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 #1 - 02-02-2011 17:56:58

Hamilkar
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 10

Le plaan colorié

Un plan, donc infini, est colorié en deux couleurs d'une manière quelconque,
c'est à dire qu'on sait seulement ceci : n'importe quel point du plan est colorié
d'une couleur ou de l'autre.
Prouvez qu'il existe deux points situés à exactement un kilomètre de distance, qui sont de la même couleur.



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#0 Pub

 #2 - 02-02-2011 17:59:38

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Le paln colorié

Je vois bien une démonstration par l'absurde.

 #3 - 02-02-2011 18:00:27

Hamilkar
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 10

Lee plan colorié

J'y ai pensé aussi.

 #4 - 02-02-2011 18:22:05

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

le plan cilorié

Ben si on prend un triangle équilatéral de côté 1km, on aura forcément deux sommets qui pointent deux endroits de couleur identique !
CQFD


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #5 - 02-02-2011 18:26:22

Hamilkar
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 10

le plab colorié

Il n'est pas dit de quelle manière est repartie la couleur, le triangle peut avoir
un sommet vert et un autre bleu par exemple.
"N'importe quel point peut être d'une couleur ou d'une autre".

 #6 - 02-02-2011 18:31:21

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

le plan colorué

Et le 3e point il est de quelle couleur ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 02-02-2011 18:38:43

Hamilkar
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 10

L plan colorié

Effectivement j'ai du sauter un truc de mon énoncé là big_smile

 #8 - 02-02-2011 19:04:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

L plan colorié

C'est plus amusant avec trois couleurs smile

Vasimolo

 #9 - 02-02-2011 19:14:21

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Le plan coloorié

Je te reconnais bien là lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #10 - 02-02-2011 19:35:35

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

le plan colirié

En posant des triangles équilatéraux à l'infini (en formant des hexagones), on peut toujours avoir les trois sommets de tous les triangles de couleurs différentes.
Aussi, je serais tenté de dire qu'il est possible, avec un plan de trois couleurs, qu'on ne puisse jamais trouver deux points distants d'un kilomètre qui soient de la même couleur.

Ton avis Vasimolo ?


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #11 - 02-02-2011 19:45:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le plann colorié

Pas d'accord tongue

Fais tourner ton réseau autour d'un des points tongue

Il me semble avoir déjà vu ce problème sur le site  !!!

Vasimolo

 #12 - 02-02-2011 19:47:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

le pkan colorié

Moi, en tout cas, je me galère sur ce problème sans rien trouver, ni dans un sens, ni dans l'autre -_-'

@Vasimolo : je ne vois pas ce que tu veux dire... Je suis un peu con, je crois.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 02-02-2011 19:59:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le pla colorié

Il n'y a pas de cons ici ( sauf moi peut-être lol)

Ce n'est pas trop difficile mais je détaillerais si personne ne trouve ( ce que je ne peux pas croire smile )

Vasimolo

 #14 - 02-02-2011 21:08:29

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Le plan cloorié

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-three_colours.png
cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #15 - 02-02-2011 21:12:23

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le plan coolrié

Euh... Tu plaisantes, la ? lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #16 - 02-02-2011 21:13:26

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Le pllan colorié

Je crains que tes triangles ne soient pas équilatéraux...
Avec des triangles équilatéraux, on forme un hexagone, et non un pentagone. wink


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #17 - 02-02-2011 21:18:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le plan coloré

C'est pour ça que je me suis dit que c'était forcément une blague smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #18 - 02-02-2011 21:21:28

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Le pplan colorié

Venant de toi, je ne m'étais pas posé la question ^^
Faudrait que tu soies sacrément bourré pour ne pas le remarquer !


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #19 - 02-02-2011 22:52:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le pllan colorié

Un dessin qui devrait m'éviter de longues explications  .

http://img826.imageshack.us/img826/5060/troiscouleurs.jpg

Vasimolo

 #20 - 03-02-2011 00:26:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

me plan colorié

@Gasole : tous les points de ton premier cercle ne sont pas forcément de la même couleur, donc ta démo est fausse, je pense...

@Vasimolo : OK, en lisant ton schéma de droite a gauche, j'ai compris l'astuce. Joli smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #21 - 03-02-2011 01:13:57

Azdod
Expert de Prise2Tete
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Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

le plan colorué

Vasimolo; peux tu expliquer ton dessin svp smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #22 - 03-02-2011 08:47:37

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

le plan volorié

supposons l’hypothèse H1 aucun point distant de 1km ne soit de la même couleur.

soit O un point rouge, tous les points M situés sur la circonférence du cercle C centré en O de rayon 1 km sont donc bleus.

deux points M1,M2 sur cette circonférences tq M1M2=1km. Ces deux points sont bleus, donc H1 est faux

 #23 - 03-02-2011 09:19:59

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Le pplan colorié

@mathias : j'ai supprimé mon post, j'avais pas compris que la question s'était déplacée sur un problème à 3 couleurs...

Supposons par l'absurde que 3 couleurs suffisent pour colorer le plan de telle façon que n'importe quels deux points distants de 1 soient toujours de couleur différente.

Soient A et B, deux points distants de [latex]\sqrt 3[/latex], C le milieu de (AB).
On trace la médiane à (AB) et sur cette médiane, on considère le segment (DE) de longueur 1 et de centre C.

Pythagore nous assure que les triangles (A,D,E) et (B,D,E) sont équilatéraux et de côté 1. Forcément A et B doivent être de la même couleur.

Conclusion intermédiaire : puisque A et B étaient quelconques, deux points distants de [latex]\sqrt 3[/latex] sont de la même couleur.

Soit maintenant, un cercle de centre A et de rayon [latex]\sqrt 3[/latex], tous les points de ce cercle sont donc de la même couleur que A, or sur cette circonférence, on peut en trouver deux (F et H) distants entre eux de 1. Contradiction.

En image :

http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-3Couleurs.jpg

PS : hemm je crois que c'est la même chose que vasimolo big_smile

 #24 - 03-02-2011 12:53:02

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

le plan colirié

Puisque pour avoir, dans un plan, 2 points quelconques distants de 1 qui soient toujours de couleurs differentes, ni 2, ni 3 couleurs ne suffisent, alors combien faut-il de couleurs au minimum?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #25 - 03-02-2011 13:02:26

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le plan clorié

C'est bizarre, je m'attendais a ce que quelqu'un la pose, celle-ci lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

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