Enigmes

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 #1 - 25-01-2011 19:02:25

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

pu pi !

Soit [latex]n [/latex] un entier naturel [latex]>0[/latex], montrez qu'il existe une séquence de [latex]n [/latex] chiffres [latex](c_1,\ldots,c_n)[/latex] qui apparaît, dans cet ordre, infiniment souvent dans le développement décimal de [latex]\pi^2[/latex].
NB : pas besoin d'être très fort en maths.



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 #2 - 25-01-2011 22:18:29

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

P ipi !

[TeX]\pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n^2}[/TeX]
Bon, d'accord, ça ne prouve pas que π² est un nombre univers, mais c'est déjà un début ^^


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #3 - 25-01-2011 22:29:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Pi ppi !

Si on considère pi comme non fini...

Il y a autant de possibilités que l'on veut pour aligner les chiffres. prenons n chiffres, on peut se dire que cette séquence finira forcément par être redondante, au pire après n^n chiffres.

Sauf que je me dis qu'il est possible qu'une séquence de n chiffres ne soit jamais réitérée. 0123456789, par exemple peut n'apparaitre qu'une seule et unique fois dans la suite et dans cet ordre non ?

 #4 - 25-01-2011 23:30:48

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

P ipi !

En effet Gwen, étant donné une séquence il n'est pas sûr du tout qu'elle se répète, c'est pour cela que ce n'est pas la question posée smile

 #5 - 25-01-2011 23:31:54

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

P pi !

Bonne chance Barbabulle pour conclure big_smile

 #6 - 26-01-2011 00:22:46

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

Pi p !

Si ça n'était pas le cas, le développement de [latex]\pi^2[/latex] serait fini

 #7 - 26-01-2011 08:27:24

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

pi oi !

Oui Tromaril, mais en tant qu'énigme facile, j'attendais plus de détails :-) Pas pour moi mais pour le public...

 #8 - 26-01-2011 08:40:38

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Pi p !

Si l'on considère [latex]\pi^2[/latex] un irrationnel ayant une infinité de décimales ayant une équiprobabilité de se montrer.

une suite (C_1, ..., C_i, ..., C_n) a une probabilité strictement positive de se montrer à la k-ieme décimal: P=[\frac{1}{10}]^n

Le nombre de décimales étant infini, la suite se présentera avec certitude dans le développement décimal de [latex]\pi^2[/latex], il suffit d’être patient.

Une fois la suite trouvée, disons à la décimal k, il reste encore une infinité de décimales ce qui laisse toutes les chances de retrouver notre suite d'entier. En réitérant ce raisonnement, la suite de nombre se retrouve infiniment souvent.


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 26-01-2011 10:09:06

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

oi pi !

Pas si vite Franck... Probabilité n'est pas certitude, une séquence a une probabilité positive a priori d'être dans les décimales de [latex]\pi[/latex] A CONDITION que celles-ci soient complètement aléatoires, ce qui n'est pas sûr du tout (sauf si par exemple [latex]\pi[/latex] est un nombre univers ce qui est encore aujourd'hui un problème ouvert cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_univers )

Indice : la solution est dans les tiroirs ;-)

 #10 - 26-01-2011 10:23:53

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Pi ppi !

Si aucune séquence de n chiffres ne se reproduisait un nombre infini de fois, le nombre de décimales de [latex]\pi^2[/latex] serait fini.
Ce qui n'est pas le cas.
Il existe donc pour tout n une séquence [latex](C[/latex]1, [latex] C[/latex]2, ,... ,[latex]C[/latex]n[latex])[/latex] qui se reproduit un nombre infini de fois dans le développement décimal de [latex]\pi^2[/latex].

C'est une variante simplifiée du problème du singe qui tape aléatoirement sur les touches d'une machine à écrire à l'infini, et dont on sait qu'il a une probabilité égale à 1 de taper une infinité de fois n'importe quel ouvrage de la littérature.
(Exemple donné dans les écoles pour faire sentir la notion d'infini).

 #11 - 26-01-2011 11:26:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pi pi

Il y a [latex]10^n[/latex] séquences de [latex]n[/latex] chiffres différentes. Si aucune d'elles n'apparaît plus de [latex]N[/latex] fois, alors le développement décimal de [latex]\pi^2[/latex] fait au plus [latex]N \times 10^n[/latex] chiffres, donc [latex]\pi^2[/latex] est rationnel. Ce qui est faux (une preuve est notamment donnée ici).

Donc, quel que soit [latex]N[/latex], il existe au moins une séquence de [latex]n[/latex] chiffres se répétant plus de [latex]N[/latex] fois dans le développement décimal de [latex]\pi^2[/latex]. Quel que soit [latex]N[/latex], c'est-à-dire aussi grand soit-il. Ca s'appelle "tendre vers l'infini", en maths. Et hop !

