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 #1 - 07-09-2010 18:45:20

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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0210 et les puissances de 2

Bonjour,

Courte question d'arithmétique (courte à poser smile)

Existe-t-il une puissance de 2 dont l'écriture décimale commence par les chiffres 2010?
Si oui, pouvez-vous donner la plus petite (la puissance elle-même, pas le résultat) et  avec combien de chiffres s'écrit ce résultat en base 10?

Ce problème est inspiré d'un problème des Jeux Mathématiques du journal "Le Monde". La réponse donnée par le livre est fausse. Je n'ai pas réussi à démontrer l'existence mathématiquement mais je suis preneur d'une démonstration (exacte smile).

Bon amusement.



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 #2 - 07-09-2010 18:58:02

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

2010 et les puissances de

J'avais proposé ce sujet il y a quelque temps smile

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4747

Vasimolo

 #3 - 07-09-2010 19:39:51

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

2010 t les puissances de 2

Vasimolo me fait remarquer qu'il a déjà posé un problème similaire:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4747
Désolé de n'avoir pas vérifié.

La réponse à l'existence est donc oui et cela m'a aussi permis de voir la démonstration (merci, elle est bien). Je ne suis par contre pas convaincu qu'on y arrive par l'irrationalité de ln2.

Il reste donc la deuxième partie de ma question pour les durs à cuire: Quelle est la plus petite puissance de 2 commençant par 2010 (les suivantes aussi si vous voulez smile), combien a-t-elle de chiffres (et que vaut-elle pour les courageux) ?

 #4 - 07-09-2010 21:29:47

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

2010 et les puissanczs de 2

rivas a écrit:

Je ne suis par contre pas convaincu qu'on y arrive par l'irrationalité de ln2

Si tu fais référence à ma démo sur cette même page, elle est pas évidente, mais elle est correcte, même si de tête je m'en rappelle plus trop :p
1) log(2) est irrationnel

2) E = {Z + nZ} est dense dans R ssi n est irrationnel
(cf. par exemple http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rom … ation.pdf, théorème 1.4)

3) pour 0<epsilon < 1,
(2010 + epsilon)*10^k = 2^n
ssi log(2010+epsilon) = n*log(2)-k
ssi log(2010+epsilon) est un élément de E

4) vu que E est dense dans R, alors on peut y prendre un élément x tel que
log(2010) < x < log(2011)

5) vu que log est une fonction continue, on peut donc trouver un nombre epsilon dans [0;1[ tel que log(2010+epsilon) = x, et donc (2010+epsilon) * 10^k = 2^n


Je sais pas quelle est la valeur de n, mais partant de cette démo je vais essayer de pondre un algo pour ça

 #5 - 08-09-2010 11:38:30

papiauche
Sa Sainteté
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2010 et les pusisances de 2

On a l'encadrement suivant
[TeX]2010*10^k<= 2^n <= 2011*10^k[/TeX]
On passe en log et on cherche n tel que la partie fractionnaire de n*log(2)-log(2011) soit inférieure à log(2011)-log(2010).

Pour le nombre de chiffres, ce sera la partie entière de n*log(2)+1.

Un tableur permet de trouver les premières solutions.

Les trois premières:

10877 et 3275 chiffres
13013 et 3918 chiffres
15149 et 4561 chiffres.

Et hop!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #6 - 08-09-2010 14:46:04

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

2010 et les puissances de 22

Félicitations à papiauche qui est le premier à me donner les 3 première puissances qui répondent au problème et le nombre de chiffres des solutions.

Merci à scarta qui détaille sa solution sur l'existence.

Bon courage aux autres.

 #7 - 09-09-2010 03:00:55

dhrm77
L'exilé
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2010 et les puissances ed 2

La réponse est 10877 avec 3275 chiffres

C'est le 2010ieme élément de la série A018856 de l'encyclopédie des séries d'entiers.

Et voici une liste plus complete des nombres qui répondent au critere:

