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#1 - 09-07-2017 12:08:12
- Vasimolo
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#2 - 09-07-2017 14:30:16
- Ebichu
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#3 - 09-07-2017 16:41:31
- Vasimolo
- Le pâtissier
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gâteai 138
L'idée est venue de là ![smile](img/smilies/smile.png)
Bravo !!!
Vasimolo
#4 - 10-07-2017 17:35:26
- Vasimolo
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Gâtea 138
Pour ceux qui cherchent et sèchent , un exemple avec 12 points :
![http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau13812points.png](http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau13812points.png)
Vasimolo
#5 - 11-07-2017 00:12:30
- Sydre
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gâteay 138
J'ai [latex]85=7^2+6^2=9^2+2^2[/latex] qui donne un cercle de diamètre [latex]36,88 \,\mathbb{cm}[/latex]
On dirait qu'il y a mieux car la case réponse ne valide pas ![neutral](img/smilies/neutral.png)
#6 - 11-07-2017 09:22:38
- enigmatus
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Gâtea u138
Bonjour, Je trouve un diamètre de 32,25 cm (qui valide la case réponse). Le rayon du cercle (en unités de grille) est de sqrt(65), et les coordonnées des points du maillage situés sur le cercle sont
#7 - 11-07-2017 10:35:44
- Vasimolo
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Gtâeau 138
@Sydre : c'est la bonne méthode mais tu as oublié un cas ![smile](img/smilies/smile.png) @Enigmatus : parfait .
Vasimolo
#8 - 11-07-2017 13:45:47
- Tr0llet
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Gâtea 138
On part de l'hypothèse la plus plausible comme quoi le quadrillage est centré sur la galette (et donc qu'il y a 4 noeud par quart de galette). Avec ce bon vieux Pythagore, il suffit de trouver le plus petit entier décomposable en 2 sommes différentes (hors permutations bien sûr !) de 2 carrés d'entiers différents entre eux. Un rapide tableur avec mise en forme conditionnelle des doublons indique la réponse : 65 (= 1*1 + 8*8 = 4*4 + 7*7). Le rayon de la galette est donc de racine de 65 côtés d'un carreau (2 cm), donc son diamètre est de 4 racine de 65 cm, soit 32,25 cm en arrondissant au mm.
#9 - 11-07-2017 18:39:12
- Vasimolo
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Gâteau 13
C'est bon TrOllet , intuitivement cette hypothèse est la bonne ( je n'ai pas de démonstration )
Vasimolo
#10 - 11-07-2017 20:01:31
- Franky1103
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Gâteu 138
Je considère (sans pouvoir le prouver) que la figure est symétrique par rapport aux diagonales et aux axes. Un point ne peut pas se trouver sur une diagonale et donc pas non plus sur un axe. On cherche a1, b1, a2 et b2, tels que: a1²+b1²= a2²+b2², sans être un carré parfait. Une recherche sur tableur me donne les points (7;4) et (8;1) et leurs symétriques par rapport aux diagonales et aux axes, soit 16 points en tout.
#11 - 11-07-2017 20:04:14
- Vasimolo
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gâreau 138
C'est bon Franky et c'est vrai qu'il manque une preuve à tout ça ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#12 - 13-07-2017 03:01:11
- Sydre
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gâteai 138
Effectivement j'ai oublié [latex]65=7^2+4^2=8^2+1[/latex] ![roll](img/smilies/roll.png)
#13 - 13-07-2017 09:52:14
- Vasimolo
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gâteai 138
Voilà qui est bien ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#14 - 13-07-2017 16:08:37
- looozer
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Gââteau 138
Bonjour à tous,
Je suis parti du principe que le centre du meilleur cercle était sur un noeud (mais je ne l'ai pas prouvé).
Dès lors, j'ai recherché dans le premier quadrant du plan cartésien, toutes les sommes égales de 2 carrés d'entiers pairs.
260 a été le premier à s'y présenter 4 fois (2²+16² ; 16²+2² ; 8²+14² ; 14²+8²)
![http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau138.jpg](http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau138.jpg)
On en a donc 4x plus au total des 4 quadrants sur un cercle de diamètre 2 x rac(260).
Resterait à prouver qu'un cercle non centré sur un noeud ne peut donner mieux, mais ça c'est une autre histoire...
