Enigmes

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 #1 - 31-03-2011 11:11:30

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

La table de Pinnocchio

Ca fait longtemps que je n'ai pas proposé d'énigme. En voici donc une que j'ai trouvée fort sympathique.

Je n'ai pas de mérite puisqu'elle vient directement des demi-finales du 25ème championnat des jeux mathématiques. Il faut se souvenir qu'il y a 18 exercices à faire en 3 heures et sans machine à calculer. Le but est donc de trouver le bon truc. En l'occurence, il existe une façon très simple de résoudre ce problème avec seulement quelques lignes de calculs élémentaires. Plus que le résultat, l'énigme consiste à trouver cette solution simple. Spoiler : [Afficher le message] L'utilisation des 2 bonnes formules de géométrie dans un triangle permet de résoudre le problème simplement

Je vous livre l'énigme:
Le nez de Pinocchio mesure 40 cm, celui de Pinocchia mesure 30 cm et celui de leur fils Pinocchi mesure 20 cm. Pinocchio veut installer dans sa salle à manger une table circulaire suffisamment grande pour que tous les 3 puissent s'asseoir autour et tourner librement la tête sans risquer de se congner le nez.
Quel doit être, au minimum, le diamètre de la table?
On donnera la réponse en centimètres et on arrondira au centimètre le plus proche. Si besoin est, on prendra 1,414 pour V2; 1,732 pour V3 et 2,236 pour V5.

Amusez-vous bien.



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 #2 - 31-03-2011 12:59:00

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

La tablle de Pinocchio

Je suppose que pour ce genre de championnat, il est préférable de connaitre quelques formules telles que celles du Heron donnant l'aire du triangle (A) et des relations avec le rayon du cercle inscrit (r) et circonscrit (R).
[TeX] \fbox{A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
A=rs
abc=4srR}[/TeX]
avec s le demi-périmètre

ce qui donne [latex]2R=\frac{7\times 25 \time sqrt2 \times sqrt3} 6[/latex]

On peut ensuite avoir en tête quelques astuces de 'physicien' :
[TeX]\frac{\sqrt2} 2 = 0.707 \approx 0.7 + 1%[/TeX]
[TeX]\frac{\sqrt3} 3 = 0.577 \approx 0.6 - 4% [/TeX]
[TeX]\frac{\sqrt5} 5 = 0.447 \approx 9/2 -1% [/TeX]
[TeX]\frac{\sqrt6} 6 = 0.408 \approx 0.4 + 2%[/TeX]
ce qui donne
[TeX]0.4 \times 25 = 10
10 \times 7 = 70
70 + 2 % = 71.4[/TeX]
Le diamètre minimal de la table est donc 72 cm pour que les Pinocchios vivent sans heurt autour de leur table.

Arrondir à 71cm est idiot ici mais c'est la réponse attendue big_smile c'est vraiment un truc de mathématiciens lol

Il y a t'il plus simple ?


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 31-03-2011 13:23:09

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

la table de pinoccjio

Ils doivent être aux sommets d'un triangle dont les côtés valent 2+3 ; 2+4 et 4+3 (dm).
Le centre de la table correspondra au centre du cercle circonscrit à ce triangle.
La formule D=(a+b+c)/2S donne le diamètre de ce cercle en fonction des côtés a, b, c et de l'aire S du triangle.
La formule de Héron donne l'aire : S = Rac(9(9-5)(9-6)(9-7))=6*Rac(6)

Donc D = 35*Rac(6)/12 = 7,143 dm (71 cm)

 #4 - 31-03-2011 13:30:17

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

La table de inocchio

Il suffit de construire un triangle dont les côtés font 70cm, 60cm, et 50cm. La table sera le cercle circonscrit a ce triangle, et les 3 Pinocch aux sommets.
Pour calculer le rayon du cercle circonscrit, on utilise la formule :
[TeX]S=\frac{abc}{4R}[/TeX]
L'aire du triangle peut être calculée par la formule de Héron
[TeX]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/TeX]
où [latex]p=\frac{a+b+c}2[/latex]

Application numérique :
[TeX]p=90cm
S=6\sqrt{6}cm^2
R=\frac{35}{4\sqrt6}cm
d=\frac{35}{2\sqrt6}\approx71,44cm[/TeX]
Faudrait pas qu'un des 3 se mette à mentir plus que la normale, sinon ça fout tout en l'air big_smile

 #5 - 31-03-2011 13:37:24

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

La table de Pincchio

Les côtés du triangle formé par les 3 membres de la famille sont :
a=50, b=60 et c=70 cm. Le demi-périmètre p est 90 cm.
L'aire du triangle vaut [latex]A=\sqr{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}=600\sqr{6}[/latex] cm²
Et le diamètre [latex]D=\frac {a*b*c}{2*A}[/latex] vaut [latex]\frac {350}{2\sqr6}\approx 71.44[/latex] cm

Soit pour la réponse demandée 71 cm.

Mais du fait de l'arrondi, ils pourront se congner (sic) le nez. Moi, j'aurais choisi 72 cm.

 #6 - 31-03-2011 14:22:01

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

la table de pibocchio

Appelons les P(ère), M(ère) et F(ille) et mesurons en décimètres.

Leurs positions autour d'une table définissent un triangle inscrit (P,M,F) à un cercle (la table).

On doit avoir d(P,M)>= 4+3, d(P,F)>=4+2 et d(M,F)>=3+2.

