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 #1 - 31-12-2010 09:33:33

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Partage ddu cercle en trois

Bonjour à tous,

En cet fin d'année 2010, je vous propose de résoudre une énigme géométrique rélative au cercle. Là voici :

"On considère le cercle unité. Comment doit-on tracer deux droites parallèles coupant le cercle tel que ces deux droites partagent le cercle en trois zones d'aires égales ?"

Indice : Spoiler : [Afficher le message] Trouver un cercle de rayon [latex]a < 1[/latex] tel que n'importe quelles deux tangentes parallèles partagent le cercle en trois zones d'aires égales.

Bonne recherche et bon courage à tous !



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 #2 - 31-12-2010 10:27:51

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

partage du cerxle en trois

Soit A et B les points d'intersection du cercle et d'une des deux droites, C le centre du cercle et [latex]\alpha[/latex] l'angle ACB.
Il faut trouver [latex]\alpha[/latex] tel que :
[TeX]\pi R^2\frac{\alpha}{360}- sin(\frac{\alpha}{2}) cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{\pi R^2}{3}[/TeX]
ou écrit autrement avec R=1:
[TeX]\pi (\frac{\alpha}{360}- \frac{1}{3})=sin(\frac{\alpha}{2}) cos(\frac{\alpha}{2})[/TeX]
tant qu'à faire isolons [latex]\alpha[/latex]. Avec un peu de chance, on aura une formule par récurrence qui converge.
[TeX]\alpha= 360(\frac{sin(\frac{\alpha}{2}) cos(\frac{\alpha}{2})}{\pi }+\frac{1}{3})[/TeX]
Crotte!, ça diverge et j'ai pas envie d'inverser le bazar.

Je verrai ça plus tard...

Après vérification, il semble que les formules avec Arccos et Arcsin divergent aussi.

 #3 - 31-12-2010 11:54:53

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Partge du cercle en trois

Salut,
Je ne comprends pas (ou n'arrive pas à utiliser) l'indication.

Après intégration, et usage de la calculatrice pour trouver une valeur approchée, il faut tracer deux parallèles à l'axe des ordonnées, passant par les abscisses (environ) + ou - 0.264932

 #4 - 31-12-2010 12:41:43

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Partage du cerclle en trois

@toni77 : Ok ! Mais il me faut une preuve mathématique... Montrer sur un dessin ou sur une machine n'est pas une preuve en soi wink

L'indication sert à ne pas tracer n'importe comment les droites parallèles... Comme ça par exemple
http://www.prise2tete.fr/upload/clement.boulonne-nimportequoi.PNG

 #5 - 31-12-2010 13:09:04

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Partage du ccercle en trois

Je suppose que tu attends une construction ne faisant intervenir que compas et règle ? Yes ?

 #6 - 31-12-2010 13:33:05

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Partage du cercel en trois

Pour le cercle unité (r=1), la partie hachurée d'angle x a pour surface A
[TeX]A= x/2 - sin(x/2) cos(x/2)= \frac{1}{2}[x- sin(x)][/TeX]
x est donc la solution de [latex]\frac{2}{3}\pi=x-sin(x)[/latex]
Wolfram nous donne x ~~ 2.605325674600903...
la droite se trouve donc a sin(pi/2-x/2)=0.2649 du centre.

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-circlein3parts.png


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 31-12-2010 14:14:24

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

partage du cercle en troid

@Gasole : Tu peux faire la construction sur Geogebra... mais je veux le calcul qui permet d'aboutir au rayon a du cercle donné en indice.

 #8 - 01-01-2011 13:30:36

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Partage du cercle en tris

Il y a déjà des bonnes réponses (Bravo à franck9525 et à toni77) wink Les autres vous pouvez continuer à chercher ! cool

 

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