Salut nodgim,
L'ensemble des points de coordonnées entières (a,b), tels que a**2 + b**2 < n**2, avec b<a, sont situés dans le huitième du cercle de centre O et de rayon n, limité par l'axe des x et la première bissectrice.
Le nombre de tels points est environ égal à l'aire de cette portion de cercle, soit pi*n**2/8.
La proportion des points doit donc tendre vers pi/8 = 0,3927.

Un calcul exact avec n=200 donne un rapport de 0,3969.

Sauf sur les bords, dont l'importance relative diminue avec le rayon du cercle, on peut associer chaque point à une zone d'une unité d'aire.

J'ai poursuivi le calcul jusqu'à n=4000, c'est-à-dire a**2+b**2 ≤ 16000000, et j'obtiens un rapport de

6286581 / 16000001 = 0.392911

Ajouté :
Et pour n=10000

39278418 / 100000001 = 0.392784

En fait, je me demande si l'excés dans ma formule n'est pas due au fait que tu as choisi comme frontière des carrés parfaits. Visuellement, ça peut s'expliquer.

Bien entendu, la formule en question est une approximation.

Merci Enigmatus.

Alors, pour en rester à l'ordre de grandeur des 2 valeurs calculées :

n = 16*10^8 + 10^3

n = 10^8 + 10 ^ 4

Il ne faudrait pas non plus que je d'adapte ma formule aux résultats, ce serait tricher.....

Excuse Enigmatus, j'avais 16*10¨8 + 10^3 alors que je voulais écrire 16*10^6 + 10^3.

Sinon, tu as précisé " valeurs distinctes". Or dans l'énoncé, j'ai précisé que des valeurs identiques pouvaient être trouvées pour certains nombres, mais qu'il fallait les compter pour autant de valeurs. En vérité, il s'agit bien de compter les points dans la partie de plan en question.

D'après le théorème des 2 carrés de fermat, ça revient à faire la somme
[TeX]{\sum_{i=1}^n{4*(d_1(i)-d_3(i))}}/n[/TeX]
où d1 / d3 sont les nombres de diviseurs de i congrus à 1 / 3 modulo 4.

J'imagine que je devrais pouvoir coder ça rapidement (mais j'ai pas de quoi coder dans l'immédiat)

Après codage et affichage graphique, je trouve ça


Les données de 1000 en 1000 sont ici http://www.prise2tete.fr/upload/scarta-res.txt

C'est bizarre, ça m'a l'air assez différent des 0.39... mentionnés

Le ratio « nombre d’écritures différentes /n »
En fait je viens de réaliser qu’on pouvait faire bien plus simple comme calcul, plutôt que de compter les diviseurs.
Pour n donné, il suffit plutôt de calculer la somme pour i=0..racine(n) de E(racine(n))E(racine(i))

la densité des nombres < n donné,  qu'on peut écrire sous la forme a² + b² augmentait ou diminuait avec n.....

On comptera pour 2 fois ( ou plus) un nombre qui s'écrit de 2 ( ou plus ) façons
différentes, par exemple 25 = 5² + 0² = 3² + 4² .

Je comprends:

- pour n donné, je cherche le nombre de paires (a,b) tels que a²+b²<n
je prends des paires puisque on compte pour x fois les x écritures d'un même nombre

- du coup, comme on compare des paires par rapport à des nombres, oui la densité peut être supérieure à 1.

- et comme rien n'indique a > 0 ou b > 0 ou a < b, chaque paire compte pour 8 fois : (+/-a,+/-b) et (+/-b,+/-a)

pour n=6 par exemple, j'ai
0 = 0²+0²   ------> 1
1 = (+/-)1²+0² = 0²+(+/-)1²  --------> 4
2 = rien
3 = rien
4 = (+/-)2²+0²=0²+(+/-)2² -------->4
5 = (+/-)1²+(+/-2)² etc... ------->8
6 = rien
total : 17/6

si j'ai raté quelque chose, j'ai beau relire je vois pas quoi...

Accessoirement, je suis ébahi par 8x cette valeur: 3.141592655
Etant donné que ça signifie : "tous les points du plan à coordonnées entières, positives, et x<y, dans le disque de rayon n" (soit un 8e du disque), je pense qu'il y a un lien

Ce temps là est au fond du seau.

Valeurs numériques et modèles ont été donnés, il ne restait plus qu' à conclure en s'efforçant de donner un intervalle de densité max et min.

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La densité des nombres somme de 2 carrés parfaits < n donné grandit t-elle avec n ?

On comptera pour k les nombres qui sont somme de 2 carrés parfaits de k façons différentes.

Ce problème revient à compter les points à coordonnées entières à l'intérieur du secteur angulaire de rayon Vn entre l'axe Ox et la droite d :  y = x

Aire du secteur As = Pi / 8. On note son point le plus haut H = Vn V2 / 2

On dessine à l'intérieur du secteur le polygone qui contient toutes les cases " aire unité " entières (entre 4 points en carré), c'est à dire non tronquées par le contour du secteur.

Aire du secteur hors polygone le long de la droite y = x............... Ad = H / 2 ( à l'unité près, nota général pour tout ce qui suit)

Aire du secteur hors polygone le long de l'arc de cercle Ac :........ ( H - H1 ) / 2 < Ac < H + ( Vn - H ) = Vn     
H1 : hauteur max où l'arc, en partant du bas, coupe la 1ère droite x = entier. H1 = V ( 2 Vn - 1 )
H + ( Vn - H) = Vn : l'ensemble des cases traversées par l'arc.

Aire du polygone Ap = As - Ad - Ac.

Ap max = ( Pi / 8) n  - H + H1 / 2 = ( Pi / 8 ) n - Vn V2 / 2 + V ( 2 Vn - 1 )
Ap min = ( Pi / 8 ) n - H / 2 - Vn = ( Pi / 8 ) n + Vn ( 1 - V2 / 2 )

Nombres de points :
A chaque case du polygone, on attribue son point en bas à droite.

Points hors Polygone :
Le long de la droite d : 2 H -1   
Le long de l'arc : autant que de franchissements par l'arc des droites x = entier, soit Vn ( 1 - V2 / 2 ) 

Nombre de points :

Pmax : 2H -1 + Vn ( 1 - V2 / 2 ) + Ap max = ( Pi / 8 ) n + Vn + V ( 2 Vn -1 ) - 1   

Pmin : 2H - 1 + Vn ( 1 - V2 / 2 ) + Ap min = ( Pi / 8 ) n + Vn ( V2 / 4 ) - 1 

Densité dn = P / (n+1)

dn max = ( Pi / 8 ) ( n / ( n + 1) ) + Vn / ( n + 1) + V( 2 Vn - 1 ) / ( 2 ( n + 1 ) ) - 1 / ( n + 1 )

dn min = ( Pi / 8 ) ( n / ( n + 1 ) ) + ( V2 / 4)  Vn / ( n + 1)  - 1 / ( n + 1)

Pour n < 20, calcul réel :  dn > Pi / 8  ( dn <= 1/2 seulement à partir de d33 )

Pour n  > 20, d min > Pi / 8

Or d max -------> Pi / 8 quand n -------> oo. Donc il existe m tel que dm max < dn min

Conclusion : la densité est globalement décroissante en ayant pour limite Pi / 8.