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 #1 - 29-10-2011 01:33:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Gâtea 42

Bonsoir smile

A l'enseigne de ma pâtisserie "Venez goûter nos équisocèles décorés de la main du maître"

Intrigué par cette pub et surtout par les idées farfelues du pâtissier ( mais je suis fâché avec lui depuis peu ) , j'envoie un de mes espions commander un équisocèle pour deux personnes . A son retour j'apprends qu'un équisocèle pour n personnes est un gâteau en forme de triangle équilatéral et complètement recouvert ( sans chevauchement ni débordement ) par n triangles isocèles de succulente pâte de fruit .

Vous comprendrez aisément pourquoi je n'ai pas pu déguster le fameux gâteau . Le pâtissier ayant au passage reconnu mon sbire , lui a fait passer le message suivant : "si ta demande avait concernét trois personnes ou plus , j'aurais pu la satisfaire sans problème tongue"

J'ai commencé avec trois parts , ...

http://img89.imageshack.us/img89/2083/troisparts.jpg

Amusez-vous bien !!!

Vasimolo

PS : Je précise qu'il n'y a aucune raison pour que les parts aient la même forme ou la même aire et que , pour mon pâtissier , un triangle isocèle est un triangle qui a exactement deux côtés égaux .

Précisions supplémentaires : j'ai posté très tard hier soir ou plutôt très tôt ce matin et apparemment le message n'a pas été parfaitement reçu smile

Si n est un entier supérieur à 2 , montrer qu'on peut découper un triangle équilatéral en n triangles isocèles non équilatéraux .

N'hésitez pas à demander d'autres précisions si la consigne n'est toujours pas claire wink



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 #2 - 29-10-2011 02:05:15

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 28
Lieu: Université Paul Verlaine

Gâteau 4

Pour [latex]n=4[/latex], j'appelle la tri-force !
Comprendre qui pourra...

http://img11.hostingpics.net/pics/157042triforce.png

A partir de ce schéma, on peut généraliser pour [latex]4^{n}[/latex] où [latex]n>0[/latex] un entier naturel en ajoutant comme pour un puzzle des copies de notre tri-force

Ici avec géogébra pour 16 part égales

http://img11.hostingpics.net/pics/178439triforcegeneral.jpg

Je ne maitrise pas encore parfaitement géogébra, c'est la raison pour laquelle je n'ai pas enlevé tout ces cercles...
Si les 4 tri-forces ne sont pas visibles, je veux bien retoucher mon image !


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #3 - 29-10-2011 08:49:10

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Gâteauu 42

Il est très facile de ramener le problème à un modulo 3 en insérant un triangle équilatéral dans le triangle de base.

Il reste donc à trouver un partage en 3,4 ou 5 parts

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau42.jpg

Quoique "exactement deux côtés égaux" ça veut dire pas équilatéral ?

Dans ce cas le modulo3 est toujours valable (figure 1) , on a le découpage en 3 , j'en trouve un en 5 (et en 7 aussi, mais inutile  ) mais pour 4 parts, ça coince un peu...

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau422.JPG

Avec des angles de 20° les 4 parts ont l'air de marcher aussi... Sachant qu'on peut diviser un triangle isocèle en 4 triangle homothétiques et qu'on a un découpage en 3 4 et 5 parts, ça devrait être bon.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau42-4parts.JPG

 #4 - 29-10-2011 11:26:32

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
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Lieu: Université Paul Verlaine

Gâteauu 42

En reprenant ta figure et ma précédente construction, j'ai généraliser pour [latex]3\times4^{n}[/latex] où n est supérieur ou égale à 0

Ta figure représente [latex]n=3\times4^0[/latex]

Et voici pour [latex]n=3\times4^1=12[/latex]

http://img4.hostingpics.net/pics/575566n12par3.jpg

Cela devrait rattraper mon histoire de la tri-force ^^


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #5 - 29-10-2011 12:28:41

Vasimolo
Le pâtissier
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âteau 42

C'est bon pour gwen smile

Pour les autres ce n'est pas fini ou il reste des triangles équilatéraux dans le découpage (  je rappelle que c'est interdit ) .

