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Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 14-08-2013 13:22:55

titoufred
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Puissnaces à gogo

On considère le nombre [latex]2013^{2013^{\dots^{2013}}}[/latex] où il y a 2013 élévations à la puissance.

Quel est le chiffre des unités de ce nombre ?


Pour lever toute ambigüité :
Si [latex]u_0=2013[/latex] et [latex]u_{k+1}=2013^{u_k}[/latex], le nombre qui nous intéresse est [latex]u_{2013}[/latex].


Si vous avez réussi à trouver, vous pouvez réfléchir à une généralisation du résultat, où 2013 est remplacé par un entier naturel [latex]n[/latex] quelconque.



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 #2 - 14-08-2013 18:21:30

rivas
Elite de Prise2Tete
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puidsances à gogo

Intéressant:

2013 est congru à 3 modulo 10.
Les puissances de 3 modulo 10 forment un cycle de longueur 4: 1 -> 3 -> 9 -> 7 -> 1

Donc 2013^2013 est congru à 3^1 modulo 10 (puisque 2013 = 4k+1).
Donc u1 = 3 modulo 10.

EDIT: Ceci est faux, voir plus bas une meilleure version...
u2 = u1^2013 = u1^1 = 3 modulo 10

Donc tous les un sont congrus à 3 modulo 10.

Le dernier chiffre est donc 3.

Je connaissais une question semblable avec on fait la somme des chiffres de u2013 puis la somme des chiffres du résultat, ... jusqu'à n'obtenir qu'un seul chiffre, quel est-il?

Merci.

 #3 - 14-08-2013 19:38:41

titoufred
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puisqances à gogo

rivas, tu es bien parti mais le résultat n'est pas bon.

 #4 - 14-08-2013 19:56:41

rivas
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puissanves à gogo

En effet smile Merci pour le message. J'ai corrigé ci-dessus.
Je l'avais fait un peu trop vite...

 #5 - 14-08-2013 20:45:34

titoufred
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puissanczs à gogo

Tu écris [latex]u_{k+1}={u_k}^{2013}[/latex] mais en fait c'est [latex]u_{k+1}=2013^{u_k}[/latex].

Du coup, ton raisonnement tombe à l'eau.

 #6 - 14-08-2013 20:52:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Puissances à goggo

On ressort les congruences ! Dernier chiffre de n^{2013} en fonction du dernier chiffre de n (quand rien n'est précisé, c'est que toutes les puissances de [latex]n[/latex] se terminent par le même chiffre)

0  0
1  1
2  2 (car [latex]2^{4n+1}[/latex] se termine par un 2)
3  3 (car [latex]3^{4n}[/latex] se termine par un 1)
4  4 (car [latex]4^{2n+1}[/latex] se termine par un 4)
5  5
6  6
7  7 (car [latex]7^{4n}[/latex] se termine par un 1)
8  8 (car [latex]8^{4n+1}[/latex] se termine par un 8)
9  9 (car [latex]9^{2n}[/latex] se termine par un 1)

L'élévation à la puissance 2013 conserve le dernier chiffre. Cette propriété est due au fait que 2013 est de la forme [latex]4n+1[/latex].

Or un nombre de la forme [latex]4n+1[/latex] élevé à n'importe quelle puissance entière positive restera de la forme [latex]4n+1[/latex]. Par conséquent, [latex]2013^{2013}[/latex] se termine par un 3 et est de la forme [latex]4n+1[/latex], donc [latex]2013^{2013^{2013}}[/latex] est lui aussi de la forme [latex]4n+1[/latex] et se finit par un 3, etc.


Pour la généralisation, je sèche un peu plus. Le résultat ci-dessus sera valide pour tout nombre congru à 1 modulo 4, mais pour les autres, plein de points d'interrogation...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 14-08-2013 22:00:31

cogito
Expert de Prise2Tete
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Puissances à ggogo

Souvent j'utiliserais le fait que deux nombres qui sont congrus modulo 10 ont le même chiffre des unités.

Appelons un cycle unité, le cycle des chiffres des unité obtenu en multipliant successivement un nombre par lui même.

Soit n un entier.

