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 #1 - 09-07-2017 12:08:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

Gtâeau 138

Mon pâtissier décore ses galettes en les recouvrant d’un quadrillage de maille 2 cm . Parfois certains nœuds des mailles se retrouvent sur le bord de la galette et il adore smile

Ici il n'a pas fait fort , une petite galette certes , mais seulement trois nœuds sadsadsadsad

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Gateau138.png

On peut facilement trouver une galette raisonnable caressant 12 nœuds , mais quelle est la plus petite pouvant en atteindre 16 ?

La case réponse valide le meilleur diamètre que j’ai trouvé sous la forme **,** ( valeur donnée en centimètres et arrondie au dixième de millimètre le plus proche ) .

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : j'ai ajouté un indice au message #26 .



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 #2 - 09-07-2017 14:30:16

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 466

Gââteau 138

J'ai trouvé 32,25 : merci gwen27 !

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 16#p198924

 #3 - 09-07-2017 16:41:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

Gteau 138

L'idée est venue de là smile

Bravo !!!

Vasimolo

 #4 - 10-07-2017 17:35:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

Gteau 138

Pour ceux qui cherchent et sèchent , un exemple avec 12 points :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau13812points.png

Vasimolo

 #5 - 11-07-2017 00:12:30

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 177

Gâteu 138

J'ai [latex]85=7^2+6^2=9^2+2^2[/latex] qui donne un cercle de diamètre [latex]36,88 \,\mathbb{cm}[/latex]

On dirait qu'il y a mieux car la case réponse ne valide pas neutral

 #6 - 11-07-2017 09:22:38

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 438

gâtzau 138

Bonjour,
Je trouve un diamètre de 32,25 cm (qui valide la case réponse).
Le rayon du cercle (en unités de grille) est de sqrt(65), et les coordonnées des points du maillage situés sur le cercle sont

Code:

 (±8, ±1)
 (±7, ±4)
 (±4, ±7)
 (±1, ±8)

 #7 - 11-07-2017 10:35:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

Gâteu 138

@Sydre : c'est la bonne méthode mais tu as oublié un cas smile
@Enigmatus : parfait .

Vasimolo

 #8 - 11-07-2017 13:45:47

Tr0llet
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 9

Gâteau 183

On part de l'hypothèse la plus plausible comme quoi le quadrillage est centré sur la galette (et donc qu'il y a 4 noeud par quart de galette). Avec ce bon vieux Pythagore, il suffit de trouver le plus petit entier décomposable en 2 sommes différentes (hors permutations bien sûr !) de 2 carrés d'entiers différents entre eux.
Un rapide tableur avec mise en forme conditionnelle des doublons indique la réponse : 65 (= 1*1 + 8*8 = 4*4 + 7*7).
Le rayon de la galette est donc de racine de 65 côtés d'un carreau (2 cm), donc son diamètre est de 4 racine de 65 cm, soit 32,25 cm en arrondissant au mm.

 #9 - 11-07-2017 18:39:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

gâtzau 138

C'est bon TrOllet , intuitivement cette hypothèse est la bonne ( je n'ai pas de démonstration smile )

Vasimolo

 #10 - 11-07-2017 20:01:31

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2830
Lieu: Luxembourg

fâteau 138

Je considère (sans pouvoir le prouver) que la figure est symétrique par rapport aux diagonales et aux axes. Un point ne peut pas se trouver sur une diagonale et donc pas non plus sur un axe.
On cherche a1, b1, a2 et b2, tels que: a1²+b1²= a2²+b2², sans être un carré parfait. Une recherche sur tableur me donne les points (7;4) et (8;1) et leurs symétriques par rapport aux diagonales et aux axes, soit 16 points en tout.

 #11 - 11-07-2017 20:04:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

Gâteau 1338

C'est bon Franky et c'est vrai qu'il manque une preuve à tout ça smile

Vasimolo

 #12 - 13-07-2017 03:01:11

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 177

Gâetau 138

Effectivement j'ai oublié [latex]65=7^2+4^2=8^2+1[/latex] roll

 #13 - 13-07-2017 09:52:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

Gteau 138

Voilà qui est bien smile

Vasimolo

 #14 - 13-07-2017 16:08:37

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 675
Lieu: Belgique

gâtrau 138

Bonjour à tous,

Je suis parti du principe que le centre du meilleur cercle était sur un noeud (mais je ne l'ai pas prouvé).

Dès lors, j'ai recherché dans le premier quadrant du plan cartésien, toutes les sommes égales de 2 carrés d'entiers pairs.

260 a été le premier à s'y présenter 4 fois (2²+16² ; 16²+2² ; 8²+14² ; 14²+8²)

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau138.jpg

On en a donc 4x plus au total des 4 quadrants sur un cercle de diamètre 2 x rac(260).

Resterait à prouver qu'un cercle non centré sur un noeud ne peut donner mieux, mais ça c'est une autre histoire...

