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 #1 - 07-05-2011 23:00:51

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Griego1 Pendule d'anggle

Jean possède une pendule.
Aune certaine heure, il remarque que l'angle formé par les 2aiguilles est de 138°. Quelques minutes passent, puis il remarque que l'angle ne mesure maintenant que 60°.
Combien de minutes sont elles passées entre les 2 mesures?

Ps: C'est moins de 1h et c'est un nombre de minutes exact.



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 #2 - 07-05-2011 23:27:19

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

gtiego1 pendule d'angle

Je dis que Jean a le rapporteur dans l’œil lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 08-05-2011 00:28:32

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

Grieog1 Pendule d'angle

En partant du principe qu'il s'agit des aiguilles pour les heures et les minutes (exit la trotteuse)

A chaque minute qui s'écoule, l'aiguille des minutes avance et réduit l'écart de 6° (360°/60) et celle des heures avance et augmente l'écart de 0,5° (30°/60).

Les minutes écoulés sont alors:
Soit [latex]156-6x+0,5x=10 \Rightarrow x=\dfrac{146}{5,5}\approx 26 min\; 33 s[/latex]

Soit [latex](360-156)-6x+0,5x=10 \Rightarrow x=\dfrac{194}{5,5}\approx 35 min\; 16 s[/latex]

EDIT: On la refait; moins crispé.
Il y a deux possibilités pour commencer:
Soit l'angle orienté (dans le sens trigonométrique) des heures vers les minutes vaut 138° et on aura:
[TeX]138-5,5x=\pm 60[/latex] selon que l'aiguille des minutes dépasse ou non celle des heures

Soit c'est l'angle orienté des minutes vers les heures qui vaut 138° et on aura:
[latex]138+5,5x=360\pm 60[/TeX]
De ces quatres possibilités, une seule donne un compte de minutes exactes qui vaut: 36 min


There's no scientific consensus that life is important

 #4 - 08-05-2011 07:55:24

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Griego1 Pendle d'angle

Ps:, j'ai oublié de preciser:
C'est un nombre de minutes exact exact, et c'est moins de 1h.


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 #5 - 08-05-2011 09:02:57

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

griego1 pendule f'angle

En une heure, la grande aiguille parcours 360°, soit 6° par minute
La petite en parcours 360/12 = 30, soit 0,5° par minute

La grande gagne donc 5,5° par minute sur la petite

4 cas possibles :

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-pendule2.jpg

[...]

OK 138° puis 60° ...

Donc 78°, 198°, 162° ou 282°;

Seuls 198° sont divisibles par 5,5, nous sommes donc dans le cas en haut à droite et il s'est écoulé 36mn pendant lesquelles la grande aiguille a dépassé la petite.

De plus la seule heure qui permette de trouver ce résultat de minute pile en minute pile me semble être 2h 36 , puis 3 h 12

 #6 - 08-05-2011 09:16:51

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Griego1 Penndule d'angle

J'ai commis des erreurs sur ce problème:
il mesure 138, puis 60 °


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 #7 - 08-05-2011 10:37:32

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Griego1 Penudle d'angle

Pourquoi as-tu changé les valeurs de l'énoncé alors qu'elles donnaient un solution ?

Bref avec les nouvelles valeurs, la réponse est :
36 minutes entres 9h24 (resp. 21h24) et 10h00 (resp. 22h00)

EDIT
Petite démo dans le cas général.
Je note l'heure 1 [latex]h_1:m_1[/latex] et l'heure 2 [latex]h_2:m_2[/latex]
La grande aiguille fait un angle en degrés avec la verticale égal à :
[TeX]30h_1+\frac{m_1}2[/latex] et [latex]30h_2+\frac{m_2}2[/TeX]
La petite aiguille fait un angle en degrés avec la verticale égal à :
[TeX]6m_1[/latex] et [latex]6m_2[/TeX]
La différence entre ces 2 angles vaut en valeur absolue donc :
[TeX]|30h_1-\frac{11m_1}2|[/latex] et [latex]|30h_1-\frac{11m_2}2|[/TeX]
Mais cette différence peut dépasser 180°, donc si on veut que l'angle formé par les aiguilles soit égal à un angle [latex]\alpha[/latex] il faut considérer 2 cas : la différence vaut [latex]\alpha[/latex] ou [latex]360-\alpha[/latex]

