Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 25-12-2014 17:50:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

La réparttiion des puissances

Bonjour à tous,
L'ensemble des puissances d'entiers (les puissances de 2,3,...sauf 10) est il également représenté par leur 1er chiffre à gauche ? Autement dit, y en a t'il autant qui commencent par 1, 2 ou 9 ?
Intuitivement je dirais oui, mais l'intuition....
Et vous, qu'en pensez vous ?



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 25-12-2014 19:15:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

La répartition des puissance

Ben oui , il y a en une infinité dénombrable pour chaque premier chiffre smile

Vasimolo

 #3 - 25-12-2014 20:08:37

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

La répatition des puissances

Je pense au contraire que non.

De 1 à 10 déja : (enfin, on va dire de 2 à 9)
Sur les grands chiffres,  on a un cycle (aux retenues près voisin d'une répartition régulière )

9->8->7->6 ....

Mais sur les petits chiffres comme 2, on voit que les petits chiffres sont favorisés.
1 ou 2 reviennent à chaque cycle, suivi de 2 ou 4 (avec les retenues 3,4 et 5 )
contrairement à 6 7 8 9 qui ne reviennent que peu souvent.

Cela doit se tasser un peu mais jamais être égal. puisque le même phénomène sera reproduit de 10 à 30 , de 100 à 300 ...

Ca fait un peu penser à la curiosité de la loi de Benford.

 #4 - 25-12-2014 20:40:34

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2709
Lieu: Luxembourg

La répartition des puissancees

Intuitivement, je dirais que ça suit la fameuse loi de Benford: f = log10 (1+1/d) ... mais l'intuition est souvent dangereuse en maths.

 #5 - 26-12-2014 07:30:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

La répartition des puissanecs

@Vasimolo: l'infini n'empêche pas un partage en 9 catégories.
@Gwen et Francky: Une intuition peut s'avérer fausse ou confirmée après une série de vérifications. Elle ne deviendra avérée que quand on l'aura prouvée....

 #6 - 28-12-2014 16:05:31

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

La répartition des puissnaces

Bonjour,
Existe-t-il une raison mathématique pour que l'on trouve plus de 1 que de 2 que de 3 etc?
Le passage de base 10 en base 9 des 10^n est édifiant...roll

 #7 - 28-12-2014 16:41:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

la répartition des puissanves

Intéressant. Si tu pouvais développer un peu...
Sinon, oui, il y a une très bonne raison mathématique pour justifier les constats que l'on peut faire sur la répartition.

 #8 - 28-12-2014 19:14:39

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

La répartition des puisances

A mon avis, regarder une table de multiplication suffit, même s'il faudrait tenir compte des retenues possibles. si c'est réparti équitablement à un rang, ça ne peut pas l'être. lol et encore, j'ai laissé un 5 en orange par erreur.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-tablemult.png

 #9 - 28-12-2014 21:25:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

la répartition des ouissances

Princeleroi,
Ce serait mieux que tu ouvres un nouveau sujet pour ton énigme, la mienne n'a pas encore reçu de réponse, ça va un peu polluer le débat.
Merci d'avance.

 #10 - 29-12-2014 17:50:28

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

La réparttition des puissances

Répartition du 1er chiffre à gauche des puissances des entiers.
L'ensemble des puissances d'un nombre différent de 10 a comme premier chiffre à gauche une valeur variable de 1 à 9 dont on va s'efforcer de mesurer la répartition.

Pour cela, on commence par démontrer que, quel que soit le nombre n et ses puissances, il existe un p tel que n^p=(1+e)*1000...., e aussi petit que l'on veut.

n>1 et il existe n/10^q <1. On pose que n est une borne sup et n/10^q une borne inf. 
On fait le produit des 2 bornes: il est encadré par ses bornes.   
Si le produit >1, on change la borne sup par ce produit. Si le produit <1, on change la borne inf par ce produit.
On refait alors le produit des 2 bornes. 
En renouvelant cette opération autant de fois que nécessaire, on obtiendra ce qu'on voulait: (1+e)*1000...=n^p, e aussi petit que l'on veut.
(En pratique, il faut e < 1/9 pour être sûr d'avoir tous les chiffres représentés au moins une fois. Mais plus e sera petit, plus le décompte sera précis).   

L'utilisation de (1+e)*1000....= n^p à la place de n permet d'ordonner et de grouper les différentes valeurs du 1er chiffre des puissances, ce qui permet leur calcul direct.
1, 1+e, (1+e)², (1+e) ^ 3, ....au lieu de 1,n,n²,...dont le 1er chiffre est aléatoire.

