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 #1 - 12-11-2011 10:11:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

Gâetau 44

J'ai voulu m'essayer à la pâtisserie , je vous laisse admirer le résultat yikes

http://img830.imageshack.us/img830/6180/coupen4.jpg

Dans mon malheur j'ai tout de même réussi , en partant d'un point O , à découper mon œuvre en quatre parts triangulaires égales ( de même aire ) .

Mais où est le point O ?

Amusez-vous bien !

Vasimolo

Indice 1( Nodgim esereth et Tilapiot vont me haïr mais je prend le risque lol)

Spoiler : [Afficher le message] Le point O n'existe que pour certains gâteaux très particuliers .

Indice 2 ( qui ne va pas me raccommoder avec halloduda )

Spoiler : [Afficher le message] Où sont les points O donnant des aires égales aux triangles BOA et BOC ?

http://img194.imageshack.us/img194/42/indiceru.jpg



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 #2 - 12-11-2011 10:46:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Gâteau 444

Au premier regard, j'en étais à douter de l'existence de ce point...
C'est l'intersection de 2 droites.
Pour la 1ere droite: On trace une parallèle à AD distante de BC et une parallèle à BC distante de AD. Le point d'intersection de ces 2 parallèles et le point d'intersection des prolongements de AD et BC sont 2 points de la 1ère droite.

Faire la même chose pour la seconde droite avec AB et CD.

 #3 - 12-11-2011 10:49:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

âGteau 44

Il y a une solution géométrique sans aucun calcul smile

Vasimolo

 #4 - 12-11-2011 11:08:34

Psykotaker
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 28
Lieu: Université Paul Verlaine

Gâteu 44

A tout hasard, O ne serait pas tout simplement le centre de gravité de ABCD ?


Quand les choses deviennent trop compliquées, il est parfois normal [...] de se demander : ai-je posé la bonne question ?

 #5 - 12-11-2011 11:21:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

Gâtteau 44

Le hasard ne fait pas toujours bien les choses smile

Vasimolo

 #6 - 12-11-2011 11:52:25

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

gâtzau 44

Ah un gâteau........

Où est le point O ?

C'est le sommet commun à tous les triangles big_smile


Au fait, les distances AB, AD, DC, BC sont-elles obligatoirement des valeurs entières ? (oupsss!)

 #7 - 12-11-2011 12:47:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3330

Gâteauu 44

Il se trouve sur le barycentre du gâteau non ?
Je ferai le dessin plus tard.
(On prend le milieu de chaque côté du gâteau, et on trace les deux droites passant par les milieux opposés, elles se coupent en un point O.)

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 12-11-2011 12:51:59

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3820
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Gâtea u44

Bonjour,

Vasimolo a écrit:

Mais où est le point O ?

Ca me rappelle une histoire drôle :
http://www.prise2tete.fr/upload/Klimrod-16-Vasimolo.jpg

Désolé, je n'ai pas pu m'empêcher... ------->[]

[Edit] Pour être plus sérieux, le point O devrait être sur le centre de gravité, non ? En fait, je n'en suis pas très sûr...


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #9 - 12-11-2011 12:57:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Gâteau 444

Bon j'ai donné une soluce géométrique, je ne sais pas s'il y a plus simple.

 #10 - 12-11-2011 15:21:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

gâreau 44

@Nodgim

Je ne pense pas que ta construction soit juste !

Vasimolo

 #11 - 12-11-2011 16:27:51

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Gââteau 44

Je ne sais pas si cela répond entièrement à la question.
J'ai trouvé ça dans un vieux pb (gâteau 6). Il est facile de montrer que ça donne une solution Puisque B et D sont équidistants de (AC), les triangles ABC et ADC ont même aire.
Si on prend O milieu de [AC], les médianes[OB] et [OD] coupent les deux précédents triangles en deux parties égales.
D'où le résultat escompté dans ce cas particulier.
http://www.prise2tete.fr/upload/esereth-gateau44.png

Maintenant s'il faut montrer que la condition est nécessaire pour pouvoir réussir une construction, je n'ai pas trouvé.

