Enigmes

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 #26 - 27-01-2011 11:25:09

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Pi pi !!

Je sais, c'est justement ce que je disais, j'ai affirmé une proposition par la logique et par "l'intimidation" ^^ comme tu dis.
Maintenant il faut le démontrer... ce qui est bien plus dur.

#0 Pub

 #27 - 27-01-2011 12:12:19

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pi p !

Non, c'est facile en fait... ça te dit rien ma remarque sur les "tiroirs" ?

 #28 - 27-01-2011 12:37:41

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

pu pi !

Et pour les autres, la suite des aventures de [latex]\pi^2[/latex] ici.

 #29 - 27-01-2011 13:21:11

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

po pi !

Non ca ne me dit rien ^^

Mais étant donnée ta remarque par curiosité j'ai tapé "théorème tiroir" sur google, j'ai trouvé un truc. je vais le lire comme ca je dormirai moins con ce soir big_smile

 #30 - 27-01-2011 13:37:48

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pi pi

C'est simple.
D'abord si pi est irrationel, pi^2 l'est également.
Et donc la probabilité qu'une sequence quelconque de chiffres apparaisse n'importe ou dans le developement décimal de pi^2 est tout aussi probable qu'une autre séquence quelconque de meme longueur.
Prenons un chiffre quelconque: 7
Chaque chiffre du développement décimal de [latex] \pi^2[/latex] a une chance sur 10 que ce soit un 7, comme pi a une infinité de décimales, il y a [latex]\frac{une.infinite}{10}[/latex] de 7 dans la séquence, c'est a dire que 7 apparait infiniment souvent.
Prenon 2 chiffres quelconques: 77
Meme raisonement. chque groupe de 2 chiffres a 1 chance sur 100 d'etre 77. et donc 77 apparait infiniment souvent.
On peut raisonner que peut-etre une sequence particuliere d'un grand nombre de chiffres n'apparait jamais. Dans ce cas ca favorise toutes les autre sequences de meme longueur ou plus courtes d'appraitre plus souvent.
Voici une autre facon de voir les choses:
plus on avance dans le developement de pi, plus on trouve de nouvelles copies de sequences de n chiffres. si on comptes la recurrence de ces sequences, il y en a forcement au moins une qui comptera vers l'infinie. Puisque le nombre possible de sequences de n chiffres est fini (10^n) mais le nombre de sequences que l'on trouve dans pi est infiini, les compteurs vont donc forcement progresser.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #31 - 27-01-2011 14:18:18

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pi pi !!

@dhrm :
- pour la première partie de ton raisonnement : Le fait que les chiffres sont équiprobables dans le développement décimal de [latex]\pi[/latex] est une conjecture ("[latex]pi[/latex] est-il un nombre normal en base 10?"
- de plus tu confonds probabilité et certitude, si je ne me trompe, à l'heure actuelle, on ne sait même pas quels chiffres apparaissent infiniment souvent dans le développement de [latex]\pi[/latex]
- la fin de ton raisonnement va dans le bon sens : il y a une "course" entre l'avancée dans le développement de [latex]\pi[/latex] et le nombre de séquences, reste à prouver qui gagne la course... wink mais ton explication est encore un peu ... incomplète à mon goût.

 #32 - 27-01-2011 18:45:51

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

Pi p i!

"po est irrationnel" comment le prouves-tu ? (celui avec les cinq en moins).
Ok, aucun rapport avec ton énigme des tiroirs.
Pour ton énigme, confere "Proofs from the book".

 #33 - 27-01-2011 19:23:14

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pi p i!

@MMorgan : tu as raison, j'aurais dû prendre un autre exemple que po. Tu es sûr que c'est dans ce bouquin ? La preuve tient en quelques lignes...

 #34 - 27-01-2011 19:28:39

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

P pi !

gasole en fait je ne pense pas, mais il y a le principe des tiroirs. C'est plutôt par ignorance de la réponse que j'ai répondu cela, une "preuve par référence bidon" en quelque sorte wink

 #35 - 27-01-2011 19:30:58

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

pi oi !

et puis il y a la suite de [latex]\pi \pi[/latex] maintenant !

 #36 - 28-01-2011 20:03:20

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pi pii !