Elle nous permet de tester un échantillon complet ordonné pour les valeurs du 1er chiffre des puissances allant de 1 à 9.
La taille de cet échantillon est telle que (1+e)^p'=10 (on n'arrive pas tout à fait à la valeur exacte 10, mais on peut l'approcher autant qu'on veut).
p' ln(1+e)=ln10
p'=ln10/ln(1+e)
Les valeurs testées entre la puissance 0 de n et la puissance p' de n sont, pour le 1er échantillon:
1,1+e,(1+e)²,....(1+e)^p'
Pour le second échantillon (puissance 1 à p'+1):
n,n(1+e),n(1+e)²....n(1+e)^p'
Pour le 3ème (puissance 2 à p'+2):
n², n²(1+e), n²(1+e)², ...n²(1+e)^p'
Pour le dernier (puissance p-1 à p'+p-1):
n^(p-1), n^(p-1)(1+e), n^(p-1)(1+e²)...n^(p-1)(1+e)^p'.

Dans le 1er échantillon, calculons séparément le nombre de puissances qui commencent par 1, 2 , 3...
(1+e)^p1=2
p1 ln(1+e) = ln2
p1 = ln2/ln(1+e). p1 est le nombre de puissances qui commencent par 1.

Quand on a atteint 2, pour aller jusqu'à 3:
2(1+e)^p2=3
p2=ln(3/2)/ln(1+e)

et ainsi de suite jusqu'à p9.


Si on fait la somme de p1 à p9, par téléscopage, on trouve ln10/ln(1+e)
Si on calcule la valeur de chaque cardinal par rapport au total, on aboutit à un rapport indépendant de 1+e
Pour 1: ln2/ln10
Pour 2: ln(3/2)/ln10
etc...

Cela signifie que, quel soit le nombre n de départ, la répartition sera toujours identique.

Cette répartition suit la loi de Benford, dont on peut rappeler les valeurs approximatives:
pour le 1: 30,10%
pour le 2: 17,61%
pour le 3: 12,49%
pour le 4: 09,69%
pour le 5: 07,92%
pour le 6: 06,69%
pour le 7: 05,79%
pour le 8: 05,12%
pour le 9: 04,58%

Il n'est pas difficile de comprendre que pour les p-1 autres échantillons, on aura la même répartition. La seule différence est qu'on ne démarre plus à 1, mais à un chiffre quelconque, et qu'on termine sur ce chiffre (pour le décompte de ce chiffre, ajouter aux nombres du début ceux de la fin).

 #11 - 29-12-2014 18:02:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

La répartiiton des puissances

Je vous ai envoyé ma solution. Elle repose sur une idée simple au final. Si des points vous semblent obscurs, n'hésitez pas à demander.

 #12 - 29-12-2014 22:50:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

la répartitiob des puissances

J'aurai du mal à te dire si ton raisonnement est juste, mais pour l'instant je n'y vois pas de problème, ta solution est potentiellement juste dans le sens ou elle respecte la loi de Benford dont voici un super article ici smile

En revanche le seul petit défaut à ta preuve c'est d'avoir utilisé la lettre e, étant donné que ça fait penser à l'exponentielle tout ça tout ça quoi.. voilà c'est tout j'arrête de faire mon casse bonbons big_smile

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 30-12-2014 09:37:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

la répzrtition des puissances

Shadok, merci pour le bon article.
J'aurais pu faire une réponse beaucoup plus courte sur cette question:

Les puissances d'un nombre font partie d'une suite géométrique. Sur une règle graduée logarithmiquement, les valeurs successives des puissances sont donc placées à intervalle constant. Il y a donc plus de valeurs sur le 1 que sur le 2, sur le 2 que sur le 3, etc....

En revanche, pour les suites arithmétiques par exemple, on a bien une répartition équitable des 1ers chiffres.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Dans une course, vous doublez le 31ème, en quelle position êtes-vous ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
07-09-2010 Enigmes Mathématiques
12-12-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Puissances de 5 par dhrm77
28-06-2009 Enigmes Mathématiques
29-05-2011 Enigmes Mathématiques
16-09-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Puissances de 2 par Vasimolo
27-09-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
Puissances de 4 par dhrm77
28-06-2009 Enigmes Mathématiques
P2T
Puissances à gogo par titoufred
14-08-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Puissances de 3 par dhrm77
26-06-2009 Enigmes Mathématiques

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete