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 #1 - 31-01-2018 10:01:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

Somme de 3 carréés

Bonjour @ tous.

Résoudre à la main dans N :  a² + b² + c² = 2 d² lorsque l'un des nombres a, b, c, d vaut 32.
avec pgcd (a,b,c,d) = 1. Les 4 valeurs a,b,c,d distinctes 2 à 2.
a, b et c < d, contrainte non applicable à 32.

Normalement, pas même besoin de calculette. Mais ça ne se fait pas tout seul non plus....



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 #2 - 01-02-2018 09:00:49

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 493
Lieu: Ardèche

somme de 3 caerés

1²+15²+32²=2*25²

 #3 - 01-02-2018 16:43:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

oSmme de 3 carrés

C'est en effet l'une des solutions, Halloduda, bravo pour celle ci.
Il y en a d'autres.

 #4 - 04-02-2018 19:33:17

yanbena
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 63

Somm ede 3 carrés

Bon, j'ai cherché déjà pour voir si uniquement des nombres premiers fonctionnait, comme ca, pas de prise2tête sur le pgcd :p .

En prenant a = 3, b = 5, c = 32, d = 23, ça a l'air de fonctionner (en faisant permuter a,b,c, on a quand même 6 solutions) ^^

 #5 - 04-02-2018 22:59:26

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 631

Smome de 3 carrés

J'ai 7 solutions, avec un programme. Ce n'est pas très satisfaisant, car ça ne prouve en rien que ce sont les seules. Mais je compte dessus pour m'aider à imaginer la solution.

Es-tu d'accord sur le nombre de solutions ?

 #6 - 05-02-2018 08:14:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

Somme de 3 carés

Oui, je suis d'accord.

L'informatique a cet avantage qu'elle est meilleure que l'humain dans une recherche systématique (j'avais loupé une solution dans mon pointage ! ).

 #7 - 05-02-2018 08:20:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

Sommme de 3 carrés

@yanbena :

J'avais loupé ton message.

Oui c'est une solution, bravo @ toi. Je la compte pour une seule aux permutations près.

Il y en a d'autres.

 #8 - 05-02-2018 08:22:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

Somm ede 3 carrés

Possibilité de recherche: le 32 peut il se trouver tantôt à droite dans l'égalité, tantôt à gauche ?

 #9 - 05-02-2018 09:17:31

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 631

somme de 3 xarrés

Mmh, je me suis rendu compte cette nuit (je fais aussi des heures sup' gratuites) que le problème était borné. Si le 32 est à droite, cela implique que a, b, c < 46.

Si par contre a=32, alors du fait que b et c < d, on a 32² = 2d²-b²-c² >= 2d²-(d-1)²-(d-1)² soit 1024 >= 4d-2 ce qui limite d, et donc b et c.

Il ne reste plus qu'à faire une recherche systématique. Par exemple, considérer la parité permet de supprimer quelques cas (deux des termes de gauche doivent être impairs). Même chose en raisonnant modulo 3.

 #10 - 05-02-2018 11:03:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

somme fe 3 carrés

@ Ebichu: c'est bien l'idée. Après, la réalisation dépend du goût de chacun. Pour ma part, je n'ai pas réécrit l'équation comme tu l'as fait, mais il n'y a pas qu'un seul chemin pour arriver au but.

 #11 - 05-02-2018 21:34:01

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 631

Somme de 3 carérs

NB : les 7 solutions dont je parlais sont...

3²+5²+32²=2.23²
1²+15²+32²=2.25²
13²+27²+32²=2.31²
23²+25²+32²=2.33²
25²+33²+32²=2.37²
37²+45²+32²=2.47²
83²+85²+32²=2.87²

 #12 - 11-02-2018 07:50:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3360

somme de 3 xarrés

Bon, je donne ma méthode manuelle et, avant la théorie, une solution et comment on la trouve :
128 = 23 + 105
23 = 1*23 (décomposition dont l'un des facteurs est impair). On en tire les nombres 2*23+1 = 47 et 23+2*1 = 25.
105 = 1*105 = 3*35 = 5*21 = 7*15. On en tire les nombres 211, 107, 73, 41, 47, 31, 37 et 23.

47  est commun et solution, tiré de 2*23+1 et 2*21+5.

Les carrés manquants sont 2*23-1 et 2*21-5, soit 45 et 37.

32² + 45² + 37² = 2 * 47².

___________________________________________________________________________________________________________

Résoudre à la main dans N :  a² + b² + c² = 2 d² lorsque l'un des nombres a, b, c, d vaut 32.
avec pgcd (a,b,c,d) = 1. Les 4 valeurs a,b,c,d distinctes 2 à 2.
a, b et c < d, contrainte non applicable à 32.

Un seul nombre parmi a,b,c est pair. Posons que c'est a = 2a.

d est impair, car a² + b² + c² = 2 [4] si 2 d'entre eux impairs, or d pair donnerait un 2*d² multiple de 8. Donc 32 n'est pas d, posons que c'est "a".

4a² = (d² - b²) + (d² - c²)

d et b sont impairs, d² - b² est un multiple de 8. Idem pour d² - c².

4a² = 8k+ 8j donc "a" pair.

(4a)² = 8j+ 8j et donc 2 * a² = k + j.

Pour 4a = 32, on est donc amené à chercher k et j dont la somme vaut 128.


d² - b² = ( 2u+1 ) ² - ( 2v+1) ² = 2 (u - v) * 2 ( u + v + 1) = 8 k

k = n * m = (d² - b² ) / 8 = (u - v) / 2 * ( u + v + 1 ) ou ( u - v ) * ( u + v + 1 ) / 2

u = ( n + 2m - 1 ) / 2 et v = ( n - 2m - 1 ) / 2 ou
u = ( n + 2m - 1 ) / 2 et v = ( 2m - n -1 ) / 2
avec n toujours impair.

On exprime k et j comme le huitième de la différence de 2 carrés impairs, à travers un couple (u,v).
Si (uk, vk) est le couple attaché à k et (uj, vj) celui attaché à j, une solution de l'équation apparait quand uk = uj ( correspond au d² commun)

La préparation consiste à décomposer chaque k (entre 1 et 128) pour trouver les (u,v) correspondants. Pour k pair, il faut toujours un facteur pair et un facteur impair.
Et pratiquement, on se contente de calculer d'abord, à partir d'un produit n*m : 2n+m, m impair. Il y a solution quand le 2n+m d'un k est égal à celui du j = 128 - k.

Solutions

k = 23 couple (22,23) et j = 105 = 5*21 couple (18,23) donne : 32² + 45² + 37² = 2 * 47²
k = 29 couple (13,15) et j = 99 = 9 * 11 couple (6,15) donne :  32² + 27² + 13² = 2 * 31²
k = 35 couple (16,18) et j = 93 = 3 * 31 couple (12,18) donne : 32² + 33² +25² = 2 * 37²
k = 43 couple ( 42,43) et j = 85 = 1* 85 couple (41,43) donne : 32² + 85² + 83² = 2 * 87²
k = 50 = 5 * 10 couple (7, 12) et j = 78 = 6*13 couple (0, 12) donne : 32² + 15² + 1² = 2 * 25²
k = 58 = 2 * 29 couple ( 12,16) et j = 70 = 5 * 14 couple (11,16) donne : 32² + 25² + 23² = 2 * 33²     
k = 63 = 7 * 9 couple (11, 2) et j = 65 = 5 * 13 couple (11, 1) donne 32² + 5² + 3² = 2 * 23²

 

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