 #12 - 12-11-2011 16:59:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

gâteay 44

Une construction d'esereth pour un cas particulier de gâteau smile

Existe-t-il d'autre gâteaux pour lesquels le partage est possible ???

Vasimolo

 #13 - 12-11-2011 18:05:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Gtâeau 44

C'est vrai que j'ai seulement réalisé le partage correct 2 à 2 (ceux des cotés se faisant face) mais pas les 4 ensemble.
Aussi, j'en reviens à mon idée première en disant que seuls des cas particuliers peuvent marcher, et que ça ne marche pas dans le cas général.
ça marche avec le losange, mais pas avec le parallélogramme.

 #14 - 12-11-2011 20:11:41

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

gâteai 44

J'ai commencé avec de la pâte feuilletée (lol)...
...avec un quadrilatère tracé sur une feuille A4, mais ne trouvant pas de construction systématique ("abordable"), j'ai ensuite essayé de mouliner sous EXCEL...

Même si ma construction sur papier ne donnait rien, mais j'ai qd même constaté que O semblait le milieu de AC.
En imposant le point A en (0;0), et le point B en (5;0), zou la moulinette pour trouver les points C, D et O (milieu de AC)...
J'ai (ahem... Excel a) trouvé plusieurs scénarios possibles, dont en voici un :
http://img6.imagebanana.com/img/uejza3rr/Gateau44pourP2T.gif

 #15 - 13-11-2011 00:02:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

Gâeau 44

Un petit bilan et j'ajoute un indice dans le message initial .

@Nodgim : essaie sur des exemples où tu sais faire smile
@Psykotaker et Klimrod : vous avez raison de douter , O n'est pas le centre gravité ( en général ) .
@Shadock : non ce n'est pas le point d'intersection des médianes .

Esereth et TiLapiot : vous avez la réponse , il ne manque plus que la preuve smile

Vasimolo

PS : j'ajouterai peut-être un peu de temps si on me le demande poliment lol

Personnellement je ne suis pas fan des sujets qui traînent en aveugle sur une semaine ou plus .

 #16 - 13-11-2011 09:09:24

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 487
Lieu: Ardèche

gâtzau 44

Oui, le point O n'existe que si le gâteau est un parallélogramme.

En effet, aire(AOD)=aire(AOB) exige O sur la demi-droite qui relie le point A au milieu de BD.
(les distances de O à AB et AD sont dans la proportion AD/AB).

De même, O est sur la demi-droite qui relie le point C au milieu de BD.

Sauf forme particulière, O est donc le milieu de BD.

De même, il est le milieu de AC.
Pour satisfaire toutes ces conditions, les milieux de BD et de AC doivent être confondus.
ABCD est alors un parallélogramme, O en est le centre.

EDIT suite à note de Vasimolo
Forme particulière évoquée plus haut : (A, O et C alignés)

Alors, il suffit que les distances de B et D à AC soit égales.
Ou que le milieu de BD soit sur AC (c'est la même chose).

 #17 - 13-11-2011 10:15:58

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

Gâteeau 44

C'est l'idée , halloduda , mais la conclusion n'est pas bonne smile

http://img62.imageshack.us/img62/7093/contreexemple.jpg

Vasimolo

 #18 - 13-11-2011 18:59:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

gâreau 44

J'ai ajouté un deuxième indice smile

Vasimolo

 #19 - 13-11-2011 21:21:10

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 667
Lieu: Belgique

Gâteaau 44

Il faut qu'une diagonale (au moins) passe par le milieu de l'autre.
Ce milieu est alors le point O recherché.
  => j'y retourne j'aurais dû vérifier hmm

Voilà mieux :

Il faut qu'une diagonale passe par le milieu de l'autre.
Le milieu de la première est alors le point O recherché.


Beaucoup moins simple qu'il n'y paraît ce gâteau (et merci pour les indices qui m'ont motivé à me relancer alors que j'avais lâchement laissé tomber roll)

 #20 - 13-11-2011 22:49:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

Gâteaau 44

Non looozer smile

La condition nécessaire et suffisante d'existence doit pouvoir se lire sur mon dernier dessin , après il faut le prouver ...