Merci pour ta galette smile

 #15 - 13-07-2017 18:20:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

Gâteau 183

Oui Looozer smile

La maille de 2 cm est un leurre , on peut se cantonner aux entiers pairs ou impairs . Il y a d'autres entiers avant la solution ayant deux décompositions mais ils ne conviennent pas ( pourquoi ? ) . Le centre de la galette est un nœud , c'est presque trop évident mais bien sûr il faudrait une démonstration hmm

Vasimolo

 #16 - 13-07-2017 19:24:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,679E+3

Gâtaeu 138

Ca n'est pas presque trop évident, c'est faux... hmm

Chouette réponse que ce 32,25 qui m'a bien fait douter, mais cette réponse n'est pas optimale. 22,80 marche mieux.


http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g1381PNG.png

 #17 - 13-07-2017 21:06:21

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

gâtrau 138

Bien vu Gwen !!!!

Du coup tout le monde a faux ( à commencer par moi sad ) .

Je remets un peu de temps et je change la case réponse .

Vasimolo

 #18 - 13-07-2017 22:17:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,679E+3

Gâteau 1338

Pour preuve, les sommes de 2 carrés de 2 manières au moins ne sont pas nombreuses :
50 avec (1,7) et (5,5)  est hors-jeu : On tombe sur une maille paire en partant de (1,1) mais sur seulement 12 points pour des raisons de symétrie du couple (5,5).

et le sera toujours...

65 avec (1,8) et (4,7) ne marche pas car les nombres ne sont pas de même parité donc les coordonnées ne sont pas "inversibles" selon les deux axes quel que soit le centre. On le retrouve dans la "fausse solution" en multipliant les coordonnées par 2, ce qui donne rac(260).

Idem pour 85 et 125...

Le plus petit valable est 130 avec les couples d'impairs (3,11) et (7,9) en partant donc de (1,1)

 #19 - 15-07-2017 08:31:13

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 490
Lieu: Ardèche

gâtzau 138

Le centre de la galette est un nœud , c'est presque trop évident mais bien sûr il faudrait une démonstration hmm

Je remets un peu de temps et je change la case réponse

La case réponse initiale étant fausse, et l'affirmation sur la position du centre également, je donne ma solution, sans accord de la nouvelle case réponse.

2R = 11.40 = 2[latex]\sqrt 32.05[/latex]

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-gateau138.png

EDIT
Zappé "maille = 2 cm"
Il faut donc doubler la valeur trouvée, soit 22.80

 #20 - 15-07-2017 09:26:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

Gâteua 138

Il est clair que tu as peu de chance d'être en accord avec la case réponse si tu proposes une valeur approchée du rayon smile

Vasimolo

 #21 - 17-07-2017 08:32:26

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2830
Lieu: Luxembourg

Gâteau 18

Ce gâteau m'intrigue. Le centre de la galette n"est-il plus un nœud ? Ou n'ai-je pas compris le post #17 ?

 #22 - 17-07-2017 11:53:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

gâteay 138

Dans l'énoncé initial on ne dit rien sur la position de la galette par rapport au quadrillage . La première idée est de centrer le quadrillage avec la galette mais ce n'est pas forcément la bonne smile

Vasimolo

 #23 - 18-07-2017 12:24:15

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1484

âteau 138

J'ai trouvé 32,25 mais apparemment ça ne marche pas, donc il doit y avoir mieux...
Je suis parti du théorème des deux carrés de Fermat, pour trouver le plus petit nombre admettant 16 décompositions: c'est 5*13 = 65
En effet, on a 1²+8² = 4²+7² = 65, donc les 16 points suivants sont sur un cercle centré en O et de rayon sqrt(65) : (1;8),(-1;8),(1;-8),(-1;-8),(4;7),(-4;7),(4;-7),(-4;-7),(7;4),(-7;4),(7;-4),(-7;-4),(8;1),(-8;1),(8;-1),(-8;-1)

Rayon de racine(65) unités, avec un maillage à 2 cm et on veut le diamètre, ça nous donne 32,24903099 cm de diamètre, soit 32,25 mais pas glop. Je vais chercher mieux... Après tout, rien n'indique que le rayon est une racine d'entier

 #24 - 18-07-2017 15:40:56

Vasimolo
Le pâtissier
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gâteay 138

Tu as eu la même idée que beaucoup , on peut faire mieux smile

Vasimolo

 #25 - 19-07-2017 09:26:52

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1484

Gâteeau 138

J'imagine. En passant en équation paramétrée, pour un rayon R et un centre (x0, y0), l'équation paramétrée du cercle est:
X = 2mR/(m²+1) + x0
Y = (m²-1)R/(m²+1) + y0
avec m un réel quelconque.
Il suffirait de trouver R, x0 et y0 (probablement tous irrationnels) qui donne 16 valeurs entières pour X et Y pour 16 m bien choisis. Pas simple...

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