Vu qu'on peut toujours faire rentrer un carré dans un triangle rectangle quelconque, on peut paver un rectangle quelconque par une infinité (dénombrable ?) de carrés, non ?

Proposition:
Soient:
$$a=BC[/latex], [latex]b=AC[/latex], [latex]c=AB.$$
$$\alpha[/latex]=angle en A, [latex]\beta[/latex] = angle en B et [latex]\gamma[/latex]=angle en C. Grâce à Al Kashi on a: [latex]\alpha=acos(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})$$ $$\beta=acos(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})$$ $$\gamma=acos(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})$$
Une rapide analyse à partir des équations des droites (AC) et (BC) permet de déterminer que le coté $C_0$ du plus grand carré est
$$C_0=\frac{c*tg(\alpha)*tg(\beta)}{tg(\alpha)+tg(\beta)+tg(\alpha)*tg(\beta)}$$
L'aire du plus grand carré $S_0=C_0^2$.

Dans chaque angle le coté des carrés évoluer seront une suite géométrique de raison $\frac{1}{1+tg(agl)}$ où $agl$ est la mesure de l'angle en question. Les aires elles évoluent aussi comme une suite géométrique de raison $q=(\frac{1}{1+tg(agl)})^2$.

Les Carrés de l'angle en A
$$q_\alpha=(\frac{1}{1+tg(\alpha)})^2$$
Somme des aires des carrés dans cet angle
$$S_\alpha=\frac{S_0*q_\alpha}{1-q_\alpha}$$
Les Carrés de l'angle en B
$$q_\beta=(\frac{1}{1+tg(\beta)})^2$$
Somme des aires des carrés dans cet angle
$$S_\beta=\frac{S_0*q_\beta}{1-q_\beta}$$
Les Carrés de l'angle en C
$$q_\gamma=(\frac{1}{1+tg(\gamma)})^2$$
Somme des aires des carrés dans cet angle
$$S_\gamma=\frac{S_0*q_\gamma}{1-q_\gamma}$$
La surface totale ST des carrés est:
$$ST=S_0+S_\alpha+S_\beta+S_\gamma$$ $$ST=S_0*(1+\frac{q_\alpha}{1-q_\alpha}+\frac{q_\beta}{1-q_\beta}+\frac{q_\gamma}{1-q_\gamma})$$

Une petite question

Apparemment on empile les carrés à l'infini à gauche et à droite . Fait-on de même en haut ou se contente-t-on d'un seul carré ?

Vasimolo

Je crois que housseyne oublie de donner la solution à cette énigme comme il se doit...
A moins qu'il ne sache pas la résoudre !