1²+15²+32²=2*25²

Bon, j'ai cherché déjà pour voir si uniquement des nombres premiers fonctionnait, comme ca, pas de prise2tête sur le pgcd :p .

En prenant a = 3, b = 5, c = 32, d = 23, ça a l'air de fonctionner (en faisant permuter a,b,c, on a quand même 6 solutions) ^^

Oui, je suis d'accord.

L'informatique a cet avantage qu'elle est meilleure que l'humain dans une recherche systématique (j'avais loupé une solution dans mon pointage ! ).

Possibilité de recherche: le 32 peut il se trouver tantôt à droite dans l'égalité, tantôt à gauche ?

@ Ebichu: c'est bien l'idée. Après, la réalisation dépend du goût de chacun. Pour ma part, je n'ai pas réécrit l'équation comme tu l'as fait, mais il n'y a pas qu'un seul chemin pour arriver au but.

Bon, je donne ma méthode manuelle et, avant la théorie, une solution et comment on la trouve :
128 = 23 + 105
23 = 1*23 (décomposition dont l'un des facteurs est impair). On en tire les nombres 2*23+1 = 47 et 23+2*1 = 25.
105 = 1*105 = 3*35 = 5*21 = 7*15. On en tire les nombres 211, 107, 73, 41, 47, 31, 37 et 23.

47  est commun et solution, tiré de 2*23+1 et 2*21+5.

Les carrés manquants sont 2*23-1 et 2*21-5, soit 45 et 37.

32² + 45² + 37² = 2 * 47².

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Résoudre à la main dans N :  a² + b² + c² = 2 d² lorsque l'un des nombres a, b, c, d vaut 32.
avec pgcd (a,b,c,d) = 1. Les 4 valeurs a,b,c,d distinctes 2 à 2.
a, b et c < d, contrainte non applicable à 32.

Un seul nombre parmi a,b,c est pair. Posons que c'est a = 2a.

d est impair, car a² + b² + c² = 2 [4] si 2 d'entre eux impairs, or d pair donnerait un 2*d² multiple de 8. Donc 32 n'est pas d, posons que c'est "a".

4a² = (d² - b²) + (d² - c²)

d et b sont impairs, d² - b² est un multiple de 8. Idem pour d² - c².

4a² = 8k+ 8j donc "a" pair.

(4a)² = 8j+ 8j et donc 2 * a² = k + j.

Pour 4a = 32, on est donc amené à chercher k et j dont la somme vaut 128.


d² - b² = ( 2u+1 ) ² - ( 2v+1) ² = 2 (u - v) * 2 ( u + v + 1) = 8 k

k = n * m = (d² - b² ) / 8 = (u - v) / 2 * ( u + v + 1 ) ou ( u - v ) * ( u + v + 1 ) / 2

u = ( n + 2m - 1 ) / 2 et v = ( n - 2m - 1 ) / 2 ou
u = ( n + 2m - 1 ) / 2 et v = ( 2m - n -1 ) / 2
avec n toujours impair.

On exprime k et j comme le huitième de la différence de 2 carrés impairs, à travers un couple (u,v).
Si (uk, vk) est le couple attaché à k et (uj, vj) celui attaché à j, une solution de l'équation apparait quand uk = uj ( correspond au d² commun)

La préparation consiste à décomposer chaque k (entre 1 et 128) pour trouver les (u,v) correspondants. Pour k pair, il faut toujours un facteur pair et un facteur impair.
Et pratiquement, on se contente de calculer d'abord, à partir d'un produit n*m : 2n+m, m impair. Il y a solution quand le 2n+m d'un k est égal à celui du j = 128 - k.

Solutions

k = 23 couple (22,23) et j = 105 = 5*21 couple (18,23) donne : 32² + 45² + 37² = 2 * 47²
k = 29 couple (13,15) et j = 99 = 9 * 11 couple (6,15) donne :  32² + 27² + 13² = 2 * 31²
k = 35 couple (16,18) et j = 93 = 3 * 31 couple (12,18) donne : 32² + 33² +25² = 2 * 37²
k = 43 couple ( 42,43) et j = 85 = 1* 85 couple (41,43) donne : 32² + 85² + 83² = 2 * 87²
k = 50 = 5 * 10 couple (7, 12) et j = 78 = 6*13 couple (0, 12) donne : 32² + 15² + 1² = 2 * 25²
k = 58 = 2 * 29 couple ( 12,16) et j = 70 = 5 * 14 couple (11,16) donne : 32² + 25² + 23² = 2 * 33²     
k = 63 = 7 * 9 couple (11, 2) et j = 65 = 5 * 13 couple (11, 1) donne 32² + 5² + 3² = 2 * 23²