EDIT : Ton allusion au principe des tiroirs dans un de tes posts va exactement dans le sens de cette démonstration, d'ailleurs.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 26-01-2011 12:11:32

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

P ipi !

Oui Hallodula, mais même remarque que pour Tromaril.

 #13 - 26-01-2011 12:13:02

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pii pi !

Yes Mathias ! Au passage tu auras remarqué que [latex]\pi[/latex] ne joue aucun rôle particulier, si ce n'est pour le titre de l'énigme smile

 #14 - 26-01-2011 12:57:28

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

oi pi !

Alors, principe des tiroirs, merci pour l'indice ...
Soit r un réel, n un entier.
Il existe 10^n séquences différentes (c_1,\ldots,c_n) de n chiffres.

Supposons que chaque séquence [latex]S_k[/latex], pour k allant de 1 à 10^n, n'apparaît qu'un nombre [latex]n_k[/latex] de fois maximum, on arrive alors à une contradiction en observant les m premières décimales de notre réel, où m vérifie :
[latex]m=n+\sum_{k=1}^{10^n}n.n_k[/latex]. En effet, on a pris un nombre de décimales qui permet d'avoir la place pour toutes les séquences [latex]S_k[/latex] répétées [latex]n_k[/latex] fois, plus la place pour une séquence supplémentaire. Cette séquence existe déjà forcément avant (principe des tiroirs), et il existe k tel que [latex]S_k[/latex] se répète [latex]1+n_k[/latex] fois : contradiction.

Donc dans tout réel, pour tout n, il existe une séquence de n chiffres qui apparaît dans cet ordre un nombre infini de fois.

 #15 - 26-01-2011 13:27:31

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Pi pi

Il s'agit d'un nombre irrattionnel car pi est irrationnel.

En utilisant l'exemple : Si on place un singe devant un ordinateur et qu'on lui fait taper sur le clavier, pendant un temps infini, alors il existe au moins 1 chance pour qu'il tape l'œuvre de Victor Hugo sans aucune faute d'orthographe.

(c'est dommage je ne me rappelle plus du gars qui a trouvé ce théorème, je crois que c'est Millan ?? pas sur du tout)

Ce théorème ne peut être contredit car il s'agit d'un temps infini. Ici il s'agit de la même chose, un nombre irrationnel possède une infinité de chiffres après la virgule.
Il existe donc une forte probabilité > 0 telle que la même séquence de chiffre puisse se répéter. On peut donc affirmer, grâce au terme "infini" qu'il  existe une séquence de n chiffre, telle qu'elle apparaisse une infinité de fois dans le développement de pi au carré

Cela fonctionne donc pour tout les nombre irrationnels.

J4ai faux ? ca ne m'étonnerait pas.... 'ai toujours l'impression de contourner la difficulté

 #16 - 26-01-2011 17:09:41

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

Pi p i!

On découpe le développement décimal d'un irrationnel quelconque en tranches de n chiffres. Il y a 10^n combinaisons différentes.

Supposons que chaque combinaison apparaît un nombre fini de fois, et que tous ces nombres sont majorés par M. Le nombre de tranches serait alors nécessairement inférieur (ou égal) à M.10^n tranches, et donc le développement décimal de notre irrationnel serait fini, ce qui est absurde.

Donc notre supposition est fausse, son contraire est donc vrai, et le contraire de notre supposition est "il existe au moins une combinaison qui apparaît une infinité de fois", ce qui répond à la question. CQFD

 #17 - 26-01-2011 17:13:58

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Pi pi

n est fixé.
Soit S l'ensemble des séquences de n chiffres, S est fini.
Soit f:N->S la fonction qui à chaque entier naturel i associe la séquence de n chiffres qui suit la ième décimale de pi².

Supposons par l'absurde que quelle que soit la séquence s de S, le nombre de fois qu'elle apparait dans le développement décimal de pi² est fini.
Alors l'image réciproque par f de chaque élément de S est de cardinal fini.
Or N s'écrit comme réunion des images réciproques par f des éléments de S.
On en déduit que N est de cardinal fini... Contradiction!
Ainsi il existe une séquence de n chiffres répétées une infinité de fois dans le développement décimal de pi².

 #18 - 26-01-2011 18:39:46

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

pi oi !

Il y a au plus [latex]10^n[/latex] façon de choisir un nuplet de nombres [latex]c_i[/latex]

Si aucune séquence ne se répète une infinité de fois, ça veut dire qu'il existe un nombre k tel que chaque séquence apparaît au plus k fois.

Le développement décimal est alors limité à [latex]k.10^n+n-1[/latex] nombres.

