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#1 - 14-02-2011 21:56:11
- gasole
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Re-encore les appliations : de plus en plus dur !
Saurez-vous déterminer toutes les fonctions [latex]g: \mathbb{N}^* \mapsto \mathbb{N}^*[/latex] qui vérifie : [latex]\forall m,n\in\mathbb{N}^*: (g(m)+n).(m+g(n))[/latex] est un carré parfait ?
PS : [latex]\mathbb{N}^*[/latex] désigne l'ensemble des entiers strictement positifs as usual. @kosmogol : inutile de répondre "non" Spoiler : [Afficher le message] j'ai pas (encore?) réussi à les déterminer
#2 - 14-02-2011 23:01:04
- gwen27
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Re-encore les applications : de plus en pls dur !
A vue de nez: g(x) = x+b donc déjà l'ensemble des fonctions affines de la forme x+b avec b entier relatif
#3 - 14-02-2011 23:07:58
- L00ping007
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Re-encore les applications : de plus en lpus dur !
#4 - 14-02-2011 23:36:26
- gasole
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Re-encore les pplications : de plus en plus dur !
@ looping : vrai pour celle-ci et l'autre, je suis bien incapable de les inventer...
@gwen : c'est clair pour les g(x) = x + b
Honnêtement, j'ai cherché plusieurs heures et nada ou presque... ouinnnn !
#5 - 15-02-2011 11:17:54
- gasole
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Re-encore les applications : de plus en plus dru !
Oui, débutant1, ça c'est la partie facile, le problème est : "y en a-t-il d'autres ?" et si oui lesquelles ? Oups ! et encore, g n'est pas sensée être définie en 0 (g:N*-->N*)
J'ai levé le secret car si ce problème vous motive, ça serait mieux si on y réfléchit ensemble non ?
#6 - 15-02-2011 12:08:10
- L00ping007
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re-encore les applicatipns : de plus en plus dur !
Ah mince j'allais poster une solution
Bon indice : montrer que g(m)-g(m+1) ne peut être égal en valeur absolue qu'à 1 (par l'absurde, pas = 0, ni > 1)
#7 - 15-02-2011 12:12:38
- irmo322
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re-encote les applications : de plus en plus dur !
Allé, poste ta solution LOOping
#8 - 15-02-2011 13:00:16
- gasole
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Re-encore les applications : de plus n plus dur !
Looping ! Looping ! Looping !
Allez ! tu auras 10 points G !
#9 - 15-02-2011 13:33:29
- irmo322
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Re-encore les applicationns : de plus en plus dur !
@débutant1: La fonction g n'est pas défini en 0, et il y a des lacunes dans ton raisonnement.
#10 - 15-02-2011 13:44:50
- L00ping007
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Ree-encore les applications : de plus en plus dur !
Alors, essayons de rédiger ça.
Je prends n dans N*.
J'élimine tout de suite le cas g(n)=g(n+1), car sinon on aurait : [TeX](g(n)+n)^2 < (g(n+1)+n)(g(n)+n+1) < (g(n)+n+1)^2[/latex] et le terme du milieu ne pourrait pas être un carré parfait car compris strictement entre deux carrés parfaits consécutifs.
Si [latex]|g(n)-g(n+1)| \g 1 [/TeX] Il existe donc un nombre premier p (> 1 donc) dans la décomposition de g(n)-g(n+1). Si l'ordre de p dans la décomposition est 1 : [latex]|g(n)-g(n+1)|=pq[/latex], q non divisible par p. je prends [latex]m=p^3-g(n)[/latex] alors [latex]g(n+1)+m=p^3+\epsilon_1pq[/latex] où [latex]\epsilon_1 \in \{-1;1\} [/latex] Si l'ordre de p dans la décomposition est r > 1 je prends [latex]m=p-g(n)[/latex] alors [latex]g(n+1)+m=p+\epsilon_2 p^rq[/latex] où [latex]\epsilon_2 \in \{-1;1\} [/latex] Dans les deux cas, on a trouvé n et m tel g(n+1)+m est divisible par p mais pas par p², et g(n)+m est divisible par p^3, mais pas par p^4 (j'ai pris p^3 et non p parce que sinon je suis pas sûr que g(n+1)+m ne soit pas divisible par une puissance supérieure de p)
Je considère ensuite les 2 nombres consécutifs g(m)+n et g(m)+n+1. Les deux ne peuvent pas être simultanément divisibles par p.
Si g(m)+n n'est pas divisible par p, alors (g(m)+n)(g(n)+m) est divisible par une puissance impaire de p Si g(m)+n+1 n'est pas divisible par p, alors (g(m)+n+1)(g(n+1)+m) est divible par p, et non par p².