Dans le cas qui nous intéresse, [latex]\alpha_1=138[/latex] et [latex]\alpha_2=60[/latex]

Pour la première heure, il faut donc chercher les solutions vérifiant :
[TeX]30h_1-\frac{11m_1}2=138[/TeX]
ou [latex]30h_1-\frac{11m_1}2=-138[/latex]
ou [latex]30h_1-\frac{11m_1}2=222[/latex]
ou [latex]30h_1-\frac{11m_1}2=-222[/latex]
que l'on peut écrire (avec [latex]k_1=\frac{m_1}6[/latex] entier car 138, 222 et 30 sont divisible par 6, et 11 premier avec 6, donc [latex]m_1[/latex] divisible par 6)
[TeX]10h_1=11k_1+46[/TeX]
ou [latex]10h_1=11k_1-46[/latex]
ou [latex]10h_1=11k_1+74[/latex]
ou [latex]10h_1=11k_1-74[/latex]

ce qui donne les solutions :
[TeX]k_1=4[/latex] et [latex]h_1=9[/latex] : 09h24 ou 21h24
[latex]k_1=6[/latex] et [latex]h_1=2[/latex] : 02h36 ou 14h36
[latex]k_1=6[/latex] et [latex]h_1=14[/latex] : impossible
[latex]k_1=4[/latex] et [latex]h_1=-3[/latex] : impossible

On arrive à quatre heures possibles pour la première heure : 02h36 ; 09h24 ; 14h36 ; 21h24

Pour la seconde heure, c'est le même raisonnement :

[latex]30h_2-\frac{11m_1}2=60[/TeX]
ou [latex]30h_2-\frac{11m_2}2=-60[/latex]
ou [latex]30h_2-\frac{11m_2}2=300[/latex]
ou [latex]30h_2-\frac{11m_2}2=-300[/latex]
que l'on peut écrire (avec [latex]k_2=\frac{m_2}{30}[/latex] entier car 60, 300 et 30 sont divisible par 30, et 11 premier avec 6, donc [latex]m_2[/latex] divisible par 30 ; [latex]k_2[/latex] vaut 0 ou 1)
[TeX]2h_2=11k_2+4[/TeX]
ou [latex]2h_2=11k_2-4[/latex]
ou [latex]2h_2=11k_2+20[/latex]
ou [latex]2h_2=11k_2-20[/latex]

ce qui donne les solutions :
[latex]k_2=0[/latex] et [latex]h_2=2[/latex] : 02h00 ou 14h00
impossible
[latex]k_2=0[/latex] et [latex]h_2=10[/latex] : 10h00 ou 22h00
impossible

On arrive à quatre heures possibles pour la seconde heure : 02h00 ; 10h00 ; 14h00 ; 22h00.

Les seuls configurations où il s'est écoulé moins d'une heure entre les 2 moments sont :
09h24 puis 10h00
21h24 puis 22h00

Il s'est donc écoulé 36 minutes.


Tu avais dans un premier lieu donné les valeurs 156° et 10°, on arrivait aux heures : 02h48 et 4h20, avec une différence de 1h32. Tu n'avais pas encore spécifié que moins d'une heure s'était écoulée, donc il y avait bien une solution, tant pis big_smile

 #8 - 08-05-2011 17:49:20

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Giego1 Pendule d'angle

Chaque minute, la grande aiguille prend 5.5° d'avance sur la petite.
(11 tours en 12 heures)

Si le résultat est entier, il faut ajouter 138 à 60 pour avoir un multiple de 11.
La grande aiguille a dépassé la petite.

On trouve alors 198/5.5=36 mn.

 #9 - 09-05-2011 12:20:51

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Grego1 Pendule d'angle

Je me suis un peu planté dans mes vitesses angulaires. =D

La vitesse angulaire de l'aiguille des heures vaut 30°/h.
Celle de l'aiguille des minutes vaut 360°/h. Comme les 2 aiguilles tournent dans le même sens, la vitesse angulaire relative vaut 330°/h.
Si l'angle diminue de 138°-60°=78°. 78° / 330°/h = 0,236364 h = 00h14,182.
Si l'angle augmente de 360°-138°-60°=162°, 162° / 330°/h = 0,490491 = 00h29,455.

Je n'obtiens pas de minute exact. sad

Edit: il n'est pas impossible que les 2 aiguilles se soient croisées.

