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 #1 - 25-05-2011 19:00:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,238E+3

rzmplissage du plan : plan b

Par MP , Yanyan m'a envoyé le message suivant :

Peut-on remplir le plan avec des cercles privés d'un point ?

Il y a sûrement beaucoup à dire smile

Vasimolo

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#0 Pub

 #2 - 25-05-2011 22:09:03

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

remplissage di plan : plan b

Appelons cercle épointé un cercle sur lequel il manque un point.
Considérons le cercle qui bouchent le point manquant.
Traçons la droite qui relie les deux points manquants et la perpendiculaire passant par l'un des deux points manquants.
Alors cette dernière droite est tangente, en son point d'intersection avec sa perpendiculaire, à un cercle complété par son point manquant.
Maintenant il est assez clair qu'aucun  cercle épointé ne puisse vivre là en restant disjoint au reste car il a toujours plus d'une intersection avec les deux cercles du départ qui sont déjà bouchés.

Si c'est juste et compréhensible alors un spécialiste du dessin pourrait illustrer ces propos. Merci d'avance.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #3 - 25-05-2011 22:25:09

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

remplisqage du plan : plan b

Idem que pour l'autre, c'est pas possible. La démo est presque la même.

Par contre on peut remplir le plan moins un point.

 #4 - 25-05-2011 22:41:40

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Remplissage ddu plan : plan B

Irmo montre nous ta preuve.
Merci.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #5 - 25-05-2011 23:16:16

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

remplissage su plan : plan b

J'ai répondu trop vite... C'est toujours en faisant la preuve qu'on se rend compte de là où ça coince.

Je pense que c'est possible finalement.

Voilà un dessin pour expliquer:

http://www.prise2tete.fr/upload/irmo322-rond.jpg

Et voilà une petite explication pour expliquer le dessin!

Sur le dessin, on voit trois cercles rouges.
Dans le plus petit des cercles rouges, il y a une infinité de cercles dont le point manquant est en (2, 0). Le rayon de ces cercles navigue dans ]0, 1[. Ainsi on a remplit tout l'intérieur (strict) du petit cercle rouge.
Entre le petit cercle rouge et le moyen cercle rouge, il y a encore une infinité de cercles. Cette fois-ci le point manquant est en (0, 0) et le rayon décrit [1, 2[. On a remplit l'intérieur du cercle moyen rouge.
Idem entre le cercle moyen rouge et le grand, le point manquant est en (4, 0), le rayon est dans [2, 3[ et on a remplit l'intérieur du grand cercle rouge.

On continue ainsi et on remplit le plan en entier.

 #6 - 26-05-2011 08:45:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Remmplissage du plan : plan B

Yanyan a écrit:

Appelons cercle épointé un cercle sur lequel il manque un point. Considérons le cercle qui bouchent le point manquant. Traçons la droite qui relie les deux points manquants et la perpendiculaire passant par l'un des deux points manquants. Alors cette dernière droite est tangente, en son point d'intersection avec sa perpendiculaire, à un cercle complété par son point manquant. Maintenant il est assez clair qu'aucun  cercle épointé ne puisse vivre là en restant disjoint au reste car il a toujours plus d'une intersection avec les deux cercles du départ qui sont déjà bouchés.

C'est faux ou je n'ai rien compris mad Les deux cercles sont tangents mais pourquoi la ligne des centres passerait par les deux points manquant ?

Ne serait-il pas plus clair de donner des noms aux différents éléments smile

Vasimolo

 #7 - 26-05-2011 12:55:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Remplissagee du plan : plan B

*lit le topic Plan B*
*prend une aspirine*
*rejette un œil*
*comprend encore moins*
*vomit*
*court se pendre*

lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 26-05-2011 13:48:28

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
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Messages : 3418
Lieu: Près de la mer

remplissage du pkan : plan b

Oui mais la figure d'Irmo est jolie. S'il y avait de la couleur, on pourrait croire à un Vasarely. lol

