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 #1 - 08-07-2011 14:05:29

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Produit de racines e l'unité

Soit [latex]a_1,a_2,...,a_n[/latex] les n racines complexes de [latex]X^n-1[/latex].

Calculez [latex]\prod_{k\neq s}(a_s-a_k)[/latex].

Bon travail.smile



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 #2 - 08-07-2011 15:19:00

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

produit dr racines de l'unité

Les racines sont de la forme [latex]a_q=a^q[/latex], avec [latex]a=e^{\frac{2i\Pi}{n}}[/latex]

Plus précisément, [latex]a_q=a^{q+k.n}[/latex] pour tout k (en effet, [latex]a^n=1[/latex])

Du coup, [latex]a^s-a^k = a^s (1-a^{k-s})[/latex] si k>s et [latex]a^s-a^k = a^s-a^{k+n} = a^s (1-a^{k+n-s})[/latex] si k<s

Pour s<k<=n, 0<k-s<=n-s et pour 0<k<s, n-s<k+n-s<n

Du coup, notre produit devient [latex]\prod_{k \neq n}{a^s(1-a^k)}=a^{s.n-s} \prod_{k \neq n}{(1-a^k)} = a^{-s} \prod_{k \neq n}{(1-a^k)}[/latex]

De mémoire de taupin, ce produit vaut n, j'ai plus la démo en tête (je cherche promis).
La réponse est donc [latex]n.a^{-s}[/latex]

 #3 - 09-07-2011 22:38:38

socato314
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

produit fe racines de l'unité

 #4 - 10-07-2011 13:55:35

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

produit de racines de l'inité

Sauf erreur : [latex](-1)^{n-1}n^n[/latex]

 #5 - 10-07-2011 18:44:14

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Produit de racine sde l'unité

Je précise , disons à s fixé d'abord.


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 #6 - 12-07-2011 11:19:57

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Produit de racines de l'unit

Tout ce qu'il faut est dans le pdf de Socato, merci pour votre participation.


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