Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 11-04-2011 21:48:48

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Que vaut x

On note x la partie entière du nombre réel x.

Un nombre x vérifie la relation suivante quelque soit n entier naturel non nul :
xnxnx=n1
Que vaut x ?

La case réponse valide une valeur approchée de x à 3 chiffres après le point décimal (notation anglo-saxonne)

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] On a tendance à essayer de voir ce qu'il se passe pour les petites valeurs de n ... Mauvaise idée smile

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] Il suffit de connaitre un équivalent de y quand y devient grand


 
Réponse :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 11-04-2011 23:03:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Que vaut xx ?

Pour l'entier naturel n, précise : "non nul". Sinon, ça ne marche pas.

Pour le reste, euh... Avec n=1, je trouve que le nombre cherché a sa partie entière qui vaut 0 ou 1... et c'est tout pour l'instant hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 12-04-2011 00:01:42

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

Qu vaut x ?

Le nombre d'or: (1+racine²(5))/2.
Mais il faut 4 chiffres significatifs pour la case réponse: 1.618.

Je n'ai pas encore de démo...

 #4 - 12-04-2011 00:06:27

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Que vautt x ?

Oui irmo, et j'ai modifié l'énoncé pour la case réponse.
J'attends la demo :-) T'as eu l'intuition comment ?

 #5 - 12-04-2011 00:19:05

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

qye vaut x ?

En virant les parties entières, ça donne n(x²-x) à gauche. Donc je me suis dit que x²-x devait surement être égal à 1.
Pour la démo, pas d'idées pour le moment, je ne vois pas comment gérer la racine dans la partie entière. A suivre...

 #6 - 12-04-2011 02:10:31

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

que caut x ?

le nombre d'or... 1.618033989


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 12-04-2011 08:53:13

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 495
Lieu: Ardèche

qie vaut x ?

\sqr5+121.618

 #8 - 12-04-2011 18:28:07

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1935
Lieu: 86310

QQue vaut x ?

x est le nombre d'or. Ne me demande pas la démonstration as i haven't a clue ! lol


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 12-04-2011 18:31:23

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Qeu vaut x ?

Que des bonnes réponses, mais aucune démo big_smile

Pourtant, la démo est très proche de l'intuition que vous avez sans doute eue pour deviner x ...

 #10 - 12-04-2011 19:47:20

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

que vauy x ?

je trouve le nombre d'or, mais je n'ai pas de démo non plus !!!

 #11 - 12-04-2011 20:46:13

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 6,066E+3

Qeu vaut x ?

1,618/0,618 = (1 + 1,618) = (1,618 x 1,618) une des propriétés du nombre d'or

Je n'arrive pas en tirer de démo, mais le nombre marche bien.

 #12 - 12-04-2011 22:17:25

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Que vut x ?

Perso, j'ai eu aucune intuition... mais excel m'a suggéré qu'il s'agissait du nombre d'or. J'ai préféré chercher une preuve constructive qu'une simple vérification, et voici :

On remarque que :
x0[/latex]sinonpourona[latex]f(x,1)>0[/latex]alorsquondevraitavoir[latex]f(x,1)=0[/latex].Toutvareposersurlefaitque[latex]x:(x1)xx
Soit f(n,x) la fonction : xnxnxn+1, fonction dont on cherche les zéros.

Vu l'inégalité évoquée ci-dessus, on trouve :

nx2nxnxf(x,n)nx2nxn, et en posant f(x,n)=0, on en tire

D'une part x2x10,

et d'autre part, il faut aussi que pour tout n: nx2nxnx0,
et donc pour tout n: n.(x2x1)x0,
or pour n suffisamment grand, si x2x1 est strictement positif ça ne sera pas possible,
donc x2x1=0 ce qui implique (car x>0) que x=φ (φ est l'unique racine positive de x2x1=0 et vaut précisément le nombre d'or).

 #13 - 12-04-2011 22:48:57

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1935
Lieu: 86310

Qe vaut x ?

Démo 'approximative'
si l’équation est vrai pour tout n, alors elle reste vrai quand n tends vers l'infini.
On a alors l’équation x²-x-(n-1)/n=0 => qui a pour racine le nombre d'or.


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 13-04-2011 00:31:53

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Que vvaut x ?

Oui gasole et franck pour la démo ! Mais à mon sens, vous n'évoquez qu'une condition nécessaire, il manque la partie où on vérifie que la valeur trouvée marche bien pour tout n.

La démo de franck correspond à ce que j'attendais, mais celle de gasole plus évoluée est tout aussi légitime ! Elle utilise notamment le fait que R est archimédien lol

Pour les autres, un petit indice demain wink

 #15 - 13-04-2011 08:16:56

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

qye vaut x ?

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] On a tendance à essayer de voir ce qu'il se passe pour les petites valeurs de n ... Mauvaise idée smile

 #16 - 13-04-2011 09:29:03

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Que vaut x

Archimédien ? Pas de gros mot stp big_smile

Mais tu as raison, j'ai juste prouvé que s'il existe un tel x, il est égal à φ. Montrer que φ a bien la propriété voulue, ça doit pouvoir se faire par récurrence ? Mais j'ai pas le temps là.