2^10877 = 2.0103090933200 * 10^3274
2^13013 = 2.0106365608861 * 10^3917
2^15149 = 2.0109640817947 * 10^4560
2^24178 = 2.0101809998496 * 10^7278
2^26314 = 2.0105084465500 * 10^7921
2^28450 = 2.0108359465896 * 10^8564
2^37479 = 2.0100529145411 * 10^11282
2^39615 = 2.0103803403772 * 10^11925
2^41751 = 2.0107078195490 * 10^12568
2^52916 = 2.0102522423671 * 10^15929
2^55052 = 2.0105797006725 * 10^16572
2^57188 = 2.0109072123189 * 10^17215
2^66217 = 2.0101241525191 * 10^19933
2^68353 = 2.0104515899595 * 10^20576
2^70489 = 2.0107790807374 * 10^21219
2^81654 = 2.0103234874094 * 10^24580
2^83790 = 2.0106509573202 * 10^25223
2^85926 = 2.0109784805740 * 10^25866
2^94955 = 2.0101953930219 * 10^28584
2^97091 = 2.0105228420669 * 10^29227
2^99227 = 2.0108503444514 * 10^29870
2^108256 = 2.0100673067963 * 10^32588
2^110392 = 2.0103947349768 * 10^33231
2^112528 = 2.0107222164934 * 10^33874
2^123693 = 2.0102666360494 * 10^37235
2^125829 = 2.0105940966995 * 10^37878
2^127965 = 2.0109216106910 * 10^38521
2^136994 = 2.0101385452844 * 10^41239
2^139130 = 2.0104659850692 * 10^41882
2^141266 = 2.0107934781920 * 10^42525
2^150295 = 2.0100104626810 * 10^45243
2^152431 = 2.0103378816019 * 10^45886
2^154567 = 2.0106653538575 * 10^46529
2^156703 = 2.0109928794563 * 10^47172
2^165732 = 2.0102097862972 * 10^49890
2^167868 = 2.0105372376868 * 10^50533
2^170004 = 2.0108647424162 * 10^51176
2^179033 = 2.0100816991545 * 10^53894
2^181169 = 2.0104091296794 * 10^54537
2^183305 = 2.0107366135408 * 10^55180
2^194470 = 2.0102810298349 * 10^58541
2^196606 = 2.0106084928296 * 10^59184
2^198742 = 2.0109360091661 * 10^59827
2^207771 = 2.0101529381527 * 10^62545
2^209907 = 2.0104803802820 * 10^63188
2^212043 = 2.0108078757497 * 10^63831
2^221072 = 2.0100248546322 * 10^66549
2^223208 = 2.0103522758975 * 10^67192
2^225344 = 2.0106797504978 * 10^67835
2^236509 = 2.0102241796756 * 10^71196
2^238645 = 2.0105516334097 * 10^71839
2^240781 = 2.0108791404842 * 10^72482
2^249810 = 2.0100960916158 * 10^75200
2^251946 = 2.0104235244851 * 10^75843
2^254082 = 2.0107510106914 * 10^76486
2^265247 = 2.0102954237234 * 10^79847
2^267383 = 2.0106228890628 * 10^80490
2^269519 = 2.0109504077444 * 10^81133
2^278548 = 2.0101673311240 * 10^83851
2^280684 = 2.0104947755979 * 10^84494
2^282820 = 2.0108222734105 * 10^85137
2^291849 = 2.0100392466865 * 10^87855
2^293985 = 2.0103666702961 * 10^88498
2^296121 = 2.0106941472412 * 10^89141
2^307286 = 2.0102385731570 * 10^92502
2^309422 = 2.0105660292358 * 10^93145
2^311558 = 2.0108935386553 * 10^93788
2^320587 = 2.0101104841801 * 10^96506
2^322723 = 2.0104379193939 * 10^97149
2^324859 = 2.0107654079450 * 10^97792
2^336024 = 2.0103098177149 * 10^101153
2^338160 = 2.0106372853990 * 10^101796
2^340296 = 2.0109648064257 * 10^102439
2^349325 = 2.0101817241984 * 10^105157
2^351461 = 2.0105091710168 * 10^105800
2^353597 = 2.0108366711744 * 10^106443
2^362626 = 2.0100536388437 * 10^109161
2^364762 = 2.0103810647978 * 10^109804
2^366898 = 2.0107085440876 * 10^110447
2^378063 = 2.0102529667415 * 10^113808
2^380199 = 2.0105804251649 * 10^114451
2^382335 = 2.0109079369294 * 10^115094
2^391364 = 2.0101248768474 * 10^117812
2^393500 = 2.0104523144057 * 10^118455
2^395636 = 2.0107798053017 * 10^119098

quand a la séquence de nombre entiers mentionnée plus haut, vous trouverez ici dans quelques jours, une liste jusqu'a 32699.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 09-09-2010 09:23:36

franck9525
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2010 et ls puissances de 2

La méthode ayant était expliquée précédemment, il ne restait plus qu'à l'appliquer.cool

L'utilisation des logarithmes permet d'effectuer les calculs sans avoir à jouer avec des nombres trop grands pour les machines à compter. Cet exercice est une parfaite illustration. wink

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-puissance2.png


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 12-09-2010 15:22:49

rivas
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2001 et les puissances de 2

Félicitations à Dan et Franck pour leur réponse aussi.

Pour info 2^10877 =
20103090933200284360504158627823616669086870129606656506765454527954944
526455034432192512310899315192627200117686772398817280174418775949180928
389795995389001728074410998657449984861439383171497984479169047786422272
576775693727432704384529755099889664192335958963126272964228177193336832
823296842813931520217144687250112512543057660288958464771181558820765696
210860021565882368844148907664998400818317915776090112371069091303653376
884987644396437504568130170215464960884583635919568896137529297743642624
922750874163609600032670271289163776753292113486807040976537075828654080
491413475271901184066384263200899072317067772862398464334469034613932032
975335149650313216737809939033751552123571592466530304379375460939988992
375477033726115840708810803796246528644150813915086848653044613886246912
820285441375207424625254744430739456602868140077219840312342341147951104
836052772669095936483581274315030528787605023666733056193373165100466176
109809832484405248853300052621000704871236555132895232239623780279517184
769988929349222400790443177570467840857614770017927168497059113380085760
196610609980637184689999314255347712142474061978009600058423993724567552
441792109827850240482326946220867584233409628563308544699729258057302016
616247237988057088650258268430270464132110561643593728259504231863287808
890961806000128000712053833054027776141415016771878912452995929041534976
981802656675921920610263161821724672038176871478198272346825952421216256
486507160877662208921842469709545472110032285682892800196005137489592320
260288714642292736827255256415993856906701237437595648098231823354036224
706958190473641984559724751588687872546984347384938496762698633204203520
945996365050937344996539283132383232064843772894117904859644348890873856
026105020591898624431614314566647808785792341017624576991201749552332800
577315268547837952365252772212768768446636930295398400741687717221105664
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 #10 - 12-09-2010 15:46:29

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

20010 et les puissances de 2

Merci, ça me manquais !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #11 - 12-09-2010 15:51:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

2010 et els puissances de 2

Scarta et Papiauche, le duo incroyable. Le premier explique pourquoi la solution existe, avec une facilité incroyable ; le second montre tout aussi facilement comment l'obtenir. J'aime ces deux-là smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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