Plein de réponses tout à fait convaincantes, je vous propose la mienne, je vais faire court :

Il y a [latex]10^n[/latex] séquences de [latex]n [/latex] chiffres (en base 10). Chacune étiquette un tiroir d'une (grande commode smile )
Considérons l'ensemble de toutes les séquences de n chiffres qui apparaissent dans [latex]\pi^2[/latex], il y en a une infinité (1).
Rangeons ces séquences dans le tiroir qui leur correspond : quand on range une infinité de choses dans un nombre fini de tiroirs, il y a forcément un tiroir au moins qui contient une infinité de ces choses (Théorème de Ramsey, mais c'est évident je pense). Donc la séquence dont l'étiquette figure sur le tiroir infiniment plein se répète infiniment souvent dans [latex]\pi^2[/latex] (2).

Et je propose à ceux qui ne l'ont pas encore fait, de suivre les aventures de pi pi : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?pid=97825


(1) Cela est vrai aussi pour les rationnels et même pour les entiers si on met des 0 après la virgule.
(2) Donc ce qu'on a prouvé marche aussi pour les rationnels (ça on le savait).

 #37 - 28-01-2011 23:21:49

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Pi pi

Merci pour l'énigme.

Juste parce que ça fait un moment qu'on n'a plus embêté les mouches: j'ai lu 2 fois: pi est irrationnel donc pi^2 aussi. Ce raisonnement n'est pas correct même si la conclusion l'est: racine carrée de 2 est irrationnelle et son carré ne l'est pas.

 #38 - 28-01-2011 23:30:54

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pi pi !!

Tu as tout à fait raison, et puis une petite mouche de temps en temps...

 #39 - 28-01-2011 23:32:44

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Pi i !

smile
A condition que personne ne la prenne...

 #40 - 28-01-2011 23:53:37

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

Pi ip !

Mais si n est infini, ça marche quand même ?


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #41 - 29-01-2011 00:13:02

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Pii pi !

Si n est infini, il y a une seule séquence possible, c'est celle de toutes les décimales de [latex]\pi[/latex], et elle ne se répète pas.

 #42 - 29-01-2011 01:07:22

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pi p !

Ca ne marche que jusqu'a l'infini moins un big_smile

Quant au "ça parait évident, je pense" de Gasole, je l'ai contourné pour ma part par une preuve par l'absurde. Ca marche très bien.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #43 - 29-01-2011 01:52:55

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

pu pi !

@rivas : "r est irrationnel [latex]\Rightarrow[/latex] r² est irrationnel" est faux, je suis d'accord.
En revanche, on doit pouvoir dire : "r est transcendant [latex]\Rightarrow[/latex] r² est transcendant [latex]\Rightarrow[/latex] r² est irrationnel" (ça se montre facilement par l'absurde)
Ce qui est notre cas ici avec [latex]r=\pi[/latex]

Bon bon bon, je pense avoir chopé la dernière mouche qui traînait dans le coin lol Mais y en a bien qui doivent avoir des détecteurs de mouches, et qui vont réussir à en trouver pour leur infliger des supplices lol

 #44 - 29-01-2011 10:40:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pi pi !!

Qu'est-ce que vous avez tous contre les mouches en ce moment ? Vous êtes tous devenus drosophilophiles ? lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #45 - 29-01-2011 11:56:21

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

P pi !

MthS-MlndN a écrit:

Quant au "ça parait évident, je pense" de Gasole, je l'ai contourné pour ma part par une preuve par l'absurde. Ca marche très bien.

Tiens pour la peine !

On a en général : [latex]Card(A\cup B)\leq Card(A)+Card(B)[/latex].
Soit [latex]S [/latex] l'ensemble des occurrences de séquences, on a [latex] Card(S)\geq \aleph_0[/latex], soit par ailleurs, [latex]T_i[/latex] le contenu du tiroir [latex]i[/latex], on a  [latex]\bigcup_{i=1}^n T_i = S[/latex]

Soit [latex]\kappa=\max_{i\in\{1,...,10^n\}}(Card(T_i))[/latex]

alors [latex]Card(S)=\aleph_0\leq \sum_{i=1}^{n}Card(T_i)\leq n.\kappa[/latex]

et donc [latex]\aleph_0 = n.\kappa=\max (n,\kappa) = \kappa[/latex] (car [latex]n [/latex] est fini)

donc il y a un tiroir qui contient [latex]\aleph_0[/latex] élements.

 

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