N'hésite pas à utiliser le 2ème indice smile

Vasimolo

 #21 - 13-11-2011 23:20:17

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 667
Lieu: Belgique

Gâeau 44

Bizarre, pourtant ça marche chez moi :
http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau44.jpg
Je m'en vais rédiger une petite preuve...

Si O est le point tel que ABO et BCO ont la même aire et sachant que BO est une base commune à ces deux triangles, les hauteurs relatives à BO dans ces deux triangles doivent être égales (et parallèles).

Elles déterminent donc un parallélogramme dont une diagonale est AC et l'autre BO. La droite BO doit donc forcément passer par le milieu M de AC.

Dans le quadrilatère ABCD, O doit donc se trouver sur BM.
Par analogie, il doit aussi se trouver sur DM. O ne peut donc être que M lui-même.

A ce stade ABO et BCO ont même aire, ADO et DCO également.
Pour que les 4 aient la même aire, il faut encore que CN et AN (N étant le milieu de BD) passent également par M, ce qui arrivera si N appartient à AC.

Je ne suis pas très simple, sans doute, mais je n'ai pas mieux pour ma défense ;-)

PS : J'ai modifié mon dessin pour qu'il corresponde à l'énoncé et à mes explications.

 #22 - 13-11-2011 23:24:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4831

gâtrau 44

En fait tu as raison , c'est une autre façon d'exprimer ce que j'avais en tête , j'attends ta démo smile

Vasimolo

 #23 - 14-11-2011 10:54:41

Zindy
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 50

Gtâeau 44

Si, dans un quadrilatère ABCD, deux sommets opposés (par exemple B et D) sont à égale distance de la diagonale formée par les deux autres sommets (dans notre exemple, la diagonale AC), alors on peut trouver très facilement le point O, il sera au milieu de la diagonale, donc tel que AO=OC.

Pourquoi ça marche ? Eh bien O étant au milieu de la diagonale, les triangles AOB et BOC ont une base de même longueur (AO=OC), ils ont la même hauteur h1, donc la même aire (base x hauteur/2). De même, les triangles AOD et DOC ont une base de même longueur (AO=OC), ils ont la même hauteur h2, donc la même aire (base x hauteur/2).
Or notre quadrilatère a ses deux sommets B et D à égale distance de la diagonale AC, donc les deux hauteurs h1 et h2 sont égales de part et d'autre de la diagonale du quadrilatère. Les aires des quatre triangles, donc des quatre parts de gâteau, sont égales, et tout le monde est content, sauf les gourmands qui aiment bien avoir la part la plus grosse...!

 #24 - 14-11-2011 11:22:54

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1768

gâtzau 44

Bonjour !

A une époque où, jeune neutral, mince smile (et beau aussi big_smile), je mangeais plus de tes gâteaux ...., j'avais répondu à tes sujets n° 6 et sa variante n° 6 bis ainsi :


Mon ami GETA pour GATO6 m'avait conduit à cette page

http://pagesperso-orange.fr/debart/geop … html#af374



qui revient à la construction trouvée par Scrablor ....
Merci à Vasimolo d'avoir rebondi sur le sujet
(boiing! boiing !)
A bientôt



Je pense que la construction pourrait être "recyclée" pour trouver le découpage n° 44 en triangles au lieu de quadrilatères, en se servant du même point P.

Je reviens si illumination et/ou figure à poster ...

A bientôt !

Tant que j'y suis , je recycle aussi le "doodle" de l'époque !
http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-macarongoogle.jpg


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #25 - 14-11-2011 16:55:52

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,627E+3

hâteau 44

Pour que les triangles aient la même aire, il faut que les hauteurs issue des sommets opposés à leur face commune soient de même longueur.

Le milieu de [BD] appartient donc à la droite (OC) ainsi qu'à la droite (OA)
Idem pour le milieu de [AC] qui appartient donc à la droite (OB) ainsi qu'à la droite (OD)

Pour que ces deux conditions soient réunies, il faut que le milieu d'une des diagonales (au moins) appartienne à l'autre diagonale. Le point O est alors le milieu de cette seconde diagonale.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g44.PNG

En espérant être clair...

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