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 #1 - 10-01-2017 19:46:49

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Le carré de la'nnée 2017 !

Une petite énigme mathématique pour fêter la nouvelle année.

Q1. Trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est 2017.
(source : diophante.fr)

Q2. Quel est le plus petit carré parfait dont la somme des chiffres est 2017 ?
(source ... perso ^^)

J'ai répondu à la question Q1, mais je me vois bien incapable de répondre à la question Q2... Est-il possible de le faire "à la main" ? Ou alors avec un simple tableur ? Ou faut-il des outils plus puissants ?

Bonne recherche !



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 #2 - 10-01-2017 20:58:29

bidipe
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1117
Lieu: Côte basco-landaise

Le carré de lannée 2017 !

Un carré qui contiendrait 224 fois le chiffre 9 et une fois le chiffre 1 serait bon, non ?
Mais je ne sais plus faire un truc en python pour chercher ca
et je n'ai plus l'énergie de rechercher roll

 #3 - 10-01-2017 21:52:55

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2803
Lieu: Luxembourg

Le carréé de l'année 2017 !

Si je pars de l'hypothèse qu'un chiffre de 0 à 9 vaut en moyenne 4,5 alors ce carré parfait est composé d'environ 448 chiffres: ce n'est pas de mon niveau. sad

 #4 - 10-01-2017 22:45:06

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 426

Le carr éde l'année 2017 !

Pour Q2, cette suite : https://oeis.org/A068947 donne les premières valeurs, obtenues informatiquement, quand tu te poses la même question mais pour des nombres plus petits que 2017.

Par exemple, il y a 707 dans la liste car c'est le premier entier dont la somme des chiffres du carré dépasse 40 (elle vaut 43), puis vient 836 car c'est le premier pour lequel elle dépasse 43 (elle vaut 46).

À partir de ces valeurs, on observe une progression exponentielle : le premier entier pour lequel la somme des chiffres du carré dépasse n vaut à peu près 10^(0,063n). Appliqué à 2017, ça donne 10^127 : ce qui est sûr, c'est qu'on ne peut pas trouver le nombre recherché par la force brute, il aura probablement plus de 120 chiffres...

PS : et encore, je n'avais pas besoin d'aller chercher tout ça... à supposer que le carré ne contienne presque que des 9, comme 2017/(9*2) vaut environ 112, il est inutile d'espérer trouver un nombre qui convienne à moins de 110 chiffres.

 #5 - 11-01-2017 01:18:08

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

Le carré de l'anée 2017 !

Hello

Il est possible que le nombre
449999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999

(à un 9 ou deux près du à une omelette maladroite)*

au carré ait sa somme des chiffres égale à 2017


Si je n'ai pas fait d'erreur (ce qui serait détonnant)
ce nombre serait égal à

202499999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999910000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000001 **



* 2 quatre suivis de 225 neufs

** 2024 suivi de 223 neufs suivis d'1 un suivi de 225 zéros suivis d'un 1

Quant à trouver le plus petit ... c'est une autre paire de channel.


Du fagot des Nombreux

 #6 - 11-01-2017 09:46:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
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le carté de l'année 2017 !

Salut Looping.

Diophante est une source inépuisable d'énigmes....

Je propose 10^224 - 9, dont le carré comporte 448 chiffres. Y a peut être plus petit, j'en sais rien. Il faudrait essayer 10 ^ 224 - 9k.

Si j'ai le temps, je regarderais de plus près.

 #7 - 11-01-2017 09:56:12

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Le carré de l'année 2107 !

@tous : on peut répondre à la Q1 sans aide informatique, comme aurynz l'a brillamment prouvé smile Et trouver un nombre qui s'exprime facilement avec des exposants.

@bidipe : je ne suis pas sûr que le nombre que tu cites soit un carré. En revanche, il intervient dans le nombre que j'ai trouvé et qui répond à la Q1 ... Tu peux en faire quelque chose, de ce nombre ! Et sans Python smile

@Franky1103 : c'est exactement ce que je me suis dit au début en lisant l'énoncé de cette question Q1, mais en tâtonnant un peu, on peut trouver des choses smile

@Ebichu : je suis d'accord avec toi sur la Q2, et ce que tu dis me conforte dans l'idée que c'est plutôt compliqué, et hors de notre portée, de trouver le meilleur nombre répondant à la question. Ca reste donc un problème ouvert !
Mais je suis sûr que tu peux répondre à Q1 les doigts dans le nez wink

@aurynz : Bravo, ton nombre fonctionne ! Et il contient donc 454 chiffres.
Celui que j'ai trouvé contient 448 chiffres, avec un type de construction similaire. Le tien est un 9p-1, le mien est un 9q+1
(j'ai enfin compris tes 2 jeux de mots, omelette et channel, j'en ris encore ... ahahah)

@nodgim : Bravo, ton nombre fonctionne ! Et il contient donc 448 chiffres.
Ah ben tiens, c'est celui que j'ai trouvé moi aussi :p
Et en effet, la question demeure : peut-on trouver mieux "facilement" ! Je cherche de mon côté aussi

 #8 - 11-01-2017 10:21:50

halloduda
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Le carré de l'annnée 2017 !

