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 #1 - 11-04-2011 21:48:48

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Quue vaut x ?

On note [latex]\lfloor x \rfloor[/latex] la partie entière du nombre réel x.

Un nombre x vérifie la relation suivante quelque soit n entier naturel non nul :
[TeX]\lfloor x \lfloor nx \rfloor\rfloor-\lfloor nx \rfloor=n-1[/TeX]
Que vaut x ?

La case réponse valide une valeur approchée de x à 3 chiffres après le point décimal (notation anglo-saxonne)

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] On a tendance à essayer de voir ce qu'il se passe pour les petites valeurs de n ... Mauvaise idée smile

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] Il suffit de connaitre un équivalent de [latex]\lfloor y \rfloor[/latex] quand y devient grand



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 #2 - 11-04-2011 23:03:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Que vaut ?

Pour l'entier naturel n, précise : "non nul". Sinon, ça ne marche pas.

Pour le reste, euh... Avec n=1, je trouve que le nombre cherché a sa partie entière qui vaut 0 ou 1... et c'est tout pour l'instant hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 12-04-2011 00:01:42

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
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Quee vaut x ?

Le nombre d'or: (1+racine²(5))/2.
Mais il faut 4 chiffres significatifs pour la case réponse: 1.618.

Je n'ai pas encore de démo...

 #4 - 12-04-2011 00:06:27

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Qu evaut x ?

Oui irmo, et j'ai modifié l'énoncé pour la case réponse.
J'attends la demo :-) T'as eu l'intuition comment ?

 #5 - 12-04-2011 00:19:05

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

que caut x ?

En virant les parties entières, ça donne n(x²-x) à gauche. Donc je me suis dit que x²-x devait surement être égal à 1.
Pour la démo, pas d'idées pour le moment, je ne vois pas comment gérer la racine dans la partie entière. A suivre...

 #6 - 12-04-2011 02:10:31

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

uQe vaut x ?

le nombre d'or... 1.618033989


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 12-04-2011 08:53:13

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

que vayt x ?

[TeX]\frac {\sqr 5+1}2\approx 1.618[/TeX]

 #8 - 12-04-2011 18:28:07

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

qye vaut x ?

x est le nombre d'or. Ne me demande pas la démonstration as i haven't a clue ! lol


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 12-04-2011 18:31:23

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

Qu vaut x ?

Que des bonnes réponses, mais aucune démo big_smile

Pourtant, la démo est très proche de l'intuition que vous avez sans doute eue pour deviner x ...

 #10 - 12-04-2011 19:47:20

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

que vaut c ?

je trouve le nombre d'or, mais je n'ai pas de démo non plus !!!

 #11 - 12-04-2011 20:46:13

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Qu evaut x ?

1,618/0,618 = (1 + 1,618) = (1,618 x 1,618) une des propriétés du nombre d'or

Je n'arrive pas en tirer de démo, mais le nombre marche bien.

 #12 - 12-04-2011 22:17:25

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Que aut x ?

Perso, j'ai eu aucune intuition... mais excel m'a suggéré qu'il s'agissait du nombre d'or. J'ai préféré chercher une preuve constructive qu'une simple vérification, et voici :

On remarque que :
[TeX] x\geq 0 [/latex] sinon pour on a [latex] f(x,1)>0 [/latex] alors qu'on devrait avoir [latex] f(x,1)=0 [/latex].

Tout va reposer sur le fait que [latex]\forall x: (x-1)\leq \lfloor x\rfloor\leq x[/TeX]
Soit [latex] f(n,x) [/latex] la fonction : [latex] \lfloor x \lfloor nx\rfloor\rfloor -\lfloor nx\rfloor -n +1 [/latex], fonction dont on cherche les zéros.

Vu l'inégalité évoquée ci-dessus, on trouve :

[latex] nx^2-nx-n-x\leq f(x,n) \leq nx^2-nx-n [/latex], et en posant [latex] f(x,n)=0 [/latex], on en tire

D'une part [latex] x^2-x-1\geq 0 [/latex],

et d'autre part, il faut aussi que pour tout n: [latex] nx^2-nx-n-x\leq 0 [/latex],
et donc pour tout n: [latex]n.(x^2-x-1) - x\leq 0 [/latex],
or pour [latex] n [/latex] suffisamment grand, si [latex] x^2-x-1 [/latex] est strictement positif ça ne sera pas possible,
donc [latex] x^2-x-1 =0 [/latex] ce qui implique (car [latex] x>0 [/latex]) que [latex] x= \varphi [/latex] ([latex] \varphi [/latex] est l'unique racine positive de [latex] x^2-x-1 =0 [/latex] et vaut précisément le nombre d'or).

