les triangles ACE1 et BCF, on obtient:

AE1² = (r+s)² - (r-s)² = 4rs
CF² = (R+s)² - (R-s)² = 4Rs


et donc

AE = AE1 + CF = 2√s (√R + √r)

D'où...

2√s (√R + √r) = (R+r) cos w = 2 cos w

Ou de (4):

s = cos² w  / 2(1+√Rr)  = cos² w  / 2(1+cos w)

et donc...

2/s = 4(1+cos w)/cos² w

De (5), on déduit que :

1/sin²(π/n) = cos² w + 4(1+cos w)

et par suite:  2 + cos w = 1/sin(π/n)

Maintenant, comme 0 < cos w < 1, on obtient: 1/3 < sin(π/n) < 1/2

Or: 1/2 = sin π/6 > sin π/7 > sin π/8 > sin π/9 > 1/3 > sin π/10

Donc les seules valeurs possibles de n sont 7, 8 et 9.

Bravo à Jackv pour sa réponse approchante.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 07-02-2011 23:36:06

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

atmospjère, atmosphère !

6 sphères est le cas limite quand l'angle du cône tend vers 180°.
On peut effectivement considérer que dans ce cas  le cône est dégénéré et n'en est plus un, et dans ce cas rejeter cette valeur limite...  roll

 #7 - 08-02-2011 04:20:38

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Atmosphère, atosphère !

Ma réponse précédente était entachée d'une étourderie, excusez-moi.

Une inversion ayant pour pôle le point de contact des deux sphères transforme celles-ci en deux plans parallèles,
et le cône en un tore fermé compris entre ces deux plans.
("tore fermé"=ce n'est pas un anneau)

Le problème est devenu beaucoup plus simple.
Les sphères à placer sont maintenant comprises entre les deux plans, et tangentes au tore
le long de son grand cercle "comme les billes d'un roulement".

Dans le plan médian, il s'agit de caser des cercles de rayon 1 entre deux cercles concentriques
de rayons R et R+1, avec [latex]1<R\le2[/latex].

Pas besoin de calculs compliqués pour trouver comme valeurs possibles 6 (dégénéré), 7, 8, et 9.
Les cercles "billes" étant sur un cercle centré de rayon [latex]\le1.5[/latex], il est impossible d'en mettre plus de 9.
N.B. 9 passe "juste" car [latex]9*sin(\pi/9)<\pi[/latex].

 

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