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 #1 - 16-06-2011 15:37:31

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Puissaance de 2 et carrés (version dure)

Voici une version poussée de Puissance de 2 et carrés .

Montrer que toute puissance de 2 supérieure ou égale à 8 peut s'écrire :

[latex]2^n=7a^2+b^2[/latex] avec a et b impairs.

Bon courage.smile



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 #2 - 17-06-2011 19:13:25

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

puissance de 2 et carrés (cersion dure)

Oubliez si vous voulez la condition d'imparité.


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 #3 - 18-06-2011 00:22:20

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Puissance de 2 et carrés (versin dure)

Bonsoir,

Si on oublie la condition [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] impairs, ça devient  très simple.


Si [latex]2^n=7a^2+b^2[/latex], alors [latex]2^{(n+2)}=7(2a)^2+(2b)^2[/latex] par une simple multiplication par 4.

C'est un moteur de récurrence qui demande une double initialisation : [latex] n=3[/latex] et [latex]n=4[/latex] qui est acquise.
En effet, [latex] 2^3 = 7 \times 1^2 + 1^2[/latex] et [latex]2^4=7\times1^2+ 3^2[/latex].

Il est trop tard pour que je poursuive mes recherches sur le cas [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] impairs.

Thérèse

 #4 - 18-06-2011 06:17:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Puissance de 2 et caarrés (version dure)

En oubliant la condition de parité, le problème devient très simple :

Pour les puissances impaires de 2 :

2^n = 8 x 2^(n-3) = 7 x 2^(n-3) + 2^(n-3)   a=b = 2^[(n-3)/2]

Pour les puissances paires de 2 :

2^n = 16 x  2^(n-4) = 7 x 2^(n-4) + 9 x 2^(n-4)
a=2^[(n-4)/2]  et b= 3 x 2^[(n-4)/2]

Edit : ou même, encore plus simple  a=0 b=2^(n/2)

D'ailleurs, si a et b peuvent être pairs, cela marche dès 2^2 :

2^2 = 4  = 0 + 4 : a=0 b=2
2^3 = 8  = 7 + 1 : a=b=1
2^4 = 16 = 7 + 9  : a=1 b=3
2^5 = 32 = 28 + 4 : a=2 b=1
2^6 = 64 = 63 + 1 : a=3 b=1
2^7 = 128 = 28 + 100 : a=2 b=10

 #5 - 19-06-2011 11:07:07

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Puissance de 2 et crarés (version dure)

Montrer que toute puissance de 2 supérieure ou égale à 8 peut s'écrire :
avec a et b impairs.

Pourquoi ≥8 ?
Ça marche pour tout n≥3.

8=7x1²+1²
16=7x1²+3²
32=7x1²+5²
64=7x3²+1²
128=7x1²+11²

On a vu dans un problème précédent que

pour tout entier naturel n on peut trouver un nombre b tel que 7 divise
[latex]2^n-b^2[/latex]

Maintenant on se restreint à un quotient carré a², donc positif.

C'était esquissé dans la réponse de Mathias.

 #6 - 19-06-2011 11:28:06

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Puissacne de 2 et carrés (version dure)

halloduda quand je parle de la puissance de 2 supérieure à 8 c'est du nombre pas de l'exposant.

Pour l'imparité il faut considérer deux solutions formelles dont on sait qu'au moins l'un est un couple impair, j'avoue c'est dur. smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #7 - 20-06-2011 09:24:11

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Puissance de 2 et carrés (version duure)

Sans la condition d'imparité, c'est assez simple (p est un entier naturel)

Si n est impair, il vaut 2p+3. Dans ce cas a=b=2^p
En effet, 7.2^2p + 2^2p = 8.2^2p = 2^(2p+3)

Si n est impair, il vaut 2p+4. Dans ce cas, a=2^p et b=3.2^p
En effet, 7.2^2p + (3.2^p)^2 = 7.2^2p + 9.2^2^= 16.2^2p = 2^(2p+4)

 #8 - 20-06-2011 23:32:12

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Puissance de 2 et carés (version dure)

Soient [latex](a_n,b_n)[/latex] un couple de solutions impaires de [latex]7a_n^2+b_n=2^n[/latex]. Alors posons

[latex](A=\frac{a_n+b_n}{2},B=\frac{|7a_n-b_n|}{2})[/latex] et [latex](A=\frac{|a_n-b_n|}{2},B=\frac{7a_n+b_n}{2})[/latex] alors dans les deux cas

[latex]7A^2+B^2=2^{n+1}[/latex] et l'un des deux couples est impairs.

Je vous laisse vérifier les détails, n'hésitez pas à poser des questions. smile

Bravo à tous.


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 #9 - 21-06-2011 08:28:42

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Puissance de 2 te carrés (version dure)

Chapeau !

 

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