Q1
j'ai répondu à Diophante :

sum of digits (2*10^224-1)² = 2017

Q2
Je n'ai pas de méthode

 #9 - 11-01-2017 10:29:45

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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le carré de l'anbée 2017 !

@halloduda : Encore un nouveau nombre qui répond à la question, bravo !
Ton carré contient 449 chiffres. Ton nombre, avant passage au carré, ressemble très fortement à celui que nodgim et moi proposons ... Un seul chiffre est placé différemment smile

 #10 - 11-01-2017 11:56:28

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Le carré de l'année 201 7!

Oui, c'est sûr qu'il y a mieux !

Il y a par exemple 10^217 -555 555 555 si je ne m'abuse.

(10^n - k) ²= 10^2n - 2k*10^n + k²
En mettant des 555..par groupe de 9 (pour respecter le modulo 9), le 2k vaut 1111...., et donc on ôte seulement 1 pour un 5 à la somme des chiffres, mais le k², qui est en positif, fournit en principe une somme de chiffres bien supérieure à ce qu'on ôte dans le 2 k.

Maintenant, il faudrait faire le calcul exact par Wolfram ou autre.
Evidemment, le 5555...ne doit pas dépasser une certaine valeur pour rester dans les n chiffres à droite.
On peut estimer que 55...55² donne une somme de 9 par chiffre 5 (2 fois 4,5)

On peut essayer 10^153 - 555...(72 fois 5) en ajustant le 153 de 10^153.

 #11 - 11-01-2017 14:22:19

Ebichu
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le carré de m'année 2017 !

Oui, il y a 999...9998. Quand tu dis 448 chiffres, je suppose que tu parles du carré, pas de ce nombre.

Une question intéressante et pas trop difficile est d'identifier l'ensemble des nombres qui, comme 2017, sont la somme des chiffres d'un carré parfait.

 #12 - 11-01-2017 15:52:55

gwen27
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le varré de l'année 2017 !

98^2 = 9604
998^2 = 996004

999999....98^2 = 999999..96000000...04

Et donc 999999.......9998^2 avec 223 fois le chiffre 9 aura comme somme de chiffres 9*223 +10 = 2017

il aura 448 chiffres.  (223 "9" ,  un 6 ,  223 "0" et un 4 )

 #13 - 11-01-2017 16:22:38

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Le carré de l'anné e2017 !

@Ebichu : Yes ! oui je parle du nombre de chiffres du carré. Le tien, très proche du mien, a bien 448 chiffres aussi. Tu as pris le "-2" alors que j'ai pris le "-9"

@nogdim : en effet tu as bien amélioré les choses ! Si je compte bien, ton meilleur carré tourne autour de 300 chiffres. Félicitations !

@gwen : même nombre que Ebichu, bravo wink

@tous : Ebichu suggère une digression :

Une question intéressante et pas trop difficile est d'identifier l'ensemble des nombres qui, comme 2017, sont la somme des chiffres d'un carré parfait.

Une piste pour répondre à cette question pourrait être de calculer, pour un nombre qui est un carré parfait, ce nombre modulo 9, n'est-ce pas ? C'est en tout cas de là que je suis parti pour Q1, pour ma part.
Spoiler : [Afficher le message] sur quoi tombe-t-on quand on calcule modulo 9 un nombre initialement écrit en base 10 ? ...

 #14 - 11-01-2017 18:13:37

gwen27
Elite de Prise2Tete
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le catré de l'année 2017 !

307 chiffres pour le carré de 

31622776601683793319988935444327185337195551393252168
26857504852792594438639238221344248108379300295187347
284152840055148548856030453880014690519596700044

On doit encore pouvoir affiner...

 #15 - 11-01-2017 19:35:59

L00ping007
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Le crré de l'année 2017 !

@gwen27 : De loin la réponse la plus originale, quand on voit le nombre de départ ! 307 chiffres et pas de suite de 9 ou autre chiffres, comme dans les autres réponses smile
Et sans doute une méthode qui permettra de trouver des nombres encore meilleurs big_smile

 #16 - 11-01-2017 23:08:22

Ebichu
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le carré de l'anbée 2017 !

4333333...333 donne un carré à 270 chiffres, je suppose que la réponse de gwen ressemble à ça ?

