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 #1 - 22-03-2012 18:23:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

angle tertien

Bonsoir à tous.
Sur le globe terrestre supposé sphérique, en connaissant 3 points distincts par leurs latitude et longitude, trouver les angles des géodésiques qui les relient.
L'expression d'un seul angle suffira.
Bon amusement.



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 #2 - 22-03-2012 18:34:12

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Angel Terrien

La somme des trois angles en question est supérieure à 180° ???


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #3 - 23-03-2012 18:00:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

anfle terrien

La question est: trouver l'angle en A des géodésiques AB et AC, si A, B et C sont 3 points donnés du globe.
Je préviens tout de suite: je n'ai pas la réponse sous la main.

 #4 - 24-03-2012 13:29:38

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Angle Terien

J'ai bien mon idée sur le problème, mais la formule finale en fonction des latitudes et longitudes est extrêmement compliqué...

Posons O le centre de la Terre.
notons a,b,c les vecteurs normalisé des vecteur OA,OB et OC

1) On cherche un vecteur normal pour chacun des plans (OAB) et (OAC) :
n1 = a^b et n2 = a^c ("^" est le produit vectoriel, et ce sont des vecteurs)

2)  On a :
     ||n1^n2|| = ||n1||x||n2|| sin(Â)
     n1.n2 = ||n1||x||n2|| cos(Â)
Là on peut utiliser Arcos où Arcsin, mais je préfère utiliser atan ce qui simplifira les ||n1||x||n2|| (j'appelle atan(x,y) la fonction qui calcul l'angle en utilisant w = Arctan(x/y) mais en tenant compte du signe de x et y pour renvoyer w, w-Pi, ou w-Pi)
 = atan(||n1^n2|| , n1.n2)

3) Simplifions:
||n1^n2|| = ||(a^b)^ (a^c)|| = || (a.(a^b))c-(c.(a^b))b|| = || det(a,b,c)b|| = det(a,b,c)    car ||b||=1
Je rappelle aussi que par définition (u^v).w=det(u,v,w)

n1.n2 = (a^b). (a^c) = det(a,b,a^c)

4) On obtient  la belle formule  = atan( det(a,b,c) , det(a,b,a^c) )

5) On exprime les vecteurs a,b,c en coordonnées cartésienne :
   On pose "ta" la latitude en radian de A, "la" la longitude en radian de A, idem pour B et C.
   a = (cos(ta)sin(la) , cos(ta)cos(la), sin(ta) )
   b = (cos(tb)sin(lb) , cos(tb)cos(lb), sin(tb) )
   a = (cos(tc)sin(lc) , cos(tc)cos(lc), sin(tc) )

6) On utilise un logiciel de calcul formel pour avoir la formule moche big_smile

 = atan(cos(lc) cos(tc) (cos(tb) sin(lb) sin(ta) - cos(ta) sin(la) sin(tb)) +
    cos(lb) cos(tb) (-cos(tc) sin(lc) sin(ta) + cos(ta) sin(la) sin(tc)) +
   cos(la) cos(ta) (cos(tc) sin(lc) sin(tb) - cos(tb) sin(lb) sin(tc))) ,
(cos(ta)^2 cos(tb) cos(tc) (cos(lb) sin(la) - cos(la) sin(lb)) (cos(lc) sin(la) -
      cos(la) sin(lc)) + (cos(lb) cos(tb) sin(ta) -
      cos(la) cos(ta) sin(tb)) (cos(lc) cos(tc) sin(ta) -
      cos(la) cos(ta) sin(tc)) + (cos(tb) sin(lb) sin(ta) -
      cos(ta) sin(la) sin(tb)) (cos(tc) sin(lc) sin(ta) -
      cos(ta) sin(la) sin(tc)))

 

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