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 #1 - 16-06-2011 15:37:31

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

uPissance de 2 et carrés (version dure)

Voici une version poussée de Puissance de 2 et carrés .

Montrer que toute puissance de 2 supérieure ou égale à 8 peut s'écrire :

[latex]2^n=7a^2+b^2[/latex] avec a et b impairs.

Bon courage.smile


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 #2 - 17-06-2011 19:13:25

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

puissance de 2 et carrés (bersion dure)

Oubliez si vous voulez la condition d'imparité.


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 #3 - 18-06-2011 00:22:20

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 176

Puissance de 2 et carrés (versoin dure)

Bonsoir,

Si on oublie la condition [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] impairs, ça devient  très simple.


Si [latex]2^n=7a^2+b^2[/latex], alors [latex]2^{(n+2)}=7(2a)^2+(2b)^2[/latex] par une simple multiplication par 4.

C'est un moteur de récurrence qui demande une double initialisation : [latex] n=3[/latex] et [latex]n=4[/latex] qui est acquise.
En effet, [latex] 2^3 = 7 \times 1^2 + 1^2[/latex] et [latex]2^4=7\times1^2+ 3^2[/latex].

Il est trop tard pour que je poursuive mes recherches sur le cas [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] impairs.

Thérèse

 #4 - 18-06-2011 06:17:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,969E+3

puissance de 2 et carrés (verdion dure)

En oubliant la condition de parité, le problème devient très simple :

Pour les puissances impaires de 2 :

2^n = 8 x 2^(n-3) = 7 x 2^(n-3) + 2^(n-3)   a=b = 2^[(n-3)/2]

Pour les puissances paires de 2 :

2^n = 16 x  2^(n-4) = 7 x 2^(n-4) + 9 x 2^(n-4)
a=2^[(n-4)/2]  et b= 3 x 2^[(n-4)/2]

Edit : ou même, encore plus simple  a=0 b=2^(n/2)

D'ailleurs, si a et b peuvent être pairs, cela marche dès 2^2 :

2^2 = 4  = 0 + 4 : a=0 b=2
2^3 = 8  = 7 + 1 : a=b=1
2^4 = 16 = 7 + 9  : a=1 b=3
2^5 = 32 = 28 + 4 : a=2 b=1
2^6 = 64 = 63 + 1 : a=3 b=1
2^7 = 128 = 28 + 100 : a=2 b=10

 #5 - 19-06-2011 11:07:07

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 495
Lieu: Ardèche

Puissance de 2 et carrés (versiion dure)

Montrer que toute puissance de 2 supérieure ou égale à 8 peut s'écrire :
avec a et b impairs.

Pourquoi ≥8 ?
Ça marche pour tout n≥3.

8=7x1²+1²
16=7x1²+3²
32=7x1²+5²
64=7x3²+1²
128=7x1²+11²

On a vu dans un problème précédent que

pour tout entier naturel n on peut trouver un nombre b tel que 7 divise
[latex]2^n-b^2[/latex]

Maintenant on se restreint à un quotient carré a², donc positif.

C'était esquissé dans la réponse de Mathias.

 #6 - 19-06-2011 11:28:06

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

puissance de 2 et xarrés (version dure)

halloduda quand je parle de la puissance de 2 supérieure à 8 c'est du nombre pas de l'exposant.

Pour l'imparité il faut considérer deux solutions formelles dont on sait qu'au moins l'un est un couple impair, j'avoue c'est dur. smile


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 #7 - 20-06-2011 09:24:11

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1960

uPissance de 2 et carrés (version dure)

Sans la condition d'imparité, c'est assez simple (p est un entier naturel)

Si n est impair, il vaut 2p+3. Dans ce cas a=b=2^p
En effet, 7.2^2p + 2^2p = 8.2^2p = 2^(2p+3)

Si n est impair, il vaut 2p+4. Dans ce cas, a=2^p et b=3.2^p
En effet, 7.2^2p + (3.2^p)^2 = 7.2^2p + 9.2^2^= 16.2^2p = 2^(2p+4)

 #8 - 20-06-2011 23:32:12

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Puissance de 2 et carrés (versio ndure)

Soient [latex](a_n,b_n)[/latex] un couple de solutions impaires de [latex]7a_n^2+b_n=2^n[/latex]. Alors posons

[latex](A=\frac{a_n+b_n}{2},B=\frac{|7a_n-b_n|}{2})[/latex] et [latex](A=\frac{|a_n-b_n|}{2},B=\frac{7a_n+b_n}{2})[/latex] alors dans les deux cas

[latex]7A^2+B^2=2^{n+1}[/latex] et l'un des deux couples est impairs.

Je vous laisse vérifier les détails, n'hésitez pas à poser des questions. smile

Bravo à tous.


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 #9 - 21-06-2011 08:28:42

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1960

Puissance de 2 et carrs (version dure)

Chapeau !

 

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