Alors ! On note $x$ le prix noté à l'année $0$ (l'année de référence).
Soit $a %$ le taux d'inflation annuel courant.
A l'année 1, le nouveau prix sera $x * (1 + a%)$.
A l'année 2, celui-ci sera de $(x * (1 + a%))*(1+a%)$.
...

On dirait une suite géométrique . Puisque son premier terme est $x$ et sa raison $1+a%$, on peut en déduire qu'à l'année $n$, le prix sera de $x*(1+a%)^n$.

Il faut trouver $n$ tel que le prix à l'année $n$ soit le double de celui à l'année $0$. On doit avoir :
$$x(1+a%)^n = 2x$$
$$(1+a%)^n = 2$$
$$nln(1+a%) = ln(2)$$
$$n = \frac{ln(2)}{ln(1+a%)}$$
Comme pour $x$ assez proche de $0$, on a $ln(1+x) = x$ (environ), on peut dire que $ln(1+a%) = a%$
Comme $ln(2) = 0,7$ (environ), on peut donc écrire :
$n = \frac{0,7}{a%}$, soit en multipliant par 100, $n = \frac{70}{a}$ (et c'est bien une approximation ).

CQFD. En divisant 70 par le taux d'inflation, on obtient bien le nombre d'années qu'il faut attendre pour voir les prix doubler. Et ben ! C'est pas mal ça !

Alexein41

(1+i/100)^(70/i) est une fonction décroissante sur R+

Elle a pour valeur
2,01 en 0,001
2,01 en 1
...
1,98 en 5 Bonne approximation jusqu'à 5 % d'inflation.
...
1,95 en 10 Un peu moins bien mais d'ici à ce que l'on ait 10% d'inflation, il y a un peu de marge. On inventera la règle de 72. Par contre, si les prix baissent, ça ne marche plus.

Les prix double lorsque
$$K(1+t)^n=2K$$
$$n=\frac{ln(2)}{ln(1+t)}$$
comme l'inflation t est supposé être petite devant 1, on peut utiliser un DL
$n\approx\frac{69.3}t\approx\frac{70}t$ avec t l'infation en pourcentage.

En faisant les calculs, on note que cela marche bien jusqu'à 30-40 %; valeurs pour lesquelles le doublement devient alors évident.

Cette règle me plait beaucoup. Merci

Bonjour,
On devrait avoir: (1 + t/100) ^ n = 2 ce qui donne n = ln 2 / ln (1 + t/100)
Comme t/100 est petit devant 1, on peut approximer ln (1 + t/100) à t/100
On aurait donc l'approximation: n = 100 ln 2 / t soit n = 70 / t
Bonne soirée.
Frank

(1,03)^x > 2
x > ln(2) / ln(1,03)

Or le développement de Taylor de ln(1+x) tend vers x quand x tend vers 0. D'où ln(1,.03) ~ 0,03
Et ln(2) = 0,6931 ~ 0,7

On a donc x ~ 0,7 / 0,03 = 70/3 = 20,33

Comme l'indexation n'a leu qu'une fois par an, il faut 21 ans pour avoir un facteur 2 au moins.

A retenir comme règle.

Après un an avec une inflation de p (pourcentage), les prix sont multipliés par 1+p/100.

Après un nombre N d'années, il est donc multiplié par (1+p/100)^N.
Si les prix doublent en N années, alors (1+p/100)^N = 2
N = ln(2)/ln(1+p/100)
Ok, c'est un peu complexe comme calcul, mais si on suppose p relativement petit, p/100 devient proche de 0 et du coup on peut approximer le dénominateur via un développement limité. Du coup, N vaut environ 100ln(2) / p, soit à la louche 70/p