 #17 - 12-01-2017 10:12:38

L00ping007
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le carré de l'abnée 2017 !

xxxxxxxxx donne un carré à 270 chiffres, je suppose que la réponse de gwen ressemble à ça ?

Non le nombre trouvé par gwen est beaucoup moins rationnel que tous les autres nombres que nous avons trouvés !
Mais il est pour l'instant moins efficace que ton nombre, qui fonctionne parfaitement !
270 chiffres est donc le meilleur résultat pour l'instant.
J'ai essayé de bidouiller ta solution, avec autre chose que des 4 et des 3, mais je ne trouve rien de concluant sad

 #18 - 12-01-2017 17:48:30

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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le carré se l'année 2017 !

@nonodydy : Bien vu ! Même réponse que celle d'Ebichu, et c'est pour l'instant le meilleur que l'on ait ! wink

 #19 - 13-01-2017 08:22:58

nobodydy
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Le carré de l'année 20177 !

OK

J'avais effacé mon post car j'avais une petite erreur dans mon tableur mais cela ne semble pas modifier le résultat au final hmm

donc je remets



43333333333333333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333333333333333333333333333333333333333333333
33333333333333333333333 au carré

égale

18777777777777777777777777777777777777777777777777777777
77777777777777777777777777777777777777777777777777777777
77777777777777777777777488888888888888888888888888888888
88888888888888888888888888888888888888888888888888888888
8888888888888888888888888888888888888888888889

 #20 - 13-01-2017 19:58:04

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 140

le carré se l'année 2017 !

(call water !)

Sauf erreur (probable) de ma part

le nombre qui s'écrit
498...(130 chiffres 7)...896...(131 chiffres 8)...96

pourrait convenir.

il est probablement le carré de
22...(132 chiffres 3)...6

Le nombre proposé a donc (?) 269 chiffres
(plus ou moins le montant de ma bourde habituelle)

(r'hello !)




___________________________________
PS : juste pour éviter l'usage des 2,3 et 6

4909814719624529523608602687681767166615651464136312621161106009590858075706560555045403530252015100499948984797469645954494439342924191409039893888378736863585348433833282318130802979287827772676257524742373227221712070237969833929429889399040914192429343944495459646974798489950005101520253035404550556065707580859096010611162126313641465156616671768186919702071217222732374247525762677277828792980308131823283338434853586368737883889399041

qui a 442 chiffres (donc pas pour le record)
est le carré de
70070070070070070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707071

sot fer heure
toujours présente dans mes développements.


Du fagot des Nombreux

 #21 - 14-01-2017 00:01:57

Robotnik
Visiteur

le catré de l'année 2017 !

Voici le plus petit nombre que j'ai trouvée pour le moment :

154804409901997555336985170601183436283679895026626014279375766925446687871725496750319611476864387742446709209464957199122753976617545677093957773743588988889998899899899898888899999898998999999988988889898999989889898989989898999888998899899898888888999999898989888888988999888988888899889998899893441

 #22 - 14-01-2017 00:03:44

Dr.Robotnik
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 2

Le caré de l'année 2017 !

Voici le plus petit nombre que j'ai trouvée pour le moment :

154804409901997555336985170601183436283679895026626014279375766925446687871725496750319611476864387742446709209464957199122753976617545677093957773743588988889998899899899898888899999898998999999988988889898999989889898989989898999888998899899898888888999999898989888888988999888988888899889998899893441

 #23 - 16-01-2017 00:33:37

Dr.Robotnik
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 2

Le carré de l'aannée 2017 !

J'ai trouvée un nombre avec 34 chiffres en moins par rapport à mon précédent soit 270 comme nonodydy et Ebichu :

587777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777773688888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888896

Pouvez vous me dire si un nombre avec moins de chiffres ai déja été trouvée ?

 #24 - 16-01-2017 09:34:39

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

le catré de l'année 2017 !

@aunryz: Bravo ! Très joli carré parfait de 269 chiffres, c'est donc bien le record big_smile Et son écriture est assez simple smile

@Robotnik : encore un nouveau nombre avec 270 chiffres, bien vu smile Et on peut faire un poil mieux :p

 #25 - 17-01-2017 09:04:13

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Le carré de 'lannée 2017 !

En résumé, beaucoup de réponses possibles, des nombres qui se ressemblent, d'autres pas du tout, notamment celui de gwen basé sur l'écriture décimale de racine(10).

Le record est donc détenu par aunryz, avec un carré parfait de 269 chiffres.
22...(132 chiffres 3)...6² = 498...(130 chiffres 7)...896...(130 chiffres 8)...896

Au fur et à mesure du problème, je me suis aussi posé très rapidement une autre question, mais sans y réfléchir plus que ça :
Q3: Quel est le plus grand carré parfait dont la somme des chiffres est 2017 ?

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