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 #1 - 29-05-2015 19:53:49

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

L'heure d ubain

Un robinet de débit volumique D(t) USI déverse de l'eau dans une baignoire sans jamais la faire déborder.

Après quelques modifications de la tuyauterie le débit volumique du robinet devient D(t)^(1/2)/(t+1) USI

Existe-t-il des cas ou quelque soit sa contenance la baignoire finit toujours par déborder ?

Bonne recherche smile

Note : USI = Unités de base du Système International



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 #2 - 29-05-2015 23:23:11

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

l'heuee du bain

il suffit que, sur une durée suffisamment longue,  D(t)^(1/2)/(t+1) > D(t), soit D(t)<(1/(t+1))².

A noter que la formule donnant le débit modifié n'étant pas homogène à un débit, c'est une formule "super moche" qui dépend des unité choisies pour chaque grandeur...

 #3 - 29-05-2015 23:34:33

fmifmi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 87

L'heure ud bain

bonjour

pas clair l'énoncé

D(t) veut dire que le debit est une fonction du temps?

"Après quelques modifications de la tuyauterie le débit volumique du robinet devient D(t)^(1/2)/(t+1)."

comprends pas ta formule

 #4 - 30-05-2015 00:57:59

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

l'hrure du bain

@dylasse :

Spoiler : [Afficher le message] Je ne comprends pas comment D(t)^(1/2)/(t+1) > D(t) implique la divergence : 1/t^2 >= 1/t^3 sur [1 ; +infini] et pourtant on a convergence pour les deux.

Concernant les unités : les 2 débits étaient sous-entendus en USI sans quoi le problème n'a pas de vraiment de sens. Il est vrai qu'en toute rigueur il faudrait multiplier le second débit par 1 m^(3/2)*s^(1/2)


@fmifmi

Spoiler : [Afficher le message] Le débit du robinet dépend effectivement du temps.

Expression du second débit : (D(t) puissance 1/2) divisé par t+1

 #5 - 30-05-2015 03:38:06

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

L'hheure du bain

Si j'ai bien compris ta question on doit montrer s'il y a un cas où le volume à l'intérieur de la baignoire tend vers l'infini.
On pose
D₁(t) le premier débit volumique.
D₂(t)=√D₁(t)÷(t+1) le deuxième débit volumique.
V₁(t)=t×D₁(t) le volume versé du premier débit.
V₂(t)=t×D₂(t)=(t÷(t+1))×√D₁(t) le volume versé du deuxième débit.
V₃(t)=k×t volume coulé qui n'est pas resté dans la baignoire.
V₄(t)=V₁(t)−V₃(t)=t(D₁(t)−k) volume de l'eau à l'intérieur de la baignoire pour le cas du premier débit.
V₅(t)=V₂(t)−V₃(t)=t(D₂(t)−k)=t(√D₁(t)÷(t+1)−k) volume de l'eau à l'intérieur de la baignoire pour le cas du deuxième débit.
V le volume de la baignoire.

On a V₄(t)≤V
A=limite(t tend vers +∞) V₄(t)
si D₁(t)−k=constante>0 lorsque t tend vers + ∞ alors A=+∞ impossible car A≤V
si D₁(t)−k=+∞ lorsque t tend vers + ∞ alors A=+∞ impossible car A≤V
le seul cas qui reste D₁(t)−k=constante≤0 qui donne A=−∞ théoriquement mais en réalité A=0 ce qui implique
limite(t tend vers +∞) D₁(t)=L≤k

On a c tel que c≥0
B=limite(t tend vers c) V₄(t)
B=c(limite(t tend vers c) D₁(t) −k)
si limite(t tend vers c) D₁(t)=+∞ alors B=+∞ impossible car B≤V
Donc limite(t tend vers c) D₁(t)=L'

C=limite(t tend vers +∞) V₅(t)
limite(t tend vers +∞) D₁(t)=L
limite(t tend vers +∞) 1÷(t+1)=0
alors limite(t tend vers +∞) D₁(t)÷(t+1)=0
alors C=−∞ qui implique C=0 en réalité

D=limite(t tend vers c)V₅(t)
limite(t tend vers c) D₁(t)=L'
D=c(L'÷(c+1)−k)=constante

On a aucun cas où V₅(t) tend vers l'infini
Donc il n y a pas aucun cas où quelque soit la contenance de la baignoire elle finit toujours par déborder.
J'espère que je n'ai pas commis une erreur.
Bonne nuit

 #6 - 30-05-2015 13:13:31

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

L'eure du bain

@dbab3000 :

Spoiler : [Afficher le message] Tu as bien compris le problème mais ton raisonnement me semble faux smile

V₃(t) ne peut pas être de la forme k*t : la baignoire ne déborde qu'à partir de l'instant ou le volume total versé excède la contenance de la baignoire.

La baignoire ne déborde jamais sous l'action du premier débit donc pourquoi poser V₄(t)=V₁(t)−V₃(t) ? V₃(t) vaut forcément 0 pour le premier débit.

 #7 - 30-05-2015 15:09:40

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 110

l'geure du bain

Non, je me suis mal exprimé V₃(t) n'est le volume qui est perdu par le débordement, c'est le volume d'eau qui coule vers les égouts.

 #8 - 30-05-2015 15:46:07

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

L'eure du bain

@dbab3000 :

Spoiler : [Afficher le message] Soit, le fait que la baignoire soit fermée ou ouverte ne change rien au résultat de tout façon.

Mais il y a un problème avec tes calculs de limite : si D₁(t)−k tends vers 0 en +infini alors la limite de A en +infini est une forme indéterminée et tu ne peux pas conclure.

 #9 - 30-05-2015 16:08:02

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

L'heurre du bain

PS:J'ai écrit ce message avant de lire ton dernier message.
D'après ton message j'ai déduit que tu n'as pas considéré le volume perdu de l'eau qui coule vers les égouts.
Je vais considérer que V₃(t)=0
On pose
D₁(t) le premier débit volumique.
D₂(t)=√D₁(t)÷(t+1) le deuxième débit volumique.
V₁(t)=t×D₁(t) volume de l'eau à l'intérieur de la baignoire pour le cas du premier débit.
V₂(t)=t×D₂(t)=(t÷(t+1))×√D₁(t)  volume de l'eau à l'intérieur de la baignoire pour le cas du deuxième débit.
V le volume de la baignoire.

On a V₁(t)≤V
A=limite(t tend vers +∞) V₁(t)
si D₁(t)=constante>0 lorsque t tend vers + ∞ alors A=+∞ impossible car A≤V
si D₁(t)=+∞ lorsque t tend vers + ∞ alors A=+∞ impossible car A≤V
le seul cas qui reste D₁(t)=0 qui donne A=+∞×0=a≤V car A≤V
limite(t tend vers +∞) D₁(t)=0

On a c tel que c≥0
B=limite(t tend vers c) V₁(t)
B=c×limite(t tend vers c) D₁(t)
si limite(t tend vers c) D₁(t)=+∞ alors B=+∞ impossible car B≤V
Donc limite(t tend vers c) D₁(t)=L

C=limite(t tend vers +∞) V₂(t)
limite(t tend vers +∞) D₁(t)=0
ce qui implique limite(t tend vers +∞) √D₁(t)=0
limite(t tend vers +∞) t÷(t+1)=1
alors C=0

D=limite(t tend vers c)V₂(t)
limite(t tend vers c) D₁(t)=L
ce qui implique limite(t tend vers c) √D₁(t)=√L
D=(c÷(c+1))×√L=constante

On a aucun cas où V₂(t) tend vers l'infini
Donc il n y a pas aucun cas où quelque soit la contenance de la baignoire elle finit toujours par déborder.
J'espère que je n'ai pas commis une erreur cette fois ci.
Bonne journée.

 #10 - 30-05-2015 16:23:32

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

L'hure du bain

Pour répondre à ton dernier message.
Tu as écrit dans l'énoncé :
Un robinet de débit volumique D(t) USI déverse de l'eau dans une baignoire sans jamais la faire déborder.
Ce qui implique que peu importe la valeur de t V₁(t)≤V
C'est vrai que limite(t tend vers +∞) V₁(t)=+∞×0  c'est une forme indéterminée
mais on sait que  V₁(t)≤V donc on peut conclure que
limite(t tend vers +∞) V₁(t)=constante tel que cette valeur est inférieure à V
Bonne journée.

 #11 - 30-05-2015 17:27:57

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

l'heute du bain

@dbab3000 :

Spoiler : [Afficher le message]
D'accord pour la justification concernant la forme indéterminée.

Mais il existe un autre cas : que dire si D₁(t) n'admet pas de limite en +infini ?

En fait ton développement est faux dès le départ car on n'a pas V₁(t)=t×D₁(t) wink

 #12 - 30-05-2015 17:59:35

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

m'heure du bain

La ça devient étrange on a par exemple:
Un robinet de débit D=0,1 litre par seconde et on a une bouteille de deux litres, on va la remplir à l'instant t le volume à l'intérieur de la bouteille est 0,1t :
si t=10s V=1 litre
si t=15s V=1,5 litre
si t=20s V=2litre
si t=30s V=2litre
La relation est V=0,1t tant que le volume est inférieur ou égale au volume de la bouteille après ça le volume reste constant.
C'est le même principe ici sauf que le débit est variable et doit tendre vers 0
Je dis qu'il doit tendre vers 0 sinon ce n'est qu'une question de temps avant que l'eau ne déborde, on doit plutôt que dire c'est une somme des termes positives qui doit tendre vers la valeur du volume de la baignoire qu'une fonction .
Je ne veux pas trouver les valeurs des limites, je veux juste démontrer que ces valeurs sont différentes de l'infini.

