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 #1 - 18-01-2017 18:00:04

Bogriga
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

Innégalité cubes

Avons-nous une démonstration "élémentaire" (sans utiliser de l'analyse et des fonctions de plusieurs variables) de l'inégalité
[latex][/latex $x^3+y^3+z^3\geq 1/9$ sachant que $x,y,z$ sont trois réels positifs de somme $1$ ?]

(je n'ai pas su utiliser le bouton "latex". On peut m'expliquer ? Mon texte est codé en latex, et ensuite ?)



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 #2 - 18-01-2017 18:42:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

Inéglaité cubes

Tu dois fermer la balise après ta formule... et oublier les dolards
[TeX] $x^3+y^3+z^3\geq 1/9$[/TeX] sachant que $x,y,z$ sont trois réels positifs de somme $1$ ?

Ce qui donne :
[TeX] x^3+y^3+z^3\geq 1/9[/TeX]

 #3 - 18-01-2017 19:17:12

aunryz
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 141

Inégalié cubes

Hello

Intuitivement, (dans un premier temps ... puis ...)
plus la répartition est équitable
plus la somme (des volumes des trois cubes correspondant) est petite
elle est minimale pour pour l'équi-répartition à savoir 1/3 pour chaque

Ce qui donne un volume total de 3/27 soit 1/9

olléH


Du fagot des Nombreux

 #4 - 18-01-2017 19:27:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

Inégalité ucbes

On peut dire que le cube d'un nombre augmente beaucoup plus vite que le nombre (en proportion)

Ici on est dans [0-1] donc c'est l'inverse, mais peu importe...

Si tu prends 3 nombres égaux, la somme de leurs cubes est 1/3 au cube x 3 soit 1/9.

Si tu diminues un des nombres, tu augmentes les autres d'autant. Par contre, le (ou les)  cube "augmenté" augmentera plus que les cubes "diminués" qu'on soit inférieur ou supérieur à 1.

Traditionnellement, on le traduit avec une dérivée, mais l'idée est là. On ne sera pas en dessous de 1/9.

 #5 - 19-01-2017 23:20:43

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1550

inégalité cubrs

Je me demande si on ne pourrait pas faire plus formel en restant simple.
Par exemple, on pourrait passer par (x+y+z)^3
En développant / simplifiant par x+y+z = 1, j'arrive à

x^3+y^3+z^3 + 3xyz(1/x + 1/y + 1/z - 1) = 1

Ca revient du coup à démontrer que xyz(1/x + 1/y + 1/z - 1) <= 8/27, mais là je re-bascule sur du compliqué (ou non formel, au choix)

 #6 - 20-01-2017 11:31:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3258

Inéggalité cubes

Peut être plus simple...

On peut réécrire l'inéquation :

( 1/3 + a ) ^ 3 + ( 1/3 + b  ) ^ 3 + ( 1/3 + c ) ^ 3  -1/9 >= 0 avec a+b+c = 0 et a,b,c >= -1/3 (puisque x, y , z >= 0)

qui donne, après développement :

a² + b² + c² +  a^3 + b^3 + c^3  >= 0
a² ( 1 + a) + b² ( 1 + b ) + c² ( 1 + c) >= 0

Ce qui est vrai puisque chacun des 3 termes est >= 0

CQFD

 #7 - 20-01-2017 15:39:25

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 526

Inégalité cubs

@nodgim : bravo, bien vu !

 #8 - 21-01-2017 06:49:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

Inégalité cues

De manière plus générale, une somme de cubes est minimale si les nombres positifs ou nuls sont tous égaux (à somme constante).

Par l'absurde : si deux nombres sont différents, on peut trouver plus petit en les moyennant car :

2 ((a+b)/2)^3 = a^3 +b^3 + 3/4 (a-b)(b-a)(b+a)  la fin étant toujours négative pour a et b distincts.

 #9 - 21-01-2017 10:44:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3258

IInégalité cubes

J'ai du mal à comprendre ce que tu as fait Gwen.
C'est quoi le 2 *( (a+b)/2) ^ 3 ?  Et si je développe, je trouve du a^3 / 4, pas du a ^ 3.

 #10 - 21-01-2017 10:49:52

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

Inégalité cube

nodgim a écrit:

C'est quoi le 2 *( (a+b)/2) ^ 3 ?

C'est si on prend la moyenne des deux nombres (2 fois) à la place des  deux nombres.

Non, je trouve bien du a^3/4 mais je le transforme en a^3 -  (3a^3)/4.
Cela permet directement de comparer les deux résultats.

la moyenne au cube (2 fois )  VS les deux nombres au cube

 #11 - 21-01-2017 11:33:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3258

Inégalité cube

OK Gwen, c'est vu.

Et c'est très bien !

On peut en effet extrapoler, à partir de la somme de 2 cubes, la somme de n cubes :

"La somme des cubes de n nombres positifs est supérieure à n fois le cube de la moyenne arithmétique de ces nombres".

Ou encore :

" Pour n nombres positifs à somme constante, la plus petite somme de leurs cubes intervient quand ces nombres sont égaux " .

 #12 - 21-01-2017 21:32:20

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

inégaluté cubes

OUI.

En gros : Si deux nombre sont inégaux, on peut faire moins. Donc le minimum est atteint quand tous les nombres sont égaux.

Je sais, ce n'est pas franchement "formel" mais dans ma tête, ça marche.

 #13 - 22-01-2017 08:25:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3258

Inéggalité cubes

En fait, ta démo marche bien pour 2 nombres seulement, mais pas forcément pour plus (la récurrence n'est pas aussi évidente que ça...). En revanche, si tu utilises la méthode que j'ai donnée, elle se généralise facilement à n nombres.

 #14 - 22-01-2017 12:17:21

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,717E+3

inégalité cunes

Moi, je trouve ça logique : si on trouve une solution minimale avec deux nombres différents parmi l'ensemble, elle n'est pas minimale.

Ca n'est peut-être pas très mathématique, mais c'est assez logique.

 

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