Si n se termine par un 0 alors le cycle unité de n est {0}.
Si n se termine par un 1 alors le cycle unité de n est {1}.
Si n se termine par un 2 alors le cycle unité de n est {2,4,8,6}.
Si n se termine par un 3 alors le cycle unité de n est {3,9,7,1}.
Si n se termine par un 4 alors le cycle unité de n est {4,6}.
Si n se termine par un 5 alors le cycle unité de n est {5}.
Si n se termine par un 6 alors le cycle unité de n est {6}.
Si n se termine par un 7 alors le cycle unité de n est {7,9,3,1}.
Si n se termine par un 8 alors le cycle unité de n est {8,4,2,6}.
Si n se termine par un 9 alors le cycle unité de n est {9,1}.

Donc si n se termine par 0, 1, 5 ou 6 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est respectivement 0,1,5 ou 6.

Si n se termine par 2 alors:
    Le cycle unité nous indique que :
[TeX]2^{4k}\equiv 6 [10][/TeX]
[TeX]2^{4k+1}\equiv 2 [10][/TeX]
[TeX]2^{4k+2}\equiv 4 [10][/TeX]
[TeX]2^{4k+3}\equiv 8 [10][/TeX]
    Donc nous avons deux cas (car comme n se termine par un 2 alors n est pair) :
     -cas 1 : n = 4 * k, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 6.
     Donc tous les autres éléments de la suite se terminerons par un 6.
     -cas 2 : n = 4 * k + 2, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 4.
     comme n est pair alors d'après le cycle unité de 4, [latex]u_2[/latex]
     se termine par un 6, et donc tous les autres éléments de la suite se terminent par
     un 6.
Ainsi dans tous les cas nous avons [latex]u_n[/latex] qui se termine par un 6.

Si n se termine par un 3 alors:
[TeX]3^{4k}\equiv 1 [10][/TeX]
[TeX]3^{4k+1}\equiv 3 [10][/TeX]
[TeX]3^{4k+2}\equiv 9 [10][/TeX]
[TeX]3^{4k+3}\equiv 7 [10][/TeX]
    Donc nous avons deux cas (car comme n se termine par un 3 alors n est impair) :
     -cas 1 : n = 4 * k + 1, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 3.
     Donc tous les autres éléments de la suite se terminerons par un 3.
     -cas 2 : n = 4 * k + 3, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 7.
     comme n est de la forme 4 * k + 3 alors d'après le cycle unité de 7, [latex]u_2[/latex] se termine
     par un 3. En continuant ainsi, on aura les termes pairs de la suite qui se
     terminerons par un 3 et les termes impairs qui se terminerons par un 7 et donc
     comme n est impair, [latex]u_n[/latex] se termine par un 7.

Si n se termine par un 4 alors :
[TeX]4^{2k}\equiv 6 [10][/TeX]
[TeX]4^{2k+1}\equiv 4 [10][/TeX]
    Comme n se termine par un 4 alors n est pair, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 6, donc
     tous les autres termes de la suite se terminerons par un 6.

Si n se termine par un 7 alors :
[TeX]7^{4k}\equiv 1 [10][/TeX]
[TeX]7^{4k+1}\equiv 7 [10][/TeX]
[TeX]7^{4k+2}\equiv 9 [10][/TeX]
[TeX]7^{4k+3}\equiv 3 [10][/TeX]
    Donc nous avons deux cas (car comme n se termine par un 7 alors n est impair) :
     -cas 1 : n = 4 * k + 1, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 7.
     Donc tous les autres éléments de la suite se terminerons par un 7.
     -cas 2 : n = 4 * k + 3, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 3.
     comme n est de la forme 4 * k + 3 alors d'après le cycle unité de 3, [latex]u_2[/latex] se termine
     par un 7. En continuant ainsi, on aura les termes pairs de la suite qui se 
     terminerons par un 7 et les termes impairs qui se terminerons par un 3 et donc
     comme n est impair, [latex]u_n[/latex] se termine par un 3.