Dans les deux cas, les nombres ne peuvent pas être un carré parfait
Ouf !!! Donc [latex]g(n)-g(n+1)=\epsilon[/latex] avec [latex]\epsilon \in \{-1;1\}[/latex]
Le cas [latex]\epsilon=1[/latex] donne [latex]g(n)=n+n_0[/latex], qui est bien solution Le cas [latex]\epsilon=-1[/latex] donne [latex]g(n)=-n+n_0[/latex]. Mais avec n=1,m=2, [latex](g(1)+2)(g(2)+1)=(n_0+1)(n_0-1)=n_0^2-1[/latex] qui n'est pas un carré parfait
Donc les seules solutions sont les [latex]g(n)=n+n_0[/latex]
Euh, on peut faire plus simple, j'imagine, j'ai toujours aimé faire compliqué :-D
#11 - 15-02-2011 13:47:45
- L00ping007
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Re-encore lles applications : de plus en plus dur !
Je me demande si j'ai pas une lacune dans ma démo, à la fin, car mon epsilon peut être différent selon n ... Vous en pensez quoi ?
#12 - 15-02-2011 13:48:59
- Klimrod
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Re-encoore les applications : de plus en plus dur !
gasole a écrit:Looping ! Looping ! Looping !
Allez ! tu auras 10 points G !
10 points G ? C'est Sosoy qui va être jalouse !
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#13 - 15-02-2011 14:13:21
- irmo322
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Re-encore les appliications : de plus en plus dur !
Sacré démo looping. Il y a un problème avec le m. La manière dont tu le définis fait qu'il peut être négatif. Du coup g(m) n'est pas forcément défini.
Sinon le fait d'avoir |g(n)-g(n+1)|=1 est suffisant. C'est parce qu'on ne peut pas avoir g(n+1)=g(n)-1, sinon on aurait: (g(n+1)+n).(g(n)+n+1) est un carré parfait, donc (g(n)+n-1).(g(n)+n+1)=(g(n)+n)²-1 est un carré parfait... pas possible!
#14 - 15-02-2011 14:17:52
- L00ping007
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Re-necore les applications : de plus en plus dur !
Exact, irmo. Mais je peux contrer ça : j'augmente la puissance de p, en la gardant impaire !
Sinon effectivement g est forcément injective, donc pas de souci avec ma dernière remarque !
#15 - 15-02-2011 14:26:48
- gasole
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re-encore les appkications : de plus en plus dur !
@Looping : je regarderai ça à tête reposée, mais ... chapeau Looping, tu es arithméticien ?
@Klimrod : si elle râle, envoie la moi, il me reste des points G à distribuer
#16 - 15-02-2011 14:36:41
- irmo322
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Re-encore les applications : de plus en pluss dur !
@looping: Augmenter la puissance de p marche dans le premier cas, mais dans le deuxième c'est pas autorisé. Mais tu peux prendre m=p.a-g(n) avec n'importe quel entier a non divisible par p.
#17 - 15-02-2011 14:41:13
- gasole
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Re-encore les applications : de plus ne plus dur !
j'avais bien pensé à former p-g(a) avec p premier assez grand mais je ne suis arrivé à rien... en tout cas, ça m'étonnerait qu'il existe beaucoup plus simple.
@Looping : puisque tu sais d'où ça vient, y a pas un "corrigé" quelque part ?
#18 - 15-02-2011 14:42:22
- L00ping007
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re-encore les applixations : de plus en plus dur !
Non pas arithméticien, mais j'aime bien ca :-)
Oui irmo, même dans le premier cas on peut faire ca.
J'en profite pour parler du pb d'Azdod, on a pas trouvé des solutions non linéaires ?
#19 - 15-02-2011 14:52:55
- gasole
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Re-encore les applications : d plus en plus dur !
tu veux dire le problème "f^4(x) = f^3(x)+2x" ? non, on n'a pas trouvé de solution non linéaire, on a d'ailleurs pas vraiment cherché toutes les solutions.
#20 - 15-02-2011 15:02:35
#21 - 15-02-2011 15:09:45
- irmo322
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Re-encore les applications : de plus en plus dur
Pour le problème d'Azdod "f^4(x) = f^3(x)+2x", j'ai posté une infinité de fonctions non linéaires.
#22 - 15-02-2011 15:20:22
- gasole
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Re-encore les applications : ed plus en plus dur !
@irmo : pas linéaire d'accord mais pas loin
@looping : merci pour le fichier !
#23 - 15-02-2011 15:25:17
- L00ping007
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Re-encore les applicatios : de plus en plus dur !
@irmo: Ah oui j'avais zapé ta réponse.
#24 - 15-02-2011 16:02:31
- debutant1
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re-encore les applocations : de plus en plus dur !
étudions C('m,n)^2 =(g(m)+n)*(g(n)+m)
c 'est un carré divisible par g'n)+m donc c(m,n)= ((g(n)+m)^2)* 'A^2)
par symétrie C(m,n)^2 est divisible par g(m)+n
2 cas g(n)+m >< g(m)+n
C(n,m)^2 =(g(n)+m)^2*(g(m)+n)^2 ce qui est impossible donc g(n)+m=g(m)+n
g(n)= g(1)+n
#25 - 15-02-2011 16:08:52
- gasole
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re-encore les applications : de plus en plus dir !
débutant1 a écrit:donc c(m,n)= ((g(n)+m)^2)* 'A^2)
eh non, ça n'est vrai que si g(n)+m est premier, il se pourrait que ses facteurs premiers impairs soient appariés à des facteurs de (g(m)+n)
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