 #19 - 26-01-2011 21:18:36

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pi pii !

@Looping : un peu compliqué mais parfait

@mitsuidewi : tssst tssst même remarque qu'à Franck. Exemple, prends le développement décimal de [latex]\pi[/latex], et définit un nouveau nombre po=3,141926..., identique à \pi sauf que tu enlèves tous les 5, po est irrationnel et probablement transcendant et pourtant aucune séquence contenant un 5 n'apparaît dedans ...

@ scarta : impec !

@irmo : impec aussi !

 #20 - 26-01-2011 22:42:03

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Pi pi

Pour montrer qu'une séquence se répète infiniment souvent, on va commencer par montrer que pour tout N>0 il existe une séquence qui se répète au moins N fois.

Il existe 10^n séquences ordonnées de n chiffres.
Si aucune ne se répète plus de N fois, cela veut dire que pi^2 à au plus (N-1).n.10^n chiffres (principe des tiroirs) et en tout cas un nombre fini de chiffres ce qui n'est pas le cas de pi^2. Donc pour chaque N>0 il existe une séquence qui se répète au moins N fois.

Ceci ne suffit pas à montrer l'énoncé car la séquence qui se répète peut-être différente pour chaque N. Pour répondre à l'énoncé, une étape supplémentaire est nécessaire: comme le nombre de séquences possibles est fini, même si pour chaque N la séquence est différente, on va retrouver pour des N de plus en plus grands une séquence qui se répète.

Il y a moyen d'écrire tout ça mathématiquement mais ça risque d'être un peu laborieux. Je pense que l'idée y est smile

 #21 - 27-01-2011 03:29:04

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Pi pi !!

Je ne suis pas d'accord, même si on enlève les 5, il y a encore 9 autres chiffres qui peuvent se répéter. On parle d'un nombre infini, donc mon explication fonctionne.
Et si tu enlèves un chiffre, ca augmente la probabilité pour que les séquences se répètent.

Je suis bien d'accord que mon explication ne soit pas très convaincante mathématiquement parlant. Mais elle reste vrai

 #22 - 27-01-2011 09:16:19

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Pi pi

Soit n donné, il y a un nombre fini de séquences diiférentes de type (C1, C2,..., Cn) (en l'occurence il y en a 10^n). Supposons que toutes ces séquences ne sont présentent qu'un nombre fini de fois (maximisé par p), alors il est impossible de prolonger l'écriture décimale au delà de n * 10^n * p chiffres sans que réapparaisse plus de p fois une séquence. La supposition est donc fausse. Donc une séquence, au moins, apparait une infinité de fois.

rem : le caractère non rationnel ou transcendant du nombre initial n'intervient pas dans la démontrastion.

 #23 - 27-01-2011 10:13:13

gasole
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Toulouse

Pi p i!

@Tromaril, Dylasse et Rivas : impec également !

@Mitsuidewi : comme je la comprends, ta démonstration "prouve" que n'importe quelle séquence a une probabilité >0  d'apparaître un nombre infini de fois dans n'importe quel nombre irrationnel, et moi je te prouve que c'est faux pour celles contenant un 5 (ou n'importe quel autre chiffre d'ailleurs). De plus, même si c'était le cas "Probabilité n'est pas certitude", même à l'infini.

 #24 - 27-01-2011 10:52:30

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

pi pu !

Mais on s'en fout qu'il n'y est pas de 5 dans la séquence, on peut définir une séquence ou il n'y a pas de 5 par exemple.
Si tu te mets à enlever tout les chiffres alors ca ne sert plus a rien on aura plus un nombre à la fin...
J'ai dis que vu que la suite de chiffre dans la décimal est infini, on peut se permettre d'affirmer qu'il existe une séquence de n chiffres qui se répète "infiniment" souvent (car l'infini c'est 'linfini...). Finalement ce n'est qu'un remaniement de l'énoncé; donc si tu te permets de contredire ceci, tu contredit ton propre énonce. t je vais chercher...

 #25 - 27-01-2011 11:22:34

gasole
Elite de Prise2Tete
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P pi !

@ mitsuidewi : Je suis d'accord, on s'en fout des 5, tu m'as embrouillé avec ton histoire de clavier qui n'a rien à voir avec l'affaire. Donc je l'enlève.

Ensuite tu dis "Il existe donc une forte probabilité > 0 telle que la même séquence de chiffres puisse se répéter", d'abord c'est vite dit, et ensuite je redis : probabilité n'est pas certitude.
De là, tu sautes à "On peut donc affirmer,..." : non, on ne peut "donc" pas. C'est vrai (sinon je n'aurais pas posé la question) mais ta preuve est erronée. Je crois que ça s'appelle une "preuve par intimidation" dans le jargon des matheux.

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