On a un triangle T de côtés a,b,c = 5,6,7 et de demi-périmètre p=9

La formule de Héron nous donne la surface S = racine(p.(p-a).(p-b).(p-c)) = racine(9.4.3.2)=6.racine(6).

La loi des sinus nous donne le rayon du cercle : R=abc/(4S)=5.6.7/(4.6.racine(6)) et yapuka, soit environ 71,44 cm.

Merci à Google pour les deux formules ci-dessus.

 #7 - 31-03-2011 14:29:26

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

La table d Pinocchio

Très bonne réponse de ceux ayant répondu jusqu'à maintenant (Frank, looozer, 007, halloduda et gasole).
Vous avez trouvé la façon simple d'y arriver. Cela permet de se remémorer de vieille formules smile

J'ai copié l'énoncé _verbatim_ mais je suis d'accord avec vous qu'arrondir au plus proche plutôt que par excès n'est pas très "logique" smile

 #8 - 31-03-2011 17:42:45

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

La tablee de Pinocchio

Cette table est de la taille du cercle circonscrit à  un triangle de côtés 50 60 et 70cm

r= 50*60*70 / 2S
r=   50 * 60 * 70 / rac( (90*(90-50) * (90-60) * (90-70) )

r= 50*60*70 / rac (90*40*30*20)
r= ....

Je reviens...

r= 182,88 cm ? <Euh...  / 2 = 91 cm>

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-pinocchio.jpg

Pfff, en regardant le dessin, je penche plutot pour 73 ou 74, or la case réponse valide 71. Erreur dans les calculs?

 #9 - 31-03-2011 19:04:47

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

La table de Pinoccchio

euh moi je les ai découvertes pour l'occasion... je n'ai fait ni études de maths, ni classes prépa big_smile
Pendant des olympiades, j'aurais été Gros-Jean comme devant lol

 #10 - 31-03-2011 22:47:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

La table de Pinocchiio

J'ai une solution un peu calculatoire alors sans instruments c'est un peu long smile

Les positions des trois personnages définissent un triangle ABC de côtés a=50 cm , b=60 cm et c=70 cm . On calcule l'aire du triangle avec la formule de Heron A=600.rac(6) . Le diamètre de la table est celui du cercle circonscrit au triangle ABC : D=abc/2A = 175/rac(6) .

Vasimolo

 #11 - 03-04-2011 13:36:12

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

la table de pinocchuo

il faut trouver le rayon du cercle circonscrit du triangle de côté 50cm; 60 et 70

R=abc/4S
p=180
p/2=90
S=racine (90*40*30*20)=100*3*2*racine 3* racine 2
R=(50*60*70)/(4*100*3*2*racine 3* racine 2)=87,5/rac 6=35.72

 #12 - 03-04-2011 14:23:57

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Laa table de Pinocchio

Pinocchio, Pinocchia et Pinocchi se trouvent chacun aux sommets d'un triangle dont les côtés mesurent :
a  =  40 + 30  =  70 cm
b  =  40 + 20  =  60 cm
c  =  30 + 20  =  50 cm


La formule de Héron nous donne l'aire de ce triangle :
A = √(s.(s-a).(s-b).(s-c))
avec s = (a+b+c)/2

Soit s = 90
et :
A  =  √(90x20x30x40)
A  =  √(2x3x3x5 x 2x2x5 x 2x3x5 x 2x2x2x5)
A  =  2x2x2x3x5x5.√(2x3)
A  =  600.√2.√3


La table est le cercle circonscrit à ce triangle, et son diamètre est :
D  =  (a.b.c)/(2A)

D  =  70x60x50 / (1200.√2.√3)
D  =  175 / (√2.√3)
D  =  175 / (1,414 x 1,732)
D  =  71,46

Le diamètre de la table est donc de 71 cms


A noter que sans les arrondis de √2 et √3, le diamètre exact est de 71,44 cms


Merci à toi rivas pour ce problème très sympa, et merci à Wiki pour les deux formules utilisées smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #13 - 28-08-2011 19:45:24

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

La table dee Pinocchio

Bjr,
Alors "presque" sans instrument, j'ai trouvé ça :
http://img7.imagebanana.com/img/herfgpuo/PinocchioPinocchia.gif
(bof, bof, bah au moins j'ai essayé !)

 #14 - 28-08-2011 20:13:25

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

la table de pinoccjio

Pour info TiLapiot est en train de refaire rétroactivement toutes les énigmes du site: lol

 #15 - 28-08-2011 20:21:28

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

La table de Pinocciho

Il a raison, il ne faut pas les oublier les anciennes...


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #16 - 28-08-2011 20:25:00

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

La table de Pinoccchio

Oui Franky, mais ce n'est pas ma faute : j'aime la beauté de certaines de vos énigmes, qu'elles soient récentes ou anciennes...
alors j'ESSAIE... souvent vainement de les résoudre smile tongue

Et un jour, qui sait si, avec ou Gepetto, je posterai ma propre énigme lol

 #17 - 28-08-2011 20:37:41

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

La table de Piocchio

Il ne faut pas hésiter, surtout que tu fais de belles figures...


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #18 - 29-08-2011 11:16:52

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

La table de Pinochio

Le dernier post de TiLapiot ici mériterait un "J'aime" si on était sur Facebook. On prend vite ce genre d'habitudes de m***e lol

Effectivement, il y a une raison pour laquelle les vieilles énigmes restent sur le forum : de temps a autre, quelqu'un voudra curioser et en refaire quelques-unes, et je ne peux que lui donner raison.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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