 #17 - 13-04-2011 10:26:29

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1822

qur vaut x ?

Bonjour,

On retrouve, avec plaisir, le nombre d'or \sqr5+12soit 1.61803399 ... comme valeur de x

Démonstration en cours ....à suivre ....?


Merci,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #18 - 13-04-2011 13:56:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 6,066E+3

que baut x ?

int ( x int(nx))-int(nx)

= int (nx^2 - x déc(nx)) - int (nx)     car x^2 = x+1

= int ( nx +n - x déc(nx) ) -int (nx)

en sortant n entier :

= n + int ( nx - x déc (nx)) - int (nx)

= n + int ( nx - déc (nx) - déc(nx^2)) - int (nx)

= n + int ( nx - déc (nx) - déc(nx +n)) - int (nx)

= n

.... zut ! il me manque -1

 #19 - 14-04-2011 16:09:21

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

sue vaut x ?

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] Il suffit de connaitre un équivalent de y quand y devient grand

 #20 - 14-04-2011 23:18:38

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Que vautt x ?

n=1 conduit à : 0<x<2
n=2 conduit à x>1,5
n=3 conduit à x<5/3
n=4 ne donne rien
...
n=10 conduit à x>1,6
...

Allez bonne nuit !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #21 - 16-04-2011 17:44:15

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

sue vaut x ?

Ah je crois que ça y est :

Il suffit de remarquer que si n est entier alors φ.nn+nϵ2 (avec ϵ=1 ou 0 suivant la parité de n, assurant que ce résultat est lui-même entier ! ).

Donc après quelques calculs, on trouve que


φφ.n9n54, et comme φ.nn, on a :

φφ.nφ.n5n54 qui est plus grand que n1 dès que n1.

On a donc f(φ,n)0. Comme dans ma précédente réponse j'avais abouti à f(φ,n)0, la conclusion s'ensuit.

... sur le fil encore wink

 #22 - 16-04-2011 23:22:19

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Que vaaut x ?

Il fallait trouver le nombre d'or, tous ceux qui ont répondu l'ont trouvé. Pour la demo, bravo a gasole, même si on pouvait faire plus simple :-)

1. Montrons que si x vérifie la relation, alors x vaut nécessairement le nombre d'or

Je divise la relation par n, et j'obtiens quel que soit n :
xnxnnxn=11n
En utilisant l'équivalent tt quand t tends vers +, on passe à la limite dans l'équation précédente pour arriver à : x2x1=0

Cette équation du second degré a deux racines, le nombre d'or φ=5+12 et 1φ=152

Si on regarde la relation pour n=1, on a :
xx=x
Or 1φ=1 et φ1=0, donc x=1φ ne vérifie pas la relation pour n=1.

x vaut donc nécessairement le nombre d'or.

2. Montrons que le nombre d'or vérifie la relation

En réécrivant la relation du second degré vérifiée par φ, on a :
φ=1+1φφnφ=nφ+nφφ
On a alors quelque soit n :
φnφnφ=nφφ=nφnφ+nφφ=n+nφnφφ
Mais comme nφ<nφ<nφ+1 (définition de la partie entière, et φ étant irrationnel nφ n'est jamais entier)

alors 1<nφnφ<0

et a fortiori nφnφφ=1

On a donc bien montré la relation pour tout n.

Conclusion :
Le seul x qui vérifie la relation est le nombre d'or \varphi \approx 1.618

 #23 - 17-04-2011 22:14:10

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Que vaut x

Objection votre honneur : ma preuve est plus simple, plus élémentaire en tout cas, mais, certes, moins élégante.

Plus simple car ne faisant intervenir ni notion de limite, ni savoir spécifique au nombre d'or (φ+1φ=1), mais rien que du basique.

Ah ah ! big_smile

 #24 - 18-04-2011 00:21:03

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

que baut x ?

A ton tour de chipoter big_smile

Disons que je trouve le passage à la limite assez immédiat, et pas forcément trop mathématique. Nos preuves ne sont pas en soi tellement différentes, car là où j'utilise une limite, tu utilises un encadrement et une sorte de théorème des gendarmes, ce qui revient quasi au même.

Pour le φ=1+1φ, je ne fais qu'utiliser la relation du second degré vérifiée par φ, divisée par φ smile

 #25 - 18-04-2011 17:32:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Que avut x ?

Personnellement, et bien que ça n'engage en rien sur les qualités respectives de vos démos, j'ai préféré celle de Looping, que je trouve simple et élégante, avec un petit coup du matheux pour le plaisir en plus ! smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Dans une course, vous doublez le 42ème, en quelle position êtes-vous ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Que vaut X ? par SaintPierre
06-03-2011 Enigmes Mathématiques
13-02-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
On joue? par PRINCELEROI
05-03-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Puissances de 4 par dhrm77
28-06-2009 Enigmes Mathématiques
08-10-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
27-07-2011 Enigmes Mathématiques
09-06-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 121 par Vasimolo
19-02-2016 Enigmes Mathématiques
P2T
Factorielle qui Divise par Vasimolo
26-08-2015 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete