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 #1 - 17-10-2013 10:16:51

housseyne
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 26

Géoémtrie avec des carrés

Bon jour smile

On veut calculer la somme limite des carrés dessinés à l'intérieur d'un triangle ABC
http://img844.imageshack.us/img844/4100/9q9f.png
Bon courage



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 #2 - 17-10-2013 21:56:00

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Géométrie avec eds carrés

Vu qu'on peut toujours faire rentrer un carré dans un triangle rectangle quelconque, on peut paver un rectangle quelconque par une infinité (dénombrable ?) de carrés, non ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 18-10-2013 13:55:46

housseyne
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 26

Géoméétrie avec des carrés

Remarquez bien la façon d’insérer les carrés
Le problème  est facile

 #4 - 18-10-2013 14:52:24

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 307
Lieu: Montargis

géométrie avec des careés

Proposition:
Soient:
[TeX]a=BC[/latex],
[latex]b=AC[/latex],
[latex]c=AB.[/TeX]
[TeX]\alpha[/latex]=angle en A,
[latex]\beta[/latex] = angle en B et
[latex]\gamma[/latex]=angle en C.

Grâce à Al Kashi on a:

[latex]\alpha=acos(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})[/TeX][TeX]\beta=acos(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})[/TeX][TeX]\gamma=acos(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})[/TeX]
Une rapide analyse à partir des équations des droites (AC) et (BC) permet de déterminer que le coté [latex]C_0[/latex] du plus grand carré est
[TeX]C_0=\frac{c*tg(\alpha)*tg(\beta)}{tg(\alpha)+tg(\beta)+tg(\alpha)*tg(\beta)}[/TeX]
L'aire du plus grand carré [latex]S_0=C_0^2[/latex].

Dans chaque angle le coté des carrés évoluer seront une suite géométrique de raison [latex]\frac{1}{1+tg(agl)}[/latex] où [latex]agl[/latex] est la mesure de l'angle en question. Les aires elles évoluent aussi comme une suite géométrique de raison [latex]q=(\frac{1}{1+tg(agl)})^2[/latex].

Les Carrés de l'angle en A
[TeX]q_\alpha=(\frac{1}{1+tg(\alpha)})^2[/TeX]
Somme des aires des carrés dans cet angle
[TeX]S_\alpha=\frac{S_0*q_\alpha}{1-q_\alpha}[/TeX]
Les Carrés de l'angle en B
[TeX]q_\beta=(\frac{1}{1+tg(\beta)})^2[/TeX]
Somme des aires des carrés dans cet angle
[TeX]S_\beta=\frac{S_0*q_\beta}{1-q_\beta}[/TeX]
Les Carrés de l'angle en C
[TeX]q_\gamma=(\frac{1}{1+tg(\gamma)})^2[/TeX]
Somme des aires des carrés dans cet angle
[TeX]S_\gamma=\frac{S_0*q_\gamma}{1-q_\gamma}[/TeX]
La surface totale ST des carrés est:
[TeX]ST=S_0+S_\alpha+S_\beta+S_\gamma[/TeX][TeX]ST=S_0*(1+\frac{q_\alpha}{1-q_\alpha}+\frac{q_\beta}{1-q_\beta}+\frac{q_\gamma}{1-q_\gamma})[/TeX]

 #5 - 18-10-2013 16:25:57

housseyne
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 26

géométrie avec des caerés

kossi_tg
Excellent
Tu a trouvé le résultat  mais elle n'et pas fini.  la formule finale ne comporte que les opérateurs connues (+ - *  / et la puissance ) et sans asin et sin

 #6 - 19-10-2013 11:33:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

géométeie avec des carrés

Une petite question smile

Apparemment on empile les carrés à l'infini à gauche et à droite . Fait-on de même en haut ou se contente-t-on d'un seul carré ?

Vasimolo

 #7 - 20-10-2013 12:13:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

géométroe avec des carrés

Je n'ai pas eu de réponse à ma question smile

Supposons que l'on empile en haut comme à gauche et à droite .

Chaque carré partage un côté avec un ou deux triangles rectangle et le rapport entre l'aire du carré et celui du ou des triangles est tan(A)/2 ou A est l'angle aigu du triangle reposant sur le carré .

La suite est facile ...

Vasimolo

 #8 - 22-10-2013 16:17:07

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 820

Géométrie avec des carés

Je crois que housseyne oublie de donner la solution à cette énigme comme il se doit...
A moins qu'il ne sache pas la résoudre !

 #9 - 23-10-2013 12:08:15

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 820

Géométrie avce des carrés

Je signale une erreur dans la réponse de kossi_tg ; la valeur qu'il trouve pour [latex]q_\gamma[/latex] n'est pas bonne. En fait avec ses notations, on a
[TeX]\sqrt{q_\gamma}=\frac{C_0}{c}=\frac{tg(\alpha)*tg(\beta)}{tg(\alpha)+tg(\beta)+tg(\alpha)*tg(\beta)}[/TeX]

 

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