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 #1 - 08-06-2011 17:52:35

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

La règle de 700 !

En économie ; La règle de 70 est utilisée pour déterminer le nombre d'années nécessaires pour que les prix doublent par rapport à ceux du taux d'inflation courant.
Le nombre d'années pour que les prix doublent est déterminé en divisant 70 par le taux d'inflation annuel courant.
Je vous demande de démontrer cette approximation mathématiquement.
Bonne chance.
NB :  le taux d'inflation annuel courant est pris en valeur du pourcentage ! par exemple si ce taux est de 3% .. les prix double après environ 70/3 années .



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 #2 - 08-06-2011 18:02:51

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 495
Lieu: Ardèche

L règle de 70 !

[TeX]ln(2)\approx 0.693[/TeX]

 #3 - 08-06-2011 18:16:19

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

la règme de 70 !

Alors ! On note [latex]x[/latex] le prix noté à l'année [latex]0[/latex] (l'année de référence).
Soit [latex]a %[/latex] le taux d'inflation annuel courant.
A l'année 1, le nouveau prix sera [latex]x * (1 + a%)[/latex].
A l'année 2, celui-ci sera de [latex](x * (1 + a%))*(1+a%)[/latex].
...

On dirait une suite géométrique wink. Puisque son premier terme est [latex]x[/latex] et sa raison [latex]1+a%[/latex], on peut en déduire qu'à l'année [latex]n[/latex], le prix sera de [latex]x*(1+a%)^n[/latex].

Il faut trouver [latex]n[/latex] tel que le prix à l'année [latex]n[/latex] soit le double de celui à l'année [latex]0[/latex]. On doit avoir :
[TeX]x(1+a%)^n = 2x[/TeX]
[TeX](1+a%)^n = 2[/TeX]
[TeX]nln(1+a%) = ln(2)[/TeX]
[TeX]n = \frac{ln(2)}{ln(1+a%)}[/TeX]
Comme pour [latex]x[/latex] assez proche de [latex]0[/latex], on a [latex]ln(1+x) = x[/latex] (environ), on peut dire que [latex]ln(1+a%) = a%[/latex]
Comme [latex]ln(2) = 0,7[/latex] (environ), on peut donc écrire :
[latex]n = \frac{0,7}{a%}[/latex], soit en multipliant par 100, [latex]n = \frac{70}{a}[/latex] (et c'est bien une approximation big_smile).

CQFD. En divisant 70 par le taux d'inflation, on obtient bien le nombre d'années qu'il faut attendre pour voir les prix doubler. Et ben ! C'est pas mal ça ! smile

Alexein41

 #4 - 08-06-2011 18:27:07

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

La règle d e70 !

Si [latex]U_n[/latex] représente le prix après n années, on a [latex]U_{n+1}=(1+\frac{a}{100})U_n[/latex] où a est le pourcentage.

On sait alors que [latex]U_n=U_0(1+\frac{a}{100})^n[/latex] et on veut n le plus petit tel que [latex]U_n\geq 2U_0[/latex].

Ce qui en passant au log donne: [latex]n\geq \frac{ln2}{ln(1+\frac{a}{100})}[/latex].
Or ln2 vaut a peu près 0,7 et on a x est une bonne approximation de ln(1+x) d'où n environ égal à 70/a.

Merci pour cette énigme.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #5 - 08-06-2011 18:27:15

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

la règle dz 70 !

(1+i/100)^(70/i) est une fonction décroissante sur R+

Elle a pour valeur
2,01 en 0,001
2,01 en 1
...
1,98 en 5 Bonne approximation jusqu'à 5 % d'inflation.
...
1,95 en 10 Un peu moins bien mais d'ici à ce que l'on ait 10% d'inflation, il y a un peu de marge. On inventera la règle de 72. Par contre, si les prix baissent, ça ne marche plus.

 #6 - 08-06-2011 19:12:46

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

La rgèle de 70 !

Soit un taux d'inflation de [latex]k[/latex] pourcent, qu'on suppose constant. Au bout de [latex]N[/latex] années, les prix auront été multipliés par
[TeX]\left( 1 + 0.01 k \right)^N[/TeX]
On veut donc, en fonction de k, trouver N tel que :
[TeX]\left( 1 + 0.01 k \right)^N = 2[/TeX]
On passe au log :
[TeX]N \ln \left( 1 + 0.01 k \right) = \ln(2)[/TeX]
Soit :
[TeX]N = \frac{\ln(2)}{\ln \left( 1 + 0.01 k \right)}[/TeX]
[latex]\ln(2)[/latex] vaut un peu moins de [latex]0.7[/latex], et si [latex]x[/latex] est suffisamment petit, on a [latex]\ln \left( 1 + x \right) \approx x[/latex], ce qui permet de conclure.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 08-06-2011 19:39:45

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

la tègle de 70 !

Les prix double lorsque
[TeX]K(1+t)^n=2K[/TeX]
[TeX]n=\frac{ln(2)}{ln(1+t)}[/TeX]
comme l'inflation t est supposé être petite devant 1, on peut utiliser un DL
[latex]n\approx\frac{69.3}t\approx\frac{70}t[/latex] avec t l'infation en pourcentage.