 #13 - 12-04-2011 22:48:57

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

QQue vaut x ?

Démo 'approximative'
si l’équation est vrai pour tout n, alors elle reste vrai quand n tends vers l'infini.
On a alors l’équation x²-x-(n-1)/n=0 => qui a pour racine le nombre d'or.


The proof of the pudding is in the eating.

 #14 - 13-04-2011 00:31:53

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

Que vut x ?

Oui gasole et franck pour la démo ! Mais à mon sens, vous n'évoquez qu'une condition nécessaire, il manque la partie où on vérifie que la valeur trouvée marche bien pour tout n.

La démo de franck correspond à ce que j'attendais, mais celle de gasole plus évoluée est tout aussi légitime ! Elle utilise notamment le fait que R est archimédien lol

Pour les autres, un petit indice demain wink

 #15 - 13-04-2011 08:16:56

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

Qu vaut x ?

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] On a tendance à essayer de voir ce qu'il se passe pour les petites valeurs de n ... Mauvaise idée smile

 #16 - 13-04-2011 09:29:03

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Que vatu x ?

Archimédien ? Pas de gros mot stp big_smile

Mais tu as raison, j'ai juste prouvé que s'il existe un tel x, il est égal à [latex]\varphi[/latex]. Montrer que [latex]\varphi[/latex] a bien la propriété voulue, ça doit pouvoir se faire par récurrence ? Mais j'ai pas le temps là.

 #17 - 13-04-2011 10:26:29

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1747

qye vaut x ?

Bonjour,

On retrouve, avec plaisir, le nombre d'or [latex]\frac{\sqr5 + 1}{2}[/latex]soit 1.61803399 ... comme valeur de x

Démonstration en cours ....à suivre ....?


Merci,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #18 - 13-04-2011 13:56:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

qie vaut x ?

int ( x int(nx))-int(nx)

= int (nx^2 - x déc(nx)) - int (nx)     car x^2 = x+1

= int ( nx +n - x déc(nx) ) -int (nx)

en sortant n entier :

= n + int ( nx - x déc (nx)) - int (nx)

= n + int ( nx - déc (nx) - déc(nx^2)) - int (nx)

= n + int ( nx - déc (nx) - déc(nx +n)) - int (nx)

= n

.... zut ! il me manque -1

 #19 - 14-04-2011 16:09:21

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

Que vaut xx ?

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] Il suffit de connaitre un équivalent de [latex]\lfloor y \rfloor[/latex] quand y devient grand

 #20 - 14-04-2011 23:18:38

fix33
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Qeu vaut x ?

n=1 conduit à : 0<x<2
n=2 conduit à x>1,5
n=3 conduit à x<5/3
n=4 ne donne rien
...
n=10 conduit à x>1,6
...

Allez bonne nuit !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #21 - 16-04-2011 17:44:15

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Qu evaut x ?

Ah je crois que ça y est :

Il suffit de remarquer que si [latex]n[/latex] est entier alors [latex]\lfloor \varphi.n\rfloor \geq n+\frac{n-\epsilon}{2}[/latex] (avec [latex]\epsilon = 1[/latex] ou [latex]0[/latex] suivant la parité de [latex]n[/latex], assurant que ce résultat est lui-même entier ! ).

Donc après quelques calculs, on trouve que


[latex]\lfloor \varphi \lfloor \varphi . n\rfloor \rfloor\geq \frac{9n-5}{4}[/latex], et comme [latex]-\lfloor \varphi . n\rfloor \geq -n[/latex], on a :

[latex]\lfloor \varphi \lfloor \varphi . n\rfloor \rfloor-\lfloor \varphi . n\rfloor\geq \frac{5n-5}{4}[/latex] qui est plus grand que [latex]n-1[/latex] dès que [latex]n\geq 1[/latex].

On a donc [latex] f(\varphi,n)\geq 0[/latex]. Comme dans ma précédente réponse j'avais abouti à [latex] f(\varphi,n)\leq 0[/latex], la conclusion s'ensuit.

... sur le fil encore wink

 #22 - 16-04-2011 23:22:19

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

qur vaut x ?