Vasimolo

 #6 - 29-10-2011 13:03:21

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
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Lieu: Université Paul Verlaine

Gâtea u42

J'ai suis à nouveau repartie de ta première figure. J'ai eu l'idée de construire les centres de gravité de chaque triangle isocèle pour exhiber trois nouveau triangles isocèle.

En répétant cette opérant n fois sur tout les "nouveau" triangle isocèle, on obtient pas loin de [latex]3^n[/latex] triangle isocèle !

Voici ma construction pour [latex]n=9[/latex]

http://img4.hostingpics.net/pics/815548dessinultime.jpg

Ce dessin souffre par contre d'une mauvaise retouche à cause de Paint mais l'idée est là !

EDIT : Je viens de me rendre compte que certain des triangle ne peuvent pas être isocèle car les angles à la base sont clairement pas égaux...


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #7 - 29-10-2011 13:08:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gâtea u42

J'étais prêt à écrire ma réponse mais bien sûr avec une majorité de triangles équilatéraux. La seule réflexion était pour construire le n=5.....

 #8 - 29-10-2011 22:32:05

looozer
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Gâeau 42

Les triangles de gauche et de droite montrent des solutions pour 4 et 5 personnes.

A partir de là, il suffit de diviser une part de forme isocèle et rectangle selon sa hauteur (comme dans l'exemple du milieu) pour ajouter un triangle isocèle.

Merci pour ton gâteau, Vasimolo smile

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-isogateau.jpg

 #9 - 30-10-2011 00:40:48

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtzau 42

Joli looozer smile

C'est aussi ma solution et je n'aurai donc pas besoin de l'écrire ( où va se nicher la paresse lol ) .

Vasimolo

 #10 - 01-11-2011 12:41:08

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtau 42

Je vous laisse admirer les solutions .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 #11 - 01-11-2011 12:54:06

nodgim
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Gâtteau 42

Perso il me manquait le chainon manquant du partage en 4 parts, je suis passé à coté là. Bravo à ceux qui ont trouvé.

 #12 - 01-11-2011 15:13:30

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
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Lieu: Université Paul Verlaine

Gâtea 42

Personnellement, je suis un peu sur ma faim...

On a présenté que des "partages" en 4-5 part alors que ton énigme demande une solution pour [latex]n>2[/latex] parts

C'est d'ailleurs pour ça que dans mes propositions (certes, elles sont fausses), j'ai plutôt cherché (à partir d'un modelé) une généralisation.
Ici je ne vois pas de généralisation... Ou alors elle est trivial et je suis définitivement aveugle en géométrie ^^


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #13 - 01-11-2011 15:28:23

looozer
Expert de Prise2Tete
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gâteay 42

Psykotaker : la deuxième phrase de ma réponse explique comment passer à un nombre supérieur de parts.

 #14 - 01-11-2011 15:34:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 2

Les solutions sont complètes smile

Celle de looozer par exemple :

1°) Les partages en 3 , 4 et 5 parts sont donnés .
2°) Le triangle vert de la figure centrale est rectangle-isocèle . En traçant une hauteur de ce triangle on fait apparaître un nouveau triangle rectangle-isocèle et on peut renouveler l'opération à volonté et créer ainsi autant de triangles isocèles que l'on veut .

Vasimolo

 #15 - 01-11-2011 15:34:33

gwen27
Elite de Prise2Tete
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gâreau 42

On peut faire n+3 parts à partir d'un triangle isocèle quelconque ou n+1 à partir d'un triangle isocèle rectangle...

Donc 3, 4 et 5 parts suffisent à généraliser.

 #16 - 01-11-2011 18:21:42

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
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Lieu: Université Paul Verlaine

gâtzau 42

Autant pour moi, j'ai du passer ces précieux renseignements -_-


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