J'ai 2 cas:

- l'angle parcouru vaut 138°+60°=198° et on trouve 198° / 330°/h = 0,6 = 00h36. smile

- l'angle parcouru 360°-138°+60°=282° et on trouve 282° / 330°/h = 0,854545 = 00h51,273.

 #10 - 09-05-2011 13:08:08

naddj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 301
Lieu: Ffm

Grigo1 Pendule d'angle

Je dois faire des erreurs, parce que j'ai un angle de 60° à 2:00, et un angle de 138° à 2:36...
Je cherche encore... sad

 #11 - 09-05-2011 19:28:32

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

griego1 prndule d'angle

Ceux n'ayant participé qu'a une question, je leur conseille fortement de participer aux autres.


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 #12 - 09-05-2011 22:05:09

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

riego1 Pendule d'angle

Je dirais 36 minutes entre 9:24 et 10:00 (AM ou PM).

 #13 - 09-05-2011 22:30:18

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Griego 1Pendule d'angle

138 - 60 = 78 dg
La grande aiguille court après la petite.
La petite aiguille allant 12 fois moins vite que la grande, celle-ci a parcouru :
78 * 12 / 13 = 90 dg, ce qui représente 15 mn.

 #14 - 10-05-2011 09:07:23

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Griego1 Pendule d'anngle

Si on considère qu'une horloge comporte 60 petites graduations, chaque graduation représente un angle de 6°
Une minute correspond au passage de la grande aiguille à la graduation suivante, une heure correspond à 5 graduations de la petite aiguille (donc une graduation par tranche de 12 minutes).
Donc à 2h36, la petite aiguille est à la graduation 2*5+36/12 = 13, la grande à 36, donc leur angle fait 23*6 = 138° très exactement
C'est aussi le cas à 9h24
A 10h00, il y a 10 graduations entre les 2 aiguilles, soit 60°

Conclusion : il était 9h24 la première fois, et 10h00 la seconde.
Il s'est donc écoulé 36 minutes entre les deux

 #15 - 10-05-2011 15:56:54

Franky1103
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Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

griego1 pendule d'angke

Bonjour,
La petite aiguille avance 12 fois moins vite que la grande. De plus on connait l'angle avant (138° équivalent à 23mn) et après (60° équivalent à 10mn), mais on ne sait pas si c'est la grande aiguille qui est devant la petite ou l'inverse: on aura donc 4 cas à considérer (k étant un entier) exprimant l'angle en fonction du temps passé t:
1°) 11/12 t + 23 = 60 k + 10 soit t = 12/11 (60 k - 13)
2°) 11/12 t + 23 = 60 k - 10 soit t = 12/11 (60 k - 33)
3°) 11/12 t - 23 = 60 k + 10 soit t = 12/11 (60 k + 33)
4°) 11/12 t - 23 = 60 k - 10 soit t = 12/11 (60 k + 13)
Je fais varier k et je garde les valeurs entières de t comprises entre 0 et 60.
La seule valeur qui convienne est le cas 3° avec k = 0 et qui donne t = 36.
La grande aiguille a parcouru un angle équivalent à 36mn (soit 216°) (en dépassant la petite) et la petite un angle équivalent à 3mn (soit 18°). L'angle initial de 138° est devenu 216 - 18 - 138 = 60° (ou en équivalent minutes 36 - 3 - 23 = 10).
Donc la réponse unique est 36mn.
Bonne journée.
Frank

 #16 - 14-05-2011 14:45:23

Saba
Visiteur

griego1 pendume d'angle

13 minutes

 #17 - 14-05-2011 14:51:09

saba93
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 1

gruego1 pendule d'angle

13 minutes

 #18 - 14-05-2011 15:58:35

Golfc
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 803

Griego1 Penduule d'angle

36 minutes


Le temps est sage, il révèle tout. (Θαλής)

 #19 - 14-05-2011 19:51:24

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Griego1 Penduel d'angle

Si moins d'une heure s'est écoulée entre les deux instants, alors la seule possibilité est que Griego a regardé pour la première fois son horloge à 9h24 (ou 21h24), puis la seconde fois à 10h00 (ou 22h00).

Aussi, dans les deux cas, le nombre de minutes écoulées entre ces deux instants est de 36 minutes.

Sympa comme petit problème smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #20 - 15-05-2011 08:02:41

Promath-
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Lieu: Au fond de l'univers

Griego1 Pendule da'ngle

36 minutes étaient la solution!


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