il suffit que, sur une durée suffisamment longue,  D(t)^(1/2)/(t+1) > D(t), soit D(t)<(1/(t+1))².

A noter que la formule donnant le débit modifié n'étant pas homogène à un débit, c'est une formule "super moche" qui dépend des unité choisies pour chaque grandeur...

@dylasse :

Spoiler : [Afficher le message] Je ne comprends pas comment D(t)^(1/2)/(t+1) > D(t) implique la divergence : 1/t^2 >= 1/t^3 sur [1 ; +infini] et pourtant on a convergence pour les deux.

Concernant les unités : les 2 débits étaient sous-entendus en USI sans quoi le problème n'a pas de vraiment de sens. Il est vrai qu'en toute rigueur il faudrait multiplier le second débit par 1 m^(3/2)*s^(1/2)

@fmifmi

Spoiler : [Afficher le message] Le débit du robinet dépend effectivement du temps.

Expression du second débit : (D(t) puissance 1/2) divisé par t+1

@dbab3000 :

Spoiler : [Afficher le message] Tu as bien compris le problème mais ton raisonnement me semble faux

V₃(t) ne peut pas être de la forme k*t : la baignoire ne déborde qu'à partir de l'instant ou le volume total versé excède la contenance de la baignoire.

La baignoire ne déborde jamais sous l'action du premier débit donc pourquoi poser V₄(t)=V₁(t)−V₃(t) ? V₃(t) vaut forcément 0 pour le premier débit.

@dbab3000 :

Spoiler : [Afficher le message] Soit, le fait que la baignoire soit fermée ou ouverte ne change rien au résultat de tout façon.

Mais il y a un problème avec tes calculs de limite : si D₁(t)−k tends vers 0 en +infini alors la limite de A en +infini est une forme indéterminée et tu ne peux pas conclure.

Pour répondre à ton dernier message.
Tu as écrit dans l'énoncé :
Un robinet de débit volumique D(t) USI déverse de l'eau dans une baignoire sans jamais la faire déborder.
Ce qui implique que peu importe la valeur de t V₁(t)≤V
C'est vrai que limite(t tend vers +∞) V₁(t)=+∞×0  c'est une forme indéterminée
mais on sait que  V₁(t)≤V donc on peut conclure que
limite(t tend vers +∞) V₁(t)=constante tel que cette valeur est inférieure à V
Bonne journée.

La ça devient étrange on a par exemple:
Un robinet de débit D=0,1 litre par seconde et on a une bouteille de deux litres, on va la remplir à l'instant t le volume à l'intérieur de la bouteille est 0,1t :
si t=10s V=1 litre
si t=15s V=1,5 litre
si t=20s V=2litre
si t=30s V=2litre
La relation est V=0,1t tant que le volume est inférieur ou égale au volume de la bouteille après ça le volume reste constant.
C'est le même principe ici sauf que le débit est variable et doit tendre vers 0
Je dis qu'il doit tendre vers 0 sinon ce n'est qu'une question de temps avant que l'eau ne déborde, on doit plutôt que dire c'est une somme des termes positives qui doit tendre vers la valeur du volume de la baignoire qu'une fonction .
Je ne veux pas trouver les valeurs des limites, je veux juste démontrer que ces valeurs sont différentes de l'infini.

On pose:
V₁(t)=∫(de 0 à t) D₁(x) dx
V₂(t)=∫(de 0 à t) √D₁(x)÷(x+1) dx

Si D₁(x)≥1
alors √D₁(x)≤D₁(x)
On a 1÷(x+1)≤1
ce qui implique que √D₁(x)÷(x+1)≤D₁(x)
alors ∫(de 0 à t) √D₁(x)÷(x+1)≤∫(de 0 à t)D₁(x)
donc V₂(t)≤V₁(t)
et on sait que V₁(t)≤V
alors V₂(t)≤V

Si D₁(x)=0
alors V₂(t)=0

Si 0<D₁(x)<1
Il existe au moins un c tel que c≤D₁(x)<1
alors √c≤√D₁(x)<1
ce qui implique √c÷(x+1)≤√D₁(x)÷(x+1)<1÷(x+1)
en ajoutant l'intégrale on trouve √c×ln(t+1)≤V₂(t)≤ln(t+1)
Si t tend vers une t₀ V₂(t) est borné par des constantes alors V₂(t) ne tend pas vers l'infini.
Si t tend vers l'infini
alors (limite t tend vers +∞) √c×ln(t+1)=+∞
Donc (limite t tend vers +∞) V₂(t)=+∞

Donc le seul cas possible où quelque soit la contenance de la baignoire elle finit toujours par déborder est lorsque 0<D₁(t)<1 et lorsque t tend vers +∞
Bonne nuit.

Il faut chercher toutes les fonctions D telles que l'intégrale de 0 à l'infini par rapport au temps est convergente pour avoir un baignoire qui ne déborde pas.

Donc on peut dors et déjà éliminer tous les cas où D(t)=t^u avec u>=0

Si on a D(t)=t^(-u)/(t+1) avec 0<u<1 l'intégrale converge.

Shadock

Peu de participants mais voilà la solution

Le problème était équivalent à :

Sachant que l'intégrale converge déterminer la nature de l'intégrale

Ça sentait l'analyse mais en fait il fallait chercher coté algèbre

L'intégrale est le produit scalaire de et et on peut donc appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

La passage à la limite permet de conclure puisqu'on a majoré par un produit d'intégrales convergentes !

Conclusion : Il n'existe pas de cas ou quelque soit sa contenance la baignoire finit toujours par déborder.

Inspiré d'un exercice d'oral.

Arf, je n'avais pas compris la question. Je pensais que la baignoire n'était pas bouchée dans le fond. Mais même si j'avais compris, je n'aurais jamais trouvé. Cauchy-Schwarz, c'est très très loin, et ça a du représenter 5 minutes de toute ma scolarité