 #13 - 30-05-2015 19:24:47

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 143

L'huere du bain

@dbab3000 :

Spoiler : [Afficher le message]
C'est justement parceque le débit est variable qu'on ne peut pas écrire V1(t)=t*D1(t).

En fait on a cette relation.

 #14 - 31-05-2015 02:30:57

dbab3000
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 110

L''heure du bain

On pose:
V₁(t)=∫(de 0 à t) D₁(x) dx
V₂(t)=∫(de 0 à t) √D₁(x)÷(x+1) dx

Si D₁(x)≥1
alors √D₁(x)≤D₁(x)
On a 1÷(x+1)≤1
ce qui implique que √D₁(x)÷(x+1)≤D₁(x)
alors ∫(de 0 à t) √D₁(x)÷(x+1)≤∫(de 0 à t)D₁(x)
donc V₂(t)≤V₁(t)
et on sait que V₁(t)≤V
alors V₂(t)≤V

Si D₁(x)=0
alors V₂(t)=0

Si 0<D₁(x)<1
Il existe au moins un c tel que c≤D₁(x)<1
alors √c≤√D₁(x)<1
ce qui implique √c÷(x+1)≤√D₁(x)÷(x+1)<1÷(x+1)
en ajoutant l'intégrale on trouve √c×ln(t+1)≤V₂(t)≤ln(t+1)
Si t tend vers une t₀ V₂(t) est borné par des constantes alors V₂(t) ne tend pas vers l'infini.
Si t tend vers l'infini
alors (limite t tend vers +∞) √c×ln(t+1)=+∞
Donc (limite t tend vers +∞) V₂(t)=+∞

Donc le seul cas possible où quelque soit la contenance de la baignoire elle finit toujours par déborder est lorsque 0<D₁(t)<1 et lorsque t tend vers +∞
Bonne nuit.

 #15 - 31-05-2015 15:09:06

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

l'heure du vain

@dbab3000 :

Spoiler : [Afficher le message]
D'accord pour D1(t) >= 1 et D1(t) = 0

Le problème avec 0 < D1(t) < 1 c'est que c vaut toujours 0 sinon la baignoire déborde sous l'action du premier débit et donc l'encadrement ne permet pas de conclure.

En plus il existe un autre cas : que dire des débits qui vérifient D1(t) < 1 sur un intervalle de temps puis D1(t) >= 1 sur un autre ?

En fait je pense qu'il est très difficile de répondre à ce problème sans parler d'intégrales généralisées !

 #16 - 31-05-2015 17:47:57

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3309

L'herue du bain

Il faut chercher toutes les fonctions D telles que l'intégrale de 0 à l'infini par rapport au temps est convergente pour avoir un baignoire qui ne déborde pas.

Donc on peut dors et déjà éliminer tous les cas où D(t)=t^u avec u>=0

Si on a D(t)=t^(-u)/(t+1) avec 0<u<1 l'intégrale converge.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 31-05-2015 17:58:01

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

l'heure du vain

@shadock :

Spoiler : [Afficher le message] Effectivement mais la question est de savoir si il existe des cas ou l'intégrale (celle du second débit) diverge tongue

 #18 - 01-06-2015 23:12:58

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

L'heure du bai

Peu de participants mais voilà la solution smile

Le problème était équivalent à :

Sachant que l'intégrale http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-D1.gif converge déterminer la nature de l'intégrale http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-D2.gif

Ça sentait l'analyse mais en fait il fallait chercher coté algèbre lol

L'intégrale http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-D2T.gif est le produit scalaire de http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-F1.gif et http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-F2.gif et on peut donc appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz : http://www.prise2tete.fr/upload/Sydre-Cauchy.gif

La passage à la limite permet de conclure puisqu'on a majoré par un produit d'intégrales convergentes !

Conclusion : Il n'existe pas de cas ou quelque soit sa contenance la baignoire finit toujours par déborder.

Inspiré d'un exercice d'oral.

 #19 - 02-06-2015 00:00:00

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3309

l'heure di bain

Effectivement c'est joli. smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 02-06-2015 22:28:13

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

L'heur edu bain

Arf, je n'avais pas compris la question. Je pensais que la baignoire n'était pas bouchée dans le fond. Mais même si j'avais compris, je n'aurais jamais trouvé. Cauchy-Schwarz, c'est très très loin, et ça a du représenter 5 minutes de toute ma scolarité lol

 #21 - 03-06-2015 08:36:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

L'heure du bainn

Pour moi pareil, je voyais une baignoire avec un trop plein...

 

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