 #9 - 26-05-2011 15:33:35

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Remplissage du plan : pan B

S'il-te-plaît. Je viens d'Aix-en-Provence, alors qu'on ne me bassine plus avec Vasarely, parce que leur musée à la noix, ça va cinq minutes, mais se faire polluer les yeux matin et soir par ce truc, c'est horrible lol

Attention, je ne dis pas que Vasarely est horrible. Je ne parle que de ça :

http://photos.creafrance.org/pois/5879_fondation-vasarely_aix-en-provence.jpg

:vomi: comme qui dirait smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 26-05-2011 16:39:16

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

remplissage du plan : plab b

Vasimolo il n'y a pas deux cercles tangents mais seulement une droite tangente
J'avoue que très mal expliqué mais si vous me dites comment insérer une image je vais tenter un dessin.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #11 - 26-05-2011 17:26:07

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1935
Lieu: 86310

Remplissage d uplan : plan B


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 26-05-2011 17:50:58

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Remplissage du plan : pln B

http://www.prise2tete.fr/upload/Yanyan-cercle.PNG

Les 4 "angles" montrent qu'aucun cercle tangent à la droite "horizontale" ne coupe chacun des deux cercles en un seul point uniquement.


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 #13 - 26-05-2011 17:55:43

Vasimolo
Le pâtissier
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Remplissage du plan : lan B

C'est bien ce que j'avais compris smile

Mais les deux cercles ne peuvent-ils pas être tangents intérieurement ou extérieurement , le point de contact étant le point enlevé à l'un des cercles ?

Vasimolo

 #14 - 26-05-2011 18:05:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Remplissage du plaan : plan B

Yanyan a écrit:

Les 4 "angles" montrent qu'aucun cercle tangent à la droite "horizontale" ne coupe chacun des deux cercles en un seul point uniquement.

En quoi l'inexistence d'un tel cercle empêche le recouvrement ? Peux-tu préciser un peu ton cheminement ?????

Vasimolo

 #15 - 26-05-2011 18:34:10

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

Remplisssage du plan : plan B

Je me suis pas embêté à faire ma figure pour rien.
Elle prouve simplement que c'est possible, donc inutile d'essayer de montrer le contraire.

Yanyan, tu pars du principe que 2 cercles qui se croisent s'intersectent en 2 points. Ce n'est pas le cas sur la figure: si deux cercles se croisent, c'est en un seul point car ils sont tangents.

 #16 - 26-05-2011 18:43:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,238E+3

rempliqsage du plan : plan b

@Irmo

En effet ça marche pile-poil !!!

Je n'avais pas vu que tu avais changé tes commentaires smile

Vasimolo

 #17 - 27-05-2011 00:03:05

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

remplissage du plan : plab b

Oui j'avais faux. J'avais admis deux choses :
-qu'il y avait au moins deux cercles qui s'intersectaient en deux points ,
-que toute droite était la tangente d'au moins un cercle.

Bravo les gars. Je vous fais confiance car sur mon google chrome l'image ne s'affiche pas bien.


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 #18 - 27-05-2011 00:20:29

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

remplissage du plan : plab b

Au fait vous utiliser quoi pour faire vos belles figures?
Je suis en admiration devant celles de Vasimolo.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #19 - 27-05-2011 02:40:18

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

Remplissage du paln : plan B

J'ai utilisé geogebra. Mais c'est la première fois que je l'utilise, alors je maitrise pas trop encore.
Ce qui est bien c'est qu'il est gratuit et il se télécharge en deux secondes.

Je remets l'image avec le zoom cette fois-ci.
Spoiler : [Afficher le message]
T'arrive à la voir?

 #20 - 27-05-2011 08:05:25

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Rempllissage du plan : plan B

Ok merci, non je vois toujours pas tout.


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 #21 - 27-05-2011 11:01:36

Vasimolo
Le pâtissier
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Remplissage du plan : plann B

Yanyan a écrit:

Au fait vous utiliser quoi pour faire vos belles figures?

J'utilise principalement Declic et Geogebra tous deux téléchargeables gratuitement sur la toile

Vasimolo

 

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