En faisant les calculs, on note que cela marche bien jusqu'à 30-40 %; valeurs pour lesquelles le doublement devient alors évident.

Cette règle me plait beaucoup. Merci smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 08-06-2011 19:51:48

karibou
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 26

La règle de 0 !

Soit n le nombre d'années et t le taux d'inflation.

On veut avoir
(1 +t/100)^n > 2

e^(n*ln (1+t/100))>2

n*(ln (1 +t/100) > ln (2) 

n >  ln (2)/ ln(1 +t/100)

Or on sait que quand t/100 est au voisinage de 0 ln( 1 + t/100) est proche de t/100 (c'est normalement le cas).

et ln(2) vaut environ 0,7  (arrondi au dixième)

bref ln(2) / ln(1 +t/100) vaut environ 70/t ce qui confirme l’hypothèse annoncée.


Un peu trop d'arrondi à mon gout dans cette méthode, je comprend pourquoi l'économie va  si mal si nos maîtres des finances manquent autant de rigueur dans leurs calculs.


[url=http://www.deathnote-lejeu.com/?player=karibou] Death note-le jeu[/url]

 #9 - 08-06-2011 21:29:01

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3066
Lieu: Luxembourg

La règle dde 70 !

Bonjour,
On devrait avoir: (1 + t/100) ^ n = 2 ce qui donne n = ln 2 / ln (1 + t/100)
Comme t/100 est petit devant 1, on peut approximer ln (1 + t/100) à t/100
On aurait donc l'approximation: n = 100 ln 2 / t soit n = 70 / t
Bonne soirée.
Frank

 #10 - 08-06-2011 21:34:26

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

La ègle de 70 !

Que des bonnes réponses ! bravo à tous !
C'est le cas aussi d'un montant placé à la banque avec un intérêt Composé !


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 #11 - 09-06-2011 09:01:39

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 446

La règel de 70 !

(1,03)^x > 2
x > ln(2) / ln(1,03)

Or le développement de Taylor de ln(1+x) tend vers x quand x tend vers 0. D'où ln(1,.03) ~ 0,03
Et ln(2) = 0,6931 ~ 0,7

On a donc x ~ 0,7 / 0,03 = 70/3 = 20,33

Comme l'indexation n'a leu qu'une fois par an, il faut 21 ans pour avoir un facteur 2 au moins.

A retenir comme règle.

 #12 - 09-06-2011 15:31:30

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1804

la règlz de 70 !

Bonjour,

Au bout de [latex]n[/latex] années d'inflation au taux [latex]\tau[/latex](%) ici supposé constant, un prix [latex]P[/latex] de départ devient :
[TeX]P*(1+\frac{\tau}{100})^n[/TeX]
Un prix double donc quand pour [latex](n, \tau)[/latex], on a  :
[TeX](1+\frac{\tau}{100})^n = 2[/TeX]
Si on prend [latex]n=\frac{70}{\tau}[/latex] comme suggéré, l'expression est bien proche de 2 par le calcul.

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-calcul70.jpg

En passant par les logarithmes (ln) ...

On veut donc [latex](1+\frac{\tau}{100})^n = 2[/latex]

soit  [latex]n \ln(1+\frac{\tau}{100}) = \ln(2) [/latex]

comme [latex]\ln(1+\frac{\tau}{100}) >0\ \forall \tau>0[/latex]

On veut donc [latex]n = \frac {\ln(2)}{\ln(1+\frac{\tau}{100})}[/latex]

or [latex]\ln(1+\epsilon) \approx \epsilon [/latex] pour [latex]\epsilon[/latex] au voisinage de 0,


(et même [latex]\ln(1+x) \leq x \ \forall x\geq 0 [/latex] )

Donc pour un taux [latex]\tau[/latex] faible, où [latex]\frac{\tau}{100}[/latex] reste "proche" de 0, le passage par cette approximation permet d'écrire l'expression précédente ainsi :
[TeX]n = \frac {\ln(2)}{(\frac{\tau}{100})}[/TeX]
soit [latex]n = \frac {100\ln(2)}{\tau}[/latex]

or:  [latex]100\ln(2)=69.3147[/latex]

70 > 69 d'où la "règle des 70" [latex]n=\frac{70}{\tau}[/latex]
(dans le domaine de validité de l'approximation du ln)

Merci, à bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #13 - 10-06-2011 17:56:14

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1657

L arègle de 70 !

Après un an avec une inflation de p (pourcentage), les prix sont multipliés par 1+p/100.

Après un nombre N d'années, il est donc multiplié par (1+p/100)^N.
Si les prix doublent en N années, alors (1+p/100)^N = 2
N = ln(2)/ln(1+p/100)
Ok, c'est un peu complexe comme calcul, mais si on suppose p relativement petit, p/100 devient proche de 0 et du coup on peut approximer le dénominateur via un développement limité. Du coup, N vaut environ 100ln(2) / p, soit à la louche 70/p

 

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