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 #1 - 01-06-2011 11:36:31

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Inégalit et diviseurs

Soit [latex]n\geq 3[/latex] et [latex]1=d_1<d_2<...<d_k=n[/latex] les diviseurs postifs de [latex]n[/latex].

Montrer alors que [latex]d_1d_2+d_2d_3+...+d_{k-1}d_k<n^2[/latex], autrement écrit :

[latex]\sum_{j=2}^{k}d_{j-1}d_j<n^2[/latex].

Bonnes recherches.



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 #2 - 01-06-2011 11:50:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

ibégalité et diviseurs

[TeX]d_k=n[/latex]. [latex]d_{k-1}[/latex] vaut au maximum [latex]\frac{n}{2}[/latex], [latex]d_{k-2}[/latex] vaut au maximum [latex]\frac{n}{3}[/latex], etc. Alors :

[latex]d_k d_{k-1} + d_{k-1} d_{k-2} + ... = \frac{n^2}{2} + \frac{n^2}{6} + \frac{n^2}{12} + ... = n^2 \left( \frac12 + \frac16 + \frac1{12} + ... \right)[/TeX]
Idéalement, la somme entre parenthèses tendrait vers 1 avec une infinité de termes, "mais comme k est fini, l'inégalité est stricte".

Mais pour l'instant, je n'ai aucune idée de comment prouver la valeur de cette somme lol



EDIT : Wolfram|Alpha confirme mon intuition.


Merci, mon chou, d'être aussi génial !


Et voici.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 01-06-2011 18:06:00

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

inégalité et doviseurs

humm j'ai trouvé trop rapidement, j'ai du me planter smile

puisque Dk est le plus grand des diviseurs,[latex]d_k\le\frac{n}{2}, d_{k-1}\le\frac{n}{3},..,d_1\le\frac{n}{k+1}[/latex]
on a donc
[TeX]\sum_{j=2}^k d_{j-1}d_j \le \sum_{j=2}^k \frac{n}{j} * \frac{n}{j+1}\le n^2 \sum_{j=2}^k \frac{1}{j^2}[/TeX]
or
[TeX]\sum_{j=2}^k \frac{1}{j^2}\lt\int_1^k \frac{1}{j^2} dj=1-\frac{1}{k}\lt 1[/TeX]
cqfd.

EDIT et effet j'avais inversé les indices de k->2 avec 2->k. le passage entre les 2 premières sommes reste bon, mais l'ordre est inversé (j=2 dans le premier correspond a j=k). mais bon, on peut inverser les indices wlog.

 #4 - 01-06-2011 18:31:40

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

inégalité et diviseurd

Une petite erreur pour Bamby qui n'a pas vu que les diviseurs étaient rangés dans l'ordre croissant.
Une petite correction et c'est bon.


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 #5 - 03-06-2011 14:17:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3137

Inéglité et diviseurs

On écrit la sommation en partant du plus grand au plus petit diviseur, en supposant tous les diviseurs possibles:
n*(n/2)+(n/2)*(n/3)+...=
n²(1/2+1/2*3+...1/(n-1)n).
Chacun des termes de droite vaut:
1/1*2=1/1-1/2
1/2*3=1/2-1/3
et par téléscopage au final: 1-1/n=(n-1)/n<1.

 #6 - 03-06-2011 14:20:09

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Inéaglité et diviseurs

Nodgim, des majorations plutôt que des égalités et c'est ok.


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 #7 - 03-06-2011 19:32:08

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Inégalitté et diviseurs

Elle me plait bien cette énigme.
Je me suis un peu creusé la tête et puis c'est quand je me suis couché que j'ai trouvé l'astuce qui m'a débloquée.
Ma démo est basée sur 3 "astuces" et j'espère qu'elle ne contient pas un trou énorme.

J'ai d'abord cherché une majoration directe sans rien trouver. Et puis je me suis dit que le produit de 2 diviseurs faisait drolement penser à n^2 et qu'avec les diviseurs au dénominateur j'y arriverais peut-être mieux.

