Tu dois fermer la balise après ta formule... et oublier les dolards
[TeX] $x^3+y^3+z^3\geq 1/9$[/TeX] sachant que $x,y,z$ sont trois réels positifs de somme $1$ ?

Ce qui donne :
$$x^3+y^3+z^3\geq 1/9$$

On peut dire que le cube d'un nombre augmente beaucoup plus vite que le nombre (en proportion)

Ici on est dans [0-1] donc c'est l'inverse, mais peu importe...

Si tu prends 3 nombres égaux, la somme de leurs cubes est 1/3 au cube x 3 soit 1/9.

Si tu diminues un des nombres, tu augmentes les autres d'autant. Par contre, le (ou les)  cube "augmenté" augmentera plus que les cubes "diminués" qu'on soit inférieur ou supérieur à 1.

Traditionnellement, on le traduit avec une dérivée, mais l'idée est là. On ne sera pas en dessous de 1/9.

Peut être plus simple...

On peut réécrire l'inéquation :

( 1/3 + a ) ^ 3 + ( 1/3 + b  ) ^ 3 + ( 1/3 + c ) ^ 3  -1/9 >= 0 avec a+b+c = 0 et a,b,c >= -1/3 (puisque x, y , z >= 0)

qui donne, après développement :

a² + b² + c² +  a^3 + b^3 + c^3  >= 0
a² ( 1 + a) + b² ( 1 + b ) + c² ( 1 + c) >= 0

Ce qui est vrai puisque chacun des 3 termes est >= 0

CQFD

De manière plus générale, une somme de cubes est minimale si les nombres positifs ou nuls sont tous égaux (à somme constante).

Par l'absurde : si deux nombres sont différents, on peut trouver plus petit en les moyennant car :

2 ((a+b)/2)^3 = a^3 +b^3 + 3/4 (a-b)(b-a)(b+a)  la fin étant toujours négative pour a et b distincts.

nodgim a écrit:

C'est quoi le 2 *( (a+b)/2) ^ 3 ?

C'est si on prend la moyenne des deux nombres (2 fois) à la place des  deux nombres.

Non, je trouve bien du a^3/4 mais je le transforme en a^3 -  (3a^3)/4.
Cela permet directement de comparer les deux résultats.

la moyenne au cube (2 fois )  VS les deux nombres au cube

OUI.

En gros : Si deux nombre sont inégaux, on peut faire moins. Donc le minimum est atteint quand tous les nombres sont égaux.

Je sais, ce n'est pas franchement "formel" mais dans ma tête, ça marche.

Moi, je trouve ça logique : si on trouve une solution minimale avec deux nombres différents parmi l'ensemble, elle n'est pas minimale.

Ca n'est peut-être pas très mathématique, mais c'est assez logique.