Il fallait trouver le nombre d'or, tous ceux qui ont répondu l'ont trouvé. Pour la demo, bravo a gasole, même si on pouvait faire plus simple :-)

1. Montrons que si x vérifie la relation, alors x vaut nécessairement le nombre d'or

Je divise la relation par n, et j'obtiens quel que soit n :
[TeX]\frac{\lfloor{x\lfloor{nx}\rfloor}\rfloor}n-\frac{\lfloor nx \rfloor}n=1-\frac1n[/TeX]
En utilisant l'équivalent [latex]\lfloor t \rfloor \sim t[/latex] quand t tends vers [latex]+\infty[/latex], on passe à la limite dans l'équation précédente pour arriver à : [latex]x^2-x-1=0[/latex]

Cette équation du second degré a deux racines, le nombre d'or [latex]\varphi=\frac{\sqrt5+1}2[/latex] et [latex]1-\varphi=\frac{1-\sqrt5}2[/latex]

Si on regarde la relation pour n=1, on a :
[TeX]\lfloor x\lfloor x \rfloor \rfloor = \lfloor x \rfloor[/TeX]
Or [latex]\lfloor 1-\varphi \rfloor= -1[/latex] et [latex]\lfloor \varphi-1 \rfloor= 0[/latex], donc [latex]x=1-\varphi[/latex] ne vérifie pas la relation pour n=1.

x vaut donc nécessairement le nombre d'or.

2. Montrons que le nombre d'or vérifie la relation

En réécrivant la relation du second degré vérifiée par [latex]\varphi[/latex], on a :
[TeX]\varphi=1+\frac1\varphi[/TeX][TeX]\lfloor \varphi\lfloor n\varphi \rfloor \rfloor = \lfloor \lfloor n\varphi \rfloor +\frac{\lfloor n\varphi \rfloor} \varphi \rfloor[/TeX]
On a alors quelque soit n :
[TeX]\lfloor \varphi\lfloor n\varphi \rfloor \rfloor - \lfloor n\varphi \rfloor = \lfloor \frac{\lfloor n\varphi \rfloor} \varphi \rfloor
=\lfloor \frac{\lfloor n\varphi \rfloor -n\varphi + n\varphi}\varphi\rfloor
=n+\lfloor \frac{\lfloor n\varphi \rfloor -n\varphi }\varphi\rfloor[/TeX]
Mais comme [latex]\lfloor n\varphi \rfloor < n\varphi < \lfloor n\varphi \rfloor +1[/latex] (définition de la partie entière, et [latex]\varphi[/latex] étant irrationnel [latex]n\varphi[/latex] n'est jamais entier)

alors [latex]-1 < \lfloor n\varphi \rfloor-n\varphi < 0[/latex]

et a fortiori [latex]\lfloor \frac{\lfloor n\varphi \rfloor -n\varphi }\varphi\rfloor = -1[/latex]

On a donc bien montré la relation pour tout n.

Conclusion :
Le seul x qui vérifie la relation est le nombre d'or [latex]\fbox{\varphi \approx 1.618}[/latex]

 #23 - 17-04-2011 22:14:10

gasole
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Toulouse

Que vaaut x ?

Objection votre honneur : ma preuve est plus simple, plus élémentaire en tout cas, mais, certes, moins élégante.

Plus simple car ne faisant intervenir ni notion de limite, ni savoir spécifique au nombre d'or ([latex]\varphi + \frac{1}{\varphi} =1[/latex]), mais rien que du basique.

Ah ah ! big_smile

 #24 - 18-04-2011 00:21:03

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

ue vaut x ?

A ton tour de chipoter big_smile

Disons que je trouve le passage à la limite assez immédiat, et pas forcément trop mathématique. Nos preuves ne sont pas en soi tellement différentes, car là où j'utilise une limite, tu utilises un encadrement et une sorte de théorème des gendarmes, ce qui revient quasi au même.

Pour le [latex]\varphi=1+\frac1{\varphi}[/latex], je ne fais qu'utiliser la relation du second degré vérifiée par [latex]\varphi[/latex], divisée par [latex]\varphi[/latex] smile

 #25 - 18-04-2011 17:32:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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que vaut c ?

Personnellement, et bien que ça n'engage en rien sur les qualités respectives de vos démos, j'ai préféré celle de Looping, que je trouve simple et élégante, avec un petit coup du matheux pour le plaisir en plus ! smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

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