Les croisements sont-ils admis sur la courbe résultante ?

Si oui, je commence par repérer les n points d'inflexion sur ma courbe, déterminant ainsi n+1 tronçons.
A l'aide d'un papier calque, je recopie le premier tronçon, je retourne la feuille pour calquer le 2ème en respectant autant que possible la tangence et ainsi de suite jusqu'au dernier.

EDIT : Si non, mais c'est un peu plus long, je découpe en morceaux plus petits, et je commence par ceux dont la courbure est la plus grande, en retournant la feuille de calque quand la courbure s'inverse, et j'obtiens une courbe qui va ressembler à une spirale, mais ce n'est pas une boucle fermée ...

En considérant l'enveloppe convexe de l'ensemble puis en prenant le symétrique de chaque partie à l'intérieur par rapport au côté sur lequel elle s'appuie et en renouvelant l’opération autant de fois qu'il le faut on doit pouvoir y arriver .

Mais bon , ce n'est pas une preuve

Vasimolo

Partant d'une courbe concave, je prendrais une "tangente" "externe" à la courbe.
Cette "tangente" ne recoupe pas la courbe, elle a deux points de contact (au moins).
Prenons deux de ces points : cela définit deux parties de la courbe.
Je remplacerais la partie de la courbe la plus "proche" de la tangente
par sa symétrique par rapport à la tangente, la mettant ainsi "à l'extérieur".

J'obtiens ainsi une autre courbe :
- qui a la même longueur que l'originale
- qui est également réalisable sans lever de crayon et
- dont la surface interne a strictement augmenté.
- qui est également convave, sauf éventuellement si les points de contact
   sont de sommets.

Et ainsi de suite...

La suite des surfaces obtenues est strictement croissante et majorée par [latex]\frac{l^2}{4\pi}[/latex].
(au mieux, c'est un cercle)
Il y a donc convergence.
Mais le nombre d'opérations est, semble-t-il, infini, sauf si la courbe a des sommets.

@shadock: une boucle sans croisement ni levée de crayon, c'est pas bien compliqué: une ligne quelconque qui part d'un point et y revient sans avoir jamais recouper ni même toucher sa propre trace. ça laisse beaucoup de place à la fantaisie. Quant à l'après.....à toi de voir.

Je déroule une ficelle sur ma courbe non convexe. Il ne me reste plus qu'à convexifier (si je puis me permettre) ma ficelle , puis à la tendre à l'aide de punaises pour tracer la courbe convexe. Pas très mathématique, mais efficace non ?

J'ai une solution partiel :
Tant que la boucle n'est pas convexe, on choisi un segment extérieur (un segment totalement à l'extérieur de la boucle qui relie deux point de la boucle), puis on trace à la main le symétrique de la portion de boucle compris entres les deux point, par rapport au segment :

etc...

Bien malin celui qui dépliera cette courbe :

Je précise que sa longueur est fini (il faut se méfier avec les fractales) donc théoriquement dessinable sans lever le crayon

Si on prend un coté de l'étoile sa longueur est : a = 1 + 1/3*a + 1/3*a + 1
donc a = 6 et le périmètre est 3*a = 18

Tout ça pour dire que la méthode consistant à retourner vers l'extérieur des morceaux de la boucle a ses limites, à moins de "gommer" les micros convexités de la courbe dans des imperfections

Merci aux participants.
A peu près tout le monde a vu qu'il fallait redessiner les symétriques des parties intérieures à partir des tangentes extérieures. Tous avez fait aussi la remarque de l'imperfection de la convexité finale.
En fait, s'il s'agissait d'une ligne brisée, on obtiendrait obligatoirement la convexité parfaite, car dans les opérations successives, on n'augmente pas le nombre de segments.
Pour les courbes, c'est différent, car dans une opération on crée 2 changements de courbe. Donc plus on fait d'opérations, plus on crée des parties concaves, celles ci étant de plus en plus courtes et de plus en plus fines, jusqu'à devenir imperceptibles.