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 #1 - 08-08-2011 16:52:17

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

nAgle formé par les diagonales d'un cube

La traversée du cube...

Trouver l'angle que font entre elles les diagonales d'un cube.
Attention: cet angle doit être exprimé sans utiliser le symbole racine.



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 #2 - 08-08-2011 18:03:49

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2216

Angle formé par les diagonales d'un cubee

[TeX]\pi-2(\tan^{-1}(\sum_{k=0}^\infty{\frac{(-1)^k (\frac{\pi}{4})^{2k}}{(2 k)!}))[/TeX]

 #3 - 08-08-2011 21:35:54

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

angle formé par les diagonames d'un cube

Nodgim, il faut réfléchir, dans ce cas... tongue

FRiZ: ??? Je suis sûr que tu peux faire plus simple et surtout donner une valeur en degrés, même si cela n'est pas précisé dans l'énoncé. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 08-08-2011 22:32:54

gwen27
Elite de Prise2Tete
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angle formé par les dizgonales d'un cube

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-daigcube.jpg

70,52 ° ??

 #5 - 08-08-2011 22:37:39

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

Anlge formé par les diagonales d'un cube

Oui, c'est la bonne valeur, Gwen... mais il me manque une démonstration "simple" qui n'utilise pas le symbole racine.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 08-08-2011 22:57:44

nodgim
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angke formé par les diagonales d'un cube

Après réflexion, 60 degrés devrait mieux convenir.

 #7 - 08-08-2011 23:07:02

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

Angle formé par les diagonales d'un cub

C'est mieux que 90°, oui... mais ça ne tombe pas juste. tongue


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 #8 - 09-08-2011 11:00:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Angle formé apr les diagonales d'un cube

70,52877937 degrés ?

 #9 - 09-08-2011 11:14:44

rivas
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Lieu: Jacou

zngle formé par les diagonales d'un cube

Dans un cube d'arête a, les diagonales mesurent [latex]a\sqrt3[/latex].

Le triangle formé par le centre des diagonales et 2 sommets d'un même arête à pour longueur: [latex]\dfrac{a\sqrt3}2, \dfrac{a\sqrt3}2, a[/latex].

Je trouve donc que:
[latex]cos(\alpha)=\dfrac13, sin(\alpha)=\dfrac{2\sqrt2}3, tan(\alpha)=\dfrac1{2\sqrt2}, sin(\dfrac{\alpha}2)=\dfrac1{\sqrt3}[/latex].

Mais impossible d'en tirer une valeur "propre".
Un valeur approchée est 70,53°.
Ou alors je ne cherche pas ce que l'on demande...

 #10 - 09-08-2011 11:48:26

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

Angle forrmé par les diagonales d'un cube

C'est juste, rivas, mais la difficulté est de ne pas utiliser le symbole "racine", comme précisé dans l'énoncé... wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #11 - 09-08-2011 11:49:22

SaintPierre
Banni
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Angle fromé par les diagonales d'un cube

OK, nodgim. Qui sera le premier à me le démontrer sans le symbole "racine" ?


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #12 - 09-08-2011 14:33:33

rivas
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Lieu: Jacou

Anglle formé par les diagonales d'un cube

Il n'y a pas de racine dans [latex]cos(\alpha)=\dfrac13[/latex] ni dans [latex]\alpha=arccos(\dfrac13)[/latex] smile

La seule idée que j'ai est d'utiliser un développement limité.

[latex]arccos(x)=\dfrac\pi2-arcsin(x)[/latex].

Donc [latex]\alpha=\dfrac\pi2-arcsin(\dfrac13)[/latex].

Or pour x tel que |x|<1, [latex]arcsin(x)=\sum_{i=0}^\infty\dfrac{(2i)!}{2^{2i}(i!)^2}\dfrac{x^{2i+1}}{2i+1}[/latex].

Donc [latex]\alpha=\dfrac\pi2-\sum_{i=0}^\infty\dfrac{(2i)!}{3.6^{2i}(i!)^2(2i+1)}[/latex].

Il n'y a pas de racine, mais est-ce vraiment mieux ? smile

 #13 - 09-08-2011 14:44:51

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

Angle formé par les diagonales d'un cub

En passant par le produit scalaire, nul besoin du symbole racine... tongue
Étant une bille en LaTex, je sens que je vais devoir vous convaincre en scannant mon brouillon ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #14 - 09-08-2011 15:23:28

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

angle formé par les diafonales d'un cube

http://nsa28.casimages.com/img/2011/08/09/110809032424462772.jpg

J'ai essayé de vous mettre mon brouillon, mais ça ne rend pas très bien... C'est surtout peu lisible !

Soient [OD] et [FC] diagonales choisies.
Produit scalaire vérifie relation:

(vecteur OD).(vecteur FC) = OD x FC x cos¤

Repère orthonormé (O, vecteur OA, vecteur OB, vecteur OF)

vecteur OD = (1 1 1) et vecteur FC = (1 1 -1)

Produit scalaire des 2 vecteurs vaut 1.

OD x CF = 3

cos¤ = 1/3

¤ = arc cos 1/3

¤ = 70,53°


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 #15 - 09-08-2011 15:43:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Angle formé pr les diagonales d'un cube

Moi j'ai trouvé que ça valait 2 fois arc sin (1/rac3). Je vois pas trop la différence avec ta démarche....

 #16 - 09-08-2011 15:48:06

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

angle formé par les diagonales d'un cibe

Désolé nodgim, mais je ne "vois" pas ta démarche, moi...
Et surtout:

Attention: cet angle doit être exprimé sans utiliser le symbole racine.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 09-08-2011 16:10:07

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

angle formé par les diagonales d'un cubz

Je suis un peu perdu.
J'ai dès le début donné [latex]cos(\alpha)=\dfrac13[/latex]. C'est vrai que dans la même réponse j'ai aussi donné les sinus, ... avec des racines mais il y avait les 2. J'ai donc cherché plus compliqué.

Dans ta réponse tu donnes la même chose.

Veux-tu dire que l'on doit trouver autre chose que [latex]\alpha=arccos(\dfrac13)[/latex] sans racine carré ?

 #18 - 09-08-2011 16:13:26

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

angle gormé par les diagonales d'un cube

Non, c'est bon, rivas... wink


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 #19 - 09-08-2011 17:21:38

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2822
Lieu: Luxembourg

Angle formé par les diagnales d'un cube

Bonjour,
Ce sont les diagonales d'un rectangle de côtés 1 et V2.
On a: cos a/2 = V2/V3 = V6/3.
Et donc: cos a = 2 cos² a/2 - 1 = 1/3.
Bon ok, j'ai utilisé le symbole racine carrée (V) dans la recherche de la solution, mais pas dans l'expression du résultat définitif: suis-je hors sujet ?
Bonne journée.
Frank

 #20 - 09-08-2011 18:50:24

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

angle fprmé par les diagonales d'un cube

Un peu, oui... puisqu'il ne faut pas utiliser le symbole "racine". Ce n'est pas grave, non plus !


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 #21 - 10-08-2011 02:21:57

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Angle formé par les diagonalles d'un cube

Je n'avais pas compris l'énoncé. Je pensais que tu voulais l'angle entre les diagonales des faces.. qui si je ne me trompe est égal a 60 degrés...
(angle FDA sur ton dessin)


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #22 - 10-08-2011 12:00:43

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Angle formé par les dagonales d'un cube

Inutile de laisser du temps de réflexion supplémentaire, j'ai donné la solution. tongue


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