PRISE = DE x TETE

pourquoi c'est pas
PRISE= 2 x TETE ??

pour Piode :

PRISE = 2 x TETE était plus beau mais ne donne aucune solution
PRISE = 2 x TÊTE en donne trop

PRISE est un multiple de 101 (101 * DE * TE) composé de cinq chiffres différents donc DE*TE est un nombre à trois chiffres tel que la somme du premier et du dernier vaut au moins 10.

On sait que E*E donne un nombre se terminant par E : E vaut donc 0, 1, 5 ou 6. Il est impossible qu'il vaille 0 ; s'il vaut 1, alors DE*TE=D1*T1 vaut 9A1 avec A un chiffre quelconque. Impossible, j'ai vérifié à la main, ça m'a pris une minute. Donc E vaut 5 ou 6. Arrivé là, j'ai PRISE qui vaut au minimum 15*25*101=37875 d'où P supérieur ou égal à 3.

Pour le critère de divisibilité par 101 : P-RI+SE divisible par 101 ; autrement dit, il faut P-RI+SE = 0 soit P+SE=RI. Par conséquent, R=S+1 et E+P=10+I. En fait, on s'en doutait déjà, mais c'est toujours bien d'avoir ça proprement posé sur papier... Vu que c'est juste une conséquence de la multiplication par 101, je ne pense pas que ça sera très utile. Le plus important est que le résultat du produit 101*DE*TE est composé de cinq chiffres différents... et d'ailleurs, DE*TE=PSE avec P+E supérieur ou égal à 10.

- si E vaut 5, on cherche P supérieur ou égal à 6. On a 65*15=975,  45*15=675, 35*25=875, et c'est tout. Tentons la multiplication par 101 pour voir si on respecte l'unicité des chiffres : 101*975=98475 marche, 675*101=68175 ne marche pas à cause de la répétition du 1, 101*875=88375 ne fonctionne visiblement pas.

- si E vaut 6, on veut P supérieur ou égal à 4. 56*16=896, 46*16=736, 36*16=576. Rebelote : 101*896=90496 ne marche pas, 101*736=74336 non plus, 101*576=58176 ne marche pas à cause du 1.

J'en conclus deux solutions "équivalentes" : 65*1515 ou 15*6565 font 98475.



EDIT : le solveur Dcode est d'accord avec mes solutions. Cool ^^

Oui, monsieur, je le peux

DE*TETE=PRISE soit 101*DE*TE=PRISE. Multiplie un nombre à trois chiffres quelconque par 101, disons abc :

  101
* abc
_____
  abc
abc
_____
axybc

Le chiffre des centaines sera y = (a+c) modulo 10, celui des milliers sera x = b ou b+1 (suite à une éventuelle retenue) mais le chiffre des dizaines de milliers restera a et les chiffres des dizaines et des unités seront forcément b et c.

De là je conclus : si 101*(DE*TE)=PRISE alors DE*TE=PSE. Voilà, mon cher

15 * 6565=98475
65 * 1515=98475

E * E finit par E donc E=0,1,5 ou 6, (on élimine 0 car sinon SE = 00)

on suppose T et D sont non nuls.
T * D < 10 sinon PRISE >=100000.

Donc (T,D) = (3,2) ou (3,1) ou (2,3) ou (2,1).

Ca réduit donc à 12 cas pour (T,D,E) :

(T,D,E) = (3,2,1) alors PRISE = 65751, non
(T,D,E) = (3,2,5) alors PRISE = 98375, non
(T,D,E) = (3,2,6) alors PRISE = 104536, non
(T,D,E) = (3,1,1) non
(T,D,E) = (3,1,5) alors PRISE = 53025, non
(T,D,E) = (3,1,6) alors PRISE = 58176, non
(T,D,E) = (2,3,1) alors PRISE = 65751, non
(T,D,E) = (2,3,5) alors PRISE = 87375, non
(T,D,E) = (2,3,6) alors PRISE = 84536, non
(T,D,E) = (2,1,1) non
(T,D,E) = (2,1,5) alors PRISE = 37875, non
(T,D,E) = (2,1,6) alors PRISE = 42016, non
(T,D,E) = (1,2,1) non
(T,D,E) = (1,2,5) alors PRISE = 37875, non
(T,D,E) = (1,2,6) alors PRISE = 42016, non
... donc il n'y a pas de solution avec T et D non nuls.

Si D=0,
   Si E=1, PRISE=TETE impossible
   Si E=5, PRIS5 = 101 * 5 * T5
      on essaie toutes ls valeurs de 1 à 9 pour T : rien ne marche.
   Si E=6, PRIS6 = 101 * 6 * T6
     on essaie ... et pour T = 9, miracle : 9696 * 6 = 58176

TETE=101.TE
Donc PRISE=101.DE.TE
DE.TE doit être entre 123 et 977 pour obtenir un nombre à 5 chiffres. Donc DE.TE est un nombre à 3 chiffres.

Le chiffre des unites de E.E est E ce qui n'est possible que pour E=1, 5 ou 6.

On essaie les 3 cas de la même façon que je vais détailler pour 1:
On pose
      D 1
      T 1
---------
      D 1
DT  T
---------
..........

Comme le résultat doit avoir au plus 3 chiffres, DT doit être <= 9 (et même 8 si D+T génère une retenue)
Comme ni D ni T ne peuvent valoir 1 et doivent être differents, les seuls cas à tester sont:
(2,3) et (2,4) qui ne donnent pas de résultat. (Tester (2,3) veut dire vérifier 2121*31 (par ailleurs égal à 3131*21 -> amusant)

Pour E=5, on est amené à tester:
(1,2), (1,3), (1,4), (1,6) ((1,7) et (1,8) -> trop grands) (2,3) (2,4)

Pour E=6, on est amené à tester:
(1,2), (1,3), (1,4), (1,5) et (2,3)

Donc en 13 essais je trouve: 1515*65=98475

Je n'ai pas trouvé comment faire plus court.

Même si à posteriori cela est vérifié, je ne pense pas qu'on puisse dire à priori que DE.TE=PSE. Il aurait pu y avoir une retenue qui fait que DE.TE=(P+1)SE mais je peux louper quelque chose.

Bravo à MthS-MlndN, rivas et gabrielduflot qui ont réussi où j'avais échoué (justifier le calcul).

Bravo aussi à ceux qui ont trouvé avec l'informatique (s'ils ont fait le soft eux-mêmes )

On tient donc un cryptarithme original (que j'avais trouvé grâce à l'excellent Dcode.fr)

Merci à vous tous qui avez planché sur le problème.

looozer a écrit:

PRISE = 2 x TETE était plus beau mais ne donne aucune solution
PRISE = 2 x TÊTE en donne trop

PRISE=2*TÊTE ne donne qu'une solution si on interdit de reprendre le chiffre 2.