Merci pour ta galette ![smile](img/smilies/smile.png)
#15 - 13-07-2017 18:20:52
- Vasimolo
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Gteau 138
Oui Looozer ![smile](img/smilies/smile.png)
La maille de 2 cm est un leurre , on peut se cantonner aux entiers pairs ou impairs . Il y a d'autres entiers avant la solution ayant deux décompositions mais ils ne conviennent pas ( pourquoi ? ) . Le centre de la galette est un nœud , c'est presque trop évident mais bien sûr il faudrait une démonstration ![hmm](img/smilies/hmm.png)
Vasimolo
#16 - 13-07-2017 19:24:01
- gwen27
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Gteau 138
Ca n'est pas presque trop évident, c'est faux... ![hmm](img/smilies/hmm.png)
Chouette réponse que ce 32,25 qui m'a bien fait douter, mais cette réponse n'est pas optimale. 22,80 marche mieux.
![http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g1381PNG.png](http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g1381PNG.png)
#17 - 13-07-2017 21:06:21
- Vasimolo
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Gâeau 138
Bien vu Gwen !!!!
Du coup tout le monde a faux ( à commencer par moi ) .
Je remets un peu de temps et je change la case réponse .
Vasimolo
#18 - 13-07-2017 22:17:44
- gwen27
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Gâteaau 138
Pour preuve, les sommes de 2 carrés de 2 manières au moins ne sont pas nombreuses : 50 avec (1,7) et (5,5) est hors-jeu : On tombe sur une maille paire en partant de (1,1) mais sur seulement 12 points pour des raisons de symétrie du couple (5,5).
et le sera toujours...
65 avec (1,8) et (4,7) ne marche pas car les nombres ne sont pas de même parité donc les coordonnées ne sont pas "inversibles" selon les deux axes quel que soit le centre. On le retrouve dans la "fausse solution" en multipliant les coordonnées par 2, ce qui donne rac(260).
Idem pour 85 et 125...
Le plus petit valable est 130 avec les couples d'impairs (3,11) et (7,9) en partant donc de (1,1)
#19 - 15-07-2017 08:31:13
- halloduda
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Gâtea 138
Le centre de la galette est un nœud , c'est presque trop évident mais bien sûr il faudrait une démonstration hmm
Je remets un peu de temps et je change la case réponse
La case réponse initiale étant fausse, et l'affirmation sur la position du centre également, je donne ma solution, sans accord de la nouvelle case réponse.
2R = 11.40 = 2[latex]\sqrt 32.05[/latex]
![http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-gateau138.png](http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-gateau138.png)
EDIT Zappé "maille = 2 cm" Il faut donc doubler la valeur trouvée, soit 22.80
#20 - 15-07-2017 09:26:07
- Vasimolo
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âteau 138
Il est clair que tu as peu de chance d'être en accord avec la case réponse si tu proposes une valeur approchée du rayon ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#21 - 17-07-2017 08:32:26
- Franky1103
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GGâteau 138
Ce gâteau m'intrigue. Le centre de la galette n"est-il plus un nœud ? Ou n'ai-je pas compris le post #17 ?
#22 - 17-07-2017 11:53:29
- Vasimolo
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Gâteau 38
Dans l'énoncé initial on ne dit rien sur la position de la galette par rapport au quadrillage . La première idée est de centrer le quadrillage avec la galette mais ce n'est pas forcément la bonne ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#23 - 18-07-2017 12:24:15
- scarta
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Gâteau 183
J'ai trouvé 32,25 mais apparemment ça ne marche pas, donc il doit y avoir mieux... Je suis parti du théorème des deux carrés de Fermat, pour trouver le plus petit nombre admettant 16 décompositions: c'est 5*13 = 65 En effet, on a 1²+8² = 4²+7² = 65, donc les 16 points suivants sont sur un cercle centré en O et de rayon sqrt(65) : (1;8),(-1;8),(1;-8),(-1;-8),(4;7),(-4;7),(4;-7),(-4;-7),(7;4),(-7;4),(7;-4),(-7;-4),(8;1),(-8;1),(8;-1),(-8;-1)
Rayon de racine(65) unités, avec un maillage à 2 cm et on veut le diamètre, ça nous donne 32,24903099 cm de diamètre, soit 32,25 mais pas glop. Je vais chercher mieux... Après tout, rien n'indique que le rayon est une racine d'entier
#24 - 18-07-2017 15:40:56
- Vasimolo
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Gâteauu 138
Tu as eu la même idée que beaucoup , on peut faire mieux ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#25 - 19-07-2017 09:26:52
- scarta
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âGteau 138
J'imagine. En passant en équation paramétrée, pour un rayon R et un centre (x0, y0), l'équation paramétrée du cercle est: X = 2mR/(m²+1) + x0 Y = (m²-1)R/(m²+1) + y0 avec m un réel quelconque. Il suffirait de trouver R, x0 et y0 (probablement tous irrationnels) qui donne 16 valeurs entières pour X et Y pour 16 m bien choisis. Pas simple...
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