Enigmes

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 #1 - 08-02-2011 23:25:11

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

mes applications ! g o g (x) = -x

Soit [latex]g[/latex] une application définie par:
[TeX]g: R -> R
x -> g(x)[/TeX]
Telle que :
[latex]gog(x)=-x[/latex] pour tout x de R.
Saurez vous calculer g(0) ? smile



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 #2 - 09-02-2011 00:18:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

les appkications ! g o g (x) = -x

Pas facile de la retrouver, mais la voici :

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=5133

Je sais, c'est rageant de voir qu'un autre a eu la même idée une éternité avant hmm En tout cas, j'y avais assez réfléchi sur le moment, il est hors de question que je m'y rattaque lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 09-02-2011 01:36:50

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

les applicationd ! g o g (x) = -x

Montrons d'abord que g est bijective :

injective
Soient x,y tels que g(x)=g(y)
En composant par g, on a alors gog(x)=gog(y), cad -x=-y, donc x=y

bijective
Soit y dans R. On veut trouver x tel que y=g(x)
Prenons x=-g(y)
Alors -x=g(y), donc g(y)=gog(x)
Par l'injectivité, on a y=g(x)

g étant bijective, on peut définir sa réciproque [latex]g^{-1}[/latex]
On compose par [latex]g^{-1}[/latex]
[TeX]g^{-1}ogog(x)=g^{-1}(-x)[/TeX]
donc [latex]g^{-1}(-x)=g(x)[/latex]
En appliquant la relation de l'énoncé à [latex]g^{-1}(x)[/latex] :
[TeX]gogog^{-1}(x)=-g^{-1}(x)[/TeX]
donc [latex]g(x)=-g^{-1}(x)[/latex]
On en déduit que [latex]g^{-1}[/latex] est impaire, donc [latex]g^{-1}(0)=0[/latex], et avec les relations précédentes, g(0)=0

g(0)=0
(et accessoirement g est impaire en plus d'être bijective)

Ca m'a rappelé les colles en prépa smile

 #4 - 09-02-2011 09:10:36

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1433

Les applications ! g o g (xx) = -x

On pose X = g(0)
g(X) = g(g(0)) = 0
g(g(X)) = -X
g(0) = -X
Autrement dit, X=-X donc X = 0 = g(0)

 #5 - 09-02-2011 10:40:30

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Les application ! g o g (x) = -x

Là, comme ça, j'ai envie de répondre g(0) = 0...
Mais je ne suis pas encore convaincu qu'une telle fonction g existe... à part la fonction constante g(x) = 0 pour tout x réel.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #6 - 09-02-2011 11:05:41

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Les applications ! g o g (x)) = -x

g(0)=z
gog(0)=-0=0

g(z)=gog(0)=0
g(0)=gog(z)=-z
2g(0)=z-z=0
g(0)=0

 #7 - 09-02-2011 14:17:57

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

les aoplications ! g o g (x) = -x

Soit a=g(0),
Alors g(a)=gog(0)=-0=0, puis :
gog(a)=gog(g(0))=-g(0)=-a
gog(a)=g(0)=a

donc, a=-a, puis a=0

g(0)=0

 #8 - 09-02-2011 16:01:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Les applications ! g o (x) = -x

Par associativité g est impaire donc g(0)=0 smile

Vasimolo

 #9 - 09-02-2011 16:03:27

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

les apolications ! g o g (x) = -x

D'ailleurs une telle application peut-elle être continue ? Sachant que j'ai déjà montré qu'elle était bijective...
La réponse est non, pour des raisons de monotonie, donc du coup je me demande bien quelle tête peut avoir une telle fonction !

 #10 - 09-02-2011 16:12:33

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Les applicaions ! g o g (x) = -x

Ca me paraît un peu trop simple hmm Mais bon, je tente quand même.

Imaginons que g(0) = 0, alors g(g(0)) est bien égal à 0, ce qui correspond à l'énoncé.

Donc je dirais que g(0) = 0.


EDIT : cela dit, je ne trouve pas de fonction g satisfaisante...


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #11 - 09-02-2011 16:52:27

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3768
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Les applications ! g o g (x = -x

Appelons [latex]a[/latex] la valeur [latex]g(0)[/latex].

Alors [latex]g(a) = g(g(0)) = -0 = 0[/latex]

Intéressons-nous alors à [latex]gog(a)[/latex] :
D'une part [latex]gog(a) = g(g(a)) = g(0) = a[/latex]
D'autre part [latex]gog(a) = -a[/latex] (par définition)

Seule possibilité pour [latex]a[/latex] : g(0) = 0


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #12 - 09-02-2011 17:16:20

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

led applications ! g o g (x) = -x

J'ai attendu avant de répondre car je me demandais s'il existe seulement une fonction réelle g vérifiant l'énoncé.

Sinon, en procédant par l'absurde c'est pas compliqué :

si g(0)=r (différent de 0)
alors g(r) = g(g(0)) = 0
et donc g(g(r)) = g(0) = r par hypothèse, or g(g(r)) devrait être égal à -r, d'où une contradiction.

Sous l'hypothèse que g existe alors g(0)=0.

Question subsidiaire : prouver qu'il existe une telle fonction g, ou qu'il n'en existe pas ? Dans les complexes c'est facile (g(x)=ix) mais dans les réels... tu as une idée Azdod ?

 #13 - 09-02-2011 18:37:26

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Le sapplications ! g o g (x) = -x

La fonction est impaire et définie en 0; elle est donc nulle pour x=0.


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 09-02-2011 21:03:03

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Les appllications ! g o g (x) = -x

g(g(0))=0 donc g(g(g(0)))=g(0)
Or g(g(g(0)))=-g(0)
Donc g(0)=0.

 #15 - 10-02-2011 08:16:34

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Les appllications ! g o g (x) = -x

Bon.
Pour tout x de R, si g(x)=y alors g(y)=-x
Ce qui peut s'écrire aussi : g(x)=g-1(-x)

Avec les nombres imaginaires je trouverais une fonction : g(x)=ix.
Mais dans R je ne trouve rien.

D'un point de vue géométrique, si un point appartient à la courbe de g alors le point issu de la composition d'une symétrie orthogonale selon l'axe y=x et d'une symétrie selon l'axe x, soit une rotation anti-horaire de 90° de centre O (intersection des 2 axes de symétrie) appartient également à cette courbe.
Donc si (x,y) appartient à la courbe, les résultats de la rotation de 90°, 180° et 270° aussi.

Est-ce qu'une telle fonction de R dans R (bijective et tout) existe ? Je ne sais pas.
Il me semble qu'une telle fonction ne peut pas être continue.
Toujours est-il que g(0)=0 faute de quoi la courbe posséderait 2 points symétriques selon l'axe x pour x=0, ce qui est contraire à la définition d'une fonction.

Ce qui m'amène à une réponse beaucoup plus rapide à la question :
Si g(0)=k alors g(k)=0.
Or g(g(k))=-k d'où g(0)=-k.
Pour une fonction g : on aura donc k=-k, d'où g(0)=0 !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #16 - 10-02-2011 10:50:22

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

eLs applications ! g o g (x) = -x

g(g(0))=-0=0
On regarde ensuite g(g(g(0))) de 2 façons:
g(g(g(0)))=g[g(g(0))]=g(0) d'une part.
g(g(g(0)))=g(g[g(0)])=-g(0) par définition de g(g(x))=-x.

Donc g(0)=-g(0).
Donc g(0)=0.

Amusant et pas trop prise 2 tête pour une fois smile

 

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