Si n se termine par un 8 alors :
[TeX]8^{4k}\equiv 6 [10][/TeX]
[TeX]8^{4k+1}\equiv 8 [10][/TeX]
[TeX]8^{4k+2}\equiv 4 [10][/TeX]
[TeX]8^{4k+3}\equiv 2 [10][/TeX]
    Donc nous avons deux cas (car comme n se termine par un 8 alors n est pair) :
     -cas 1 : n = 4 * k, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 6.
     Donc tous les autres éléments de la suite se terminerons par un 6.
     -cas 2 : n = 4 * k + 2, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 4.
     comme n est pair alors d'après le cycle unité de 4, [latex]u_2[/latex]
     se termine par un 6, et donc tous les éléments de la suite se terminent par un 6.
Ainsi dans tous les cas nous avons[latex]u_n[/latex] qui se termine par un 6.

Si n se termine par un 9 alors :
[TeX]9^{2k}\equiv 1 [10][/TeX]
[TeX]9^{2k+1}\equiv 9 [10][/TeX]
    Comme n se termine par un 9 alors n est impair, et donc [latex]u_1[/latex] se termine par un 9,
     donc tous les autres termes de la suite se terminerons par un 9.

Donc pour résumé :

Si n se termine par un 0 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 0.
Si n se termine par un 1 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 1.
Si n se termine par un 2 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 6.
Si n se termine par un 3 alors
     -si n = 4k + 1 le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 3.
     -si n = 4k + 3 le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 7.
Si n se termine par un 4 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 6.
Si n se termine par un 5 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 5.
Si n se termine par un 6 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 6.
Si n se termine par un 7 alors
     -si n = 4k + 1 le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 7.
     -si n = 4k + 3 le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 3.
Si n se termine par un 8 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 6.
Si n se termine par un 9 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 9.

Dans nôtre cas, 2013 se termine par un 3 et 2013 = 4 * 503 + 1 donc le chiffre des unités de [latex]u_{2013}[/latex] est 3.

Remarque pour tous les n pairs ne se terminant pas par 0, le résultat est 6.

Pffiiooouuu ! il y a sûrement plus élégant smile


Edit : Arrrgghhh ! je crois que j'ai fait la même erreur que rivas !
"j'y retourne immédiatement." wink


Il y a sûrement plus simple.

 #8 - 14-08-2013 22:16:27

kossi_tg
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Puissances à goog

Proposition
Notons par [latex]V_n[/latex] l'unité des puissances successives de 2013 c'est-à-dire l'unité de [latex]2013^n[/latex] est [latex]V_n[/latex].
[TeX]V_0=1,
V_1=3,
V_2=9,
V_3=7,
V_4=1,
V_5=3[/TeX]
[TeX]V_n=V_{n-4}=V_{mod(n,4)}[/latex] où mod(n,k) est le reste de la division entière de n par k (modulo).
Remarque 01: quels que soient x et n, des entiers naturels, si mod(x,4)=1 alors mod(n*x,4)=mod(n,4).
Par définition [latex]U_{2012}=2013*2013*...*2013*2013[/latex] (ne me demandez pas combien il y a de 2013 dans cette formule car je vous mentirais tongue)
D'après la remarque 01, comme mod(2013,4)=1 alors [latex]mod(U_{2012},4)=mod(2013,4)=1.[/TeX]
[TeX]U_{2013}=2013^{U_{2012}}[/latex], on remarque que l'unité de [latex]U_{2013}   est   V_{U_{2012}}=V_{mod(U_{2012},4)}=V_1=3.[/TeX]
Le chiffre des unités de [latex]U_{2013}[/latex] est donc 3.

La réflexion continue par la généralisation en espérant avoir bien vu pour le cas de 2013 smile

 #9 - 14-08-2013 22:55:01

titoufred
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puissanczs à gogo

@Mathias : Oui, bravo ! Pour la généralisation, c'est un bon début.

@cogito : Tu as fait la même erreur que Rivas effectivement.

@kossi_tg : Bravo ! La généralisation n'est pas tellement plus compliquée.

 #10 - 14-08-2013 22:59:39

fix33
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Puissances àà gogo

J'aime beaucoup ce genre de sujet big_smile, mais je ne suis pas absolument sûr de mon résultat...

Les puissances de 2013 se terminent comme les puissances de 3 (il suffit de développer pour s'en convaincre) : 2013^2013 se termine comme 3^2013.

De plus, 3^n se termine comme 3^(n+4), à savoir en 1, 3, 7 ou 9.

Donc 2013^2013 se termine comme 3^1 donc par un 3.