Je pose [latex]S(n)=\sum_{j=1}^{k-1}d_j.d_{j+1}[/latex]

Astuce 1:
Puisque les diviseurs sont dans l'ordre croissant: [latex]d_i.d_{k+1-i}=n[/latex].
On a donc [latex]S(n)=\sum_{j=1}^{k-1^}\dfrac{n^2}{d_j.d_{j+1}}=n^2.\sum_{j=1}^{k-1^}\dfrac1{d_j.d_{j+1}}[/latex]

Astuce 2:
[TeX]\forall j, d_j \ge j[/TeX]
Donc: [latex]\forall j, \dfrac1{d_j.d_{j+1}} \le \dfrac1{j(j+1)}[/latex]

Donc [latex]S(n) \le n^2.\sum_{j=1}^{k-1^}\dfrac1{j.(j+1)}[/latex]

Astuce 3:
[TeX]\dfrac1{j(j+1)}=\dfrac1j-\dfrac1{j+1}[/TeX]
Astuce assez connue pour gérer ce genre de somme: tous les termes s'annulent deux à deux sauf le premier et le dernier:

Donc [latex]S(n) \le n^2(\dfrac11-\dfrac1k)[/latex]

Et donc: [latex]S(n) \lt n^2[/latex]

CQFD.
Merci pour cette énigme sympa.
Je suis assez curieux de voir les autres réponses car j'ai vraiment séché sur une démonstration plus calculatoire/arithmétique.

 #8 - 03-06-2011 19:55:43

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Inéalité et diviseurs

Rivas c'est la demo que j'avais en tête mais je veux bien en chercher une plus arithmétique.


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 #9 - 03-06-2011 20:01:36

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

inégalité et divisrurs

Bon ben alors, pas mieux. Il n'y a peut-être pas d'autre manière plus arithmétique smile

Je me demande quelle application on peut faire de ce résultat? As-tu une idée d'une application concrète?

 #10 - 03-06-2011 21:41:38

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Inégalité et diviseuurs

Rivas m'interroge sur une application "concrète".
Je vous propose d'en rechercher.
Merci.


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 #11 - 04-06-2011 21:13:15

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

inégalité et doviseurs

Bravo à tous.
J'avais au départ la même réponse que Rivas mais quand ce dernier à demander une résolution plus arithmétique, j'ai pensé à la chose suivante :

[latex]d_1<d_2<...<d_{n-1}[/latex] et
[latex]d_2<d_3<....<d_n[/latex] forment deux suites rangées dans le même sens d'inégalité. Donc par l'inégalité du réordonnement la somme des produits [latex]d_id_j[/latex] ,où [latex]d_i[/latex] représente un terme de la première suite et [latex]d_j[/latex] un terme de la deuxième suite, est maximale quand on fait [latex]d_1d_2+d_2d_3...[/latex].
Or on peut s'arranger pour que les produits vaillent n d'où une somme de (k-1).n mais il est évident que k-1<n , d'où la conclusion.

J'espère que vous aurez aimé cette preuve.tongue


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 #12 - 05-06-2011 00:29:15

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

inégaliré et diviseurs

J'ai aimé cette preuve smile

 #13 - 05-06-2011 08:14:30

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

inégzlité et diviseurs

La conclusion n'est en fait pas assurée!!!

On arrive à [latex]S\geq (k-1)n\geq n[/latex]

Une petite illusion!


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 #14 - 05-06-2011 11:04:22

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Inéalité et diviseurs

Illusion dans laquelle je suis tombé en effet smile
Mais l'idée me plaisait bien...

 #15 - 05-06-2011 15:40:06

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,661E+3

Inégaalité et diviseurs

Je ne pige pas toutes les explications, mais bon.
Je tentais de diviser par n^2 en considérant n comme un produit de facteurs premiers. Il s'agissait de prouver que la somme d1d2 + d2d3 ... +dk-1 dk  divisée par n^2 ne peut pas atteindre 1. Sauf que ça ne marche pas (enfin je n'y arrive pas).

 #16 - 05-06-2011 16:05:11

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Inéégalité et diviseurs

C'est une idée qui marche avec la même astuce.
[TeX]d_1d_2+d_2d_3+...[/latex] divisé par [latex]n^2[/latex] revient à

calculer[latex]\frac{1}{d_kd_{k-1}}+\frac{1}{d_{k-1}d_{k-2}}+...[/TeX]
or [latex]d_i\geq i[/latex] donc [latex]\frac{1}{d_id_{i+1}} \leq \frac{1}{i(i+1)}[/latex] maintenant [latex]\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}[/latex], quand tu fais la somme beaucoup de choses se simplifient, reste le premier terme moins le dernier soit [latex]1-\frac{1}{k}<1[/latex].

Voila.wink


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