Les racines sont de la forme [latex]a_q=a^q[/latex], avec [latex]a=e^{\frac{2i\Pi}{n}}[/latex]

Plus précisément, [latex]a_q=a^{q+k.n}[/latex] pour tout k (en effet, [latex]a^n=1[/latex])

Du coup, [latex]a^s-a^k = a^s (1-a^{k-s})[/latex] si k>s et [latex]a^s-a^k = a^s-a^{k+n} = a^s (1-a^{k+n-s})[/latex] si k<s

Pour s<k<=n, 0<k-s<=n-s et pour 0<k<s, n-s<k+n-s<n

Du coup, notre produit devient [latex]\prod_{k \neq n}{a^s(1-a^k)}=a^{s.n-s} \prod_{k \neq n}{(1-a^k)} = a^{-s} \prod_{k \neq n}{(1-a^k)}[/latex]

De mémoire de taupin, ce produit vaut n, j'ai plus la démo en tête (je cherche promis).
La réponse est donc [latex]n.a^{-s}[/latex]

Sauf erreur : [latex](-1)^{n-1}n^n[/latex]

Tout ce qu'il faut est dans le pdf de Socato, merci pour votre participation.