Par récurrence, on en déduis que notre nombre 2013^^ se termine par un 3.


Pour la 2nde question, je peux juste dire pour le moment que :
- si n se termine par 0, n^^ se termine par 0
- si n se termine par 1, n^^ se termine par 1
- si n se termine par 2, n^^ se termine par 6 (voir ci-dessous), ou 4 si n=2
- si n se termine par 3, n^^ se termine par 3 (voir ci-dessus)
- si n se termine par 4, n^^ se termine par 6 (déduit de la ligne 2)
- si n se termine par 5, n^^ se termine par 5
- si n se termine par 6, n^^ se termine par 6
- si n se termine par 7, n^^ se termine par 7
- si n se termine par 8, n^^ se termine par 6 (déduit de la ligne 2)
- si n se termine par 9, n^^ se termine par 9 (voir ci-dessous)


Si n se termine par 2, n^k se termine comme 2^k. Or 2^k se termine comme 2^(k+4) pour k>0, à savoir 2, 4, 6 ou 8.
Donc n^n se termine comme 2^4 donc 6 si n est divisible par 4, se termine comme 2^2 donc 4 sinon.
Pour n divisible par 4, on en déduit que toutes les puissances suivantes se terminent par 6. Sinon, n^n^n se termine comme 4^2 donc 6.
Conclusion : pour n>2, n^^ se termine toujours par un 6.

Si n se termine par 7, n^k se termine comme 7^k.
De plus, 7^n se termine comme 7^(n+4), à savoir en 1, 3, 7 ou 9.
Alors, pour n=4p+1, n^n se termine comme 7^1 donc 7, et pour n=4p+3 n^n se termine comme 7^3 donc 3.
Par récurrence on voit que pour n=4p+1, n^^ se termine comme 7^1 donc 7.
Sinon, pour n=4p+3, n^n^n se termine comme 3^7 donc 7. n étant impair, n^^ se termine alors par 7.

Si n se termine par 9, n^k se termine comme 9^k.
De plus, 9^n se termine comme 9^(n+2), à savoir en 1 ou 9.
n^n se termine en 9 car toujours n est impair.
Donc n^^ se termine toujours par 9.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #11 - 14-08-2013 23:02:01

halloduda
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Puuissances à gogo

Par récurrence, on trouve 3.
Car3^4 = 81 = 1 modulo 10.
"xxx3"^2013 = 3 modulo 10

 #12 - 14-08-2013 23:09:14

titoufred
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puissances à goho

@fix33 : Le raisonnement n'est pas bon.

@halloduda : Pourrais-tu détailler davantage ?

 #13 - 14-08-2013 23:15:33

shadock
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puossances à gogo

Pas le temps d'écrire le raisonnement car pas d'ordinateur à portée de main ni papier ni crayon, juste le sable et les embruns de la mer big_smile

Alors je me suis parti du fait que le chiffre des unités de [latex]2013^{2013}[/latex] est le même que celui de [latex]3^{2013}[/latex]

Je trouve que [latex]3^{2013}\text{ mod } 10=3^{2013}-10E\left(\frac{3^{2013}}{10}\right)[/latex] qui au fil de l'eau donne 3.
Donc par récurrence ça finit par 3 sauf erreur et pour la généralisation, je pense que [latex]n^n \text{ mod } 10=n^n-10E\left(\frac{n^n}{10}\right)
[/latex] et caetera...

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 14-08-2013 23:37:42

titoufred
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puissanczs à gogo

@Shadock : Il va falloir détailler un peu plus, je ne vois pas comment tu trouves ce chiffre "au fil de l'eau" comme tu dis. D'autre part, la récurrence que tu utilises me laisses penser que tu fais la même erreur que Rivas et Cogito.

 #15 - 15-08-2013 00:39:23

cogito
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Puissacnes à gogo

Bon alors pour les nombres se terminant par 0, 1 , 5 ou 6, cela ne change rien.
Pour les autres cas,

Si n est pair alors on a trois cas :
    -cas 1 : n = 4 k, dans ce cas, [latex]u_{n-1}[/latex] est un multiple de 4.
    -cas 2 : n = 4 k + 2, comme les puissances paires de (4k + 2) sont des multiples de 4 alors [latex]u_{n-1}[/latex] est aussi un multiple de 4. 
    Or on a vu que :
[TeX]2^{4k}\equiv 6 [10][/TeX]
[TeX]4^{4k}\equiv 6 [10][/TeX]
[TeX]8^{4k}\equiv 6 [10][/TeX]
  Donc si dans tous ces cas [latex]u_n[/latex] se termine par un 6.
 
Si n est impair alors on a deux cas :
    -cas 1 : n = 4 k + 1. Toutes les puissances de (4 k + 1) sont de la forme (4 k + 1), donc [latex]u_{n-1}[/latex] est de la forme 4k+1. Et on a vu que :
[TeX]3^{4k+1}\equiv 3 [10][/TeX]
[TeX]7^{4k+1}\equiv 7 [10][/TeX]
[TeX]9^{4k+1}\equiv 9 [10][/TeX]
    Donc si n se termine par 3, 7 ou 9 alors [latex]u_n[/latex] se termine respectivement par 3 7 ou 9.
    -cas 2 : n = 4k+3. Toutes les puissances impaires de 4k + 3 sont de la forme (4k+3), donc [latex]u_{n-1}[/latex] est de la forme 4k+3. Et on a vu que :
[TeX]3^{4k+3}\equiv 7 [10][/TeX]
[TeX]7^{4k+3}\equiv 3 [10][/TeX]
[TeX]9^{4k+3}\equiv 9 [10][/TeX]
    Donc si n se termine par 3, 7 ou 9 alors [latex]u_n[/latex] se termine respectivement par 7 3 ou 9.

Donc finalement :
Si n se termine par un 0 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 0.
Si n se termine par un 1 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 1.
Si n se termine par un 2 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 6.
Si n se termine par un 3 alors
    -si n = 4k + 1 le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 3.
    -si n = 4k + 3 le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 7.
Si n se termine par un 4 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 6.
Si n se termine par un 5 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 5.
Si n se termine par un 6 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 6.
Si n se termine par un 7 alors
     -si n = 4k + 1 le chiffre des unités de Formule [latex]u_n[/latex] est 7.
     -si n = 4k + 3 le chiffre des unités de Formule [latex]u_n[/latex] est 3.
Si n se termine par un 8 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 6.
Si n se termine par un 9 alors le chiffre des unités de [latex]u_n[/latex] est 9.

Bah, euh... finalement je trouve la même chose.


Il y a sûrement plus simple.

 #16 - 15-08-2013 02:07:06

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Puissances àgogo

Cogito, un grand bravo à toi !

 #17 - 15-08-2013 16:16:58

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3316

puissanves à gogo

Et bien c'est très simple :
Je ne détaille que ce dont je me ders parce que sinon c'est trop long à écrire sur le tel,
[latex]3^n =3 \text{ mod }10[/latex] si n=4k+1
Or 2013=4*503+1 d'où le résultat smile

Pour le reste je me suis effectivement trompé je reviendrai quand j'aurai trouvé.

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 15-08-2013 20:55:28

JulesV
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 52

uissances à gogo

Chercher le chiffre des unités n revient à chercher le résultat [latex]n(10)[/latex]
On a[latex]2013 \equiv 3 \equiv 3^5 mod(10)[/latex]

Ainsi [latex]2013^{2013} \equiv 3^{2013} \equiv 3^{2008}.3^5 \equiv 3^{2009}   mod(10)            [/latex]

Or [latex]2013=4\times253+1[/latex] d'où [latex]2013^{2013} \equiv 3   mod(10)[/latex]

De proche en proche [latex]2013^{2013^{\dots^{2013}}} \equiv 3   mod(10)[/latex]

J'espère que c'est la bonne réponse, je reflichirai demain pour la généralisation.

 #19 - 15-08-2013 23:16:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Puissanes à gogo

Bonsoir

C'est pas très difficile mais il faut être très attentif et je ne suis sûrement pas à l'abri d'une erreur smile

Je note [latex]n=2[3][/latex] pour [latex]n\equiv 2 \text{[mod 3]}[/latex] et f(n) le dernier chiffre de l'écriture décimale de l'escalier de puissance .

Il y a des cas très simples , quand n = 0 ; 1 ; 5 ; 6 [10] car alors toute puissance de n se termine par le même chiffre que n donc f(n)=n[10] .

A peine plus difficile si n=4[10] car alors [latex]n^{2k}=6[10][/latex] et [latex]n^{2k+1}=4[10][/latex] donc f(n)=6 .

De même si n=9[10] alors [latex]n^{2k}=1[10][/latex] et [latex]n^{2k+1}=9[10][/latex] donc f(n)=9 .

Les quatre cas restants sont un peu pénibles car les puissances bouclent en cycle de 4 il faut donc regarder ce qui se passe modulo 20 yikes

Pour alléger l'écriture je donne modulo 20 les listes représentant : [latex]n,n^n,n^{n^n},\cdots[/latex]

Si n=2 : 4 ; 16 ; 16 ;16 ; ...
Si n=3 : 3 ; 7 ; 7 ; 7 ; ...
Si n=7 : 7 ; 7 ; 7 ; ...
Si n=8 : 8 ; 16 ; 16 ; 16 ; 16 ; ...
Si n=12 : 12 ; 16 ; 4 ; 16 ; 4 ; 16 ; 4 ; ...
Si n=17 : 17 ; 17 ; 17 ; ...
Si n=18 : 18 ; 4 ; 16 ; 16 ; 16 ; 16 ; ...

Ce qui nous donne :

Si n=2[10] ou n=8[10] : f(n)=6 . ( une exception f(2)=4 ) .
Si n=3[20] ou n=17[20] : f(n)=7 .
Si n=7[20] ou n=13[20] : f(n)=3 .

Vasimolo

 #20 - 15-08-2013 23:17:26

titoufred
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Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Puissance à gogo

@JulesV : bon début mais même erreur que Rivas ensuite

@Vasimolo : Oui, bravo !

 #21 - 15-08-2013 23:48:56

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Puissances à googo

Bon, j'ai voulu le résoudre trop vite et j'ai écrit n'importe quoi 2 fois de suite.
Je ne suis pas très fier de moi.

Je vais donc essayer de reprendre à zéro.

2013 est congru à 3 modulo 10.
Les puissances de 3 modulo 10 forment un cycle de longueur 4: 1 - 3 - 9 - 7 - 1


Donc [latex]2013^{2013}[/latex] est congru à [latex]3^1[/latex] modulo 10 (puisque 2013 = 4k+1).

Donc [latex] u_1 \equiv 3 [10] [/latex]
[TeX]u_2 = 2013^{u_1} \equiv 3^{u_1} [10] [/TeX]
Il faut donc aussi regarder à quoi sont congrus les [latex]u_i[/latex] modulo 4.
Or [latex]2013\equiv 1 [4] [/latex].

Donc [latex]u_2 = 2013^{u_1} \equiv 1^{u_1} [4] \equiv 1 [4] [/latex].

Tous les [latex]u_i[/latex] sont donc congrus à 1 modulo 4.

Finalement [latex]u_2 = 3^{u_1} [10] \equiv 3 [10] [/latex].

Ce qui a été fait avec [latex]u_1[/latex] et [latex]u_2[/latex] peut-être fait de même entre [latex]u_k[/latex] et [latex]u_{k+1}[/latex].

Donc tous les [latex]u_n[/latex] sont congrus à 3 modulo 10.

Le dernier chiffre est donc 3.

J'avais bien eu un doute en écrivant ma réponse précédente.
Celle-ci me semble plus correcte.

 #22 - 16-08-2013 01:24:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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puissances à gogi

Oui bravo Rivas !

 #23 - 16-08-2013 22:44:46

fix33
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uissances à gogo

Je crois que j'ai trouvé mon erreur : je ne sais pas calculer le reste de 2013 / 4 !
J'ai corrigé (peut-être !) et j'ai complété avec les autres unités possibles.


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #24 - 17-08-2013 08:23:55

nodgim
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puissanced à gogo

Pour 2013 je dirais 7.
Pour les nombres qui se terminent par les 9 autres chiffres, il n'y qu'une solution à chaque fois, toujours la même quel que soit le nombre.

 #25 - 17-08-2013 10:21:26

nodgim
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Messages : 2953

Puissances à gog

Peut être un peu plus compliqué, mais à peine, quels sont les 2